平面向量单元复习与巩固

平面向量单元复习与巩固知识点一：向量的有关概念（一）向量：既有 又有 的量叫做向量向量的 叫向量的模（也就是用来表示向量的有向线段的 ）（二）向量的表示方法：（1）字母表示法：如等（2）几何表示法：用一条有向线段表示向量如，等（3）坐标表示法：在平面直角坐标系中，设向量的起点为在坐标原点，终点A坐标为，则称为的坐标，记为= （三）相等向量：长度 且方向 的向量向量可以自由平移，平移前后的向量 两向量与相等，记为 （四）零向量：长度为 的向量叫零向量零向量只有一个，其方向是 的（五）单位向量：长度等于 个单位的向量单位向量有 个，每一个方向都有一个单位向量（六）共线向量：方向 或 的非 向量，叫共线向量任一组共线向量都可以移到同一直线上规定：与 共线 注：共线向量又称为 向量（七）相反向量：长度 且方向 的向量知识点二：向量的运算（一）运算定义运 算图形语言符号语言坐标语言加法与减法+= = 记=(x1，y1)，=(x2，y2)则=( ， )=( ， )+= 实数与向量的乘积记=(x，y)则两个向量的数量积记则= （二）运算律加法：（1） （交换律）； （2） （结合律）实数与向量的乘积：（1） ； （2） ；（3） 两个向量的数量积：（1）= ； （2）()=( )=( )；（3）(+)= （三）运算性质及重要结论（1）平面向量基本定理：如果是同一平面内两个 的向量，那么对于这个平面内任一向量，有且只有一对实数，使，称为的线性组合其中叫做表示这一平面内所有向量的 ；平面内任一向量都可以沿两个不共线向量的方向分解为两个向量的和，并且这种分解是 的当基底是两个互相 的单位向量时，就建立了平面直角坐标系，因此平面向量基本定理实际上是平面向量坐标表示的基础 向量坐标与点坐标的关系：当向量起点在原点时，定义向量坐标为终点坐标，即若A(x，y)，则=(x，y)；当向量起点不在原点时，向量坐标为终点坐标减去起点坐标，即若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则=( ， )（2）两个向量平行的充要条件符号语言：坐标语言为：设非零向量，则 ，或 （3）两个向量垂直的充要条件符号语言： 坐标语言：设非零向量，则 （4）两个向量数量积的重要性质： 即 （求线段的长度）； （垂直的判断）； （求角度）考点一：平面向量的概念例1（1）给出下列命题：若|=|，则=；若A，B，C，D是不共线的四点，则是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；若=，=，则=；=的充要条件是|=|且/； 若/，/，则/其中正确的序号是 （2）设为单位向量，若为平面内的某个向量，则；若与平行，则；若与平行且，则上述命题中，假命题个数是（ ）A0B1C2D3举一反三：【变式1】判断下列各命题正确与否：（1）；（2）；（3）若，则；（4）若，则当且仅当时成立；（5）对任意向量都成立；（6）对任意向量，有考点二：平面向量的运算法则例2如图所示，已知正六边形ABCDEF，O是它的中心，若=，=，试用，将向量，表示出来解析：例3（1）在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是（ ）A B C D解析：（2）如图所示，D是ABC的边AB上的中点，则向量（ ）ABCD例4设A、B、C、D、O是平面上的任意五点，试化简：（1），（2），（3）例5设为未知向量，、为已知向量，解方程2-(5+3-4)+-3=0例6已知两单位向量与的夹角为，若，试求与的夹角考点三：平面向量的坐标及运算例7已知中，A(2，-1)，B(3，2)，C(-3，-1)，BC边上的高为AD，求解析：例8已知点，试用向量方法求直线和（为坐标原点）交点的坐标解析：考点四：平面向量的性质例9已知，按下列条件求实数的值（1）；（2）；（3）举一反三：【变式1】平面内给定三个向量，回答下列问题：（1）求满足的实数m，n；（2）若，求实数k；（3）若满足，且，求例10已知（1）求；（2）当为何实数时，与平行， 平行时它们是同向还是反向？举一反三：【变式1】已知=(3，4)，=(4，3)，求x，y的值使(x+y)，且|x+y|=1解析：考点五：共线向量定理及平面向量基本定理例11（天津文）平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3，1)，B(-1，3)，若点C满足，其中，且，则点C的轨迹方程为（ ）A3x+2y-11=0 B(x-1)2+(y-2)2=5C2x-y=0 Dx+2y-5=0考点六：平面向量综合问题例12已知向量与的对应关系用表示（1）证明：对于任意向量及常数m，n恒有成立；（2）设，求向量及的坐标；（3）求使，（p，q为常数）的向量的坐标例13求证：起点相同的三个非零向量，3-2的终点在同一条直线上证明：总结升华：（1）利用向量平行证明三点共线，需分两步完成：；（2）用向量平行证明两线段平行也需分两步完成：；例14已知思路点拨：，可以看作向量的模的平方，而则是、的数量积，从而运用数量积的性质证出该不等式证明：举一反三：【变式1】已知，其中（1）求证：与互相垂直；（2）若与()的长度相等，求解析：例15如图所示，正六边形PABCDE的边长为b，有五个力、作用于同一点P，求五个力的合力解析：（一）向量的线性运算（1）在正确掌握向量加法减法运算法则的基础上能结合图形进行向量的计算，将数和形有机结合，并能利用向量运算完成简单的几何证明；（2）向量的加法表示两个向量可以合成，利用它可以解决有关平面几何中的问题，减法的三角形法则应记住：连接两端（两向量的终点），指向被减（箭头指向被减数）记清法则是灵活运用的前提（二）共线向量与三点共线问题向量共线的充要条件实质上是由实数与向量的积得到的通常用来判断三点在同一条直线上或两直线平行该定理主要用于证明点共线、求系数、证直线平行等题型问题（1）用向量证明几何问题的一般思路：先选择一组基底，并运用平面向量