量子力学第三章5.ppt

,第三章算符,引言,前面说过，量子力学中的物理量（或称力学量）用算符表示。这也是量子力学的基本假定之一。本章中，根据量子力学的假定我们将知道用来表示力学量的算符，其实是一种特殊的算符-厄米算符。厄米算符具有一些特点，从而导致力学量也有一些特点。,已经学过的算符,坐标动量动能势能哈密顿量,将要学习的,角动量下面，先来学习厄米算符的基本性质。,算符的运算规则,1.线性算符定义见课本。请注意：“任意波函数”这个规矩。,算符的运算规则,其实原来已经用过这个性质了。请问为何可以这样算？,算符的运算规则,刻划客观测物理量的算符都是线性算符。,算符的运算规则,2.算符相等见教材。,算符的运算规则,3.算符之和,算符的运算规则,4.单位算符,算符的运算规则,5.算符之积注意：一般而言，算符之积不满足交换律。这件事情在量子力学中有重要的意义。,算符的运算规则,算符一般不满足交换律量子力学中的对易关系,算符的运算规则,坐标-动量对易关系,练习,练习,练习解答,练习解答,角动量,定义基本关系,角动量,对易式请自己总结角动量的对易关系，并请注意记忆的规律。,角动量,厄米算符,基本性质和定义,练习,关于厄米算符的结论,关于厄米算符的结论,关于厄米算符的结论,厄米算符本征值正交性的证明,需要掌握。见教材。简单：使用“能够换位这一性质”。,厄米算符的性质和测量,回顾力学量的测量假定,厄米算符的性质和测量,平均值童鞋：请搞清楚里面的系数是神马含义哦！,厄米算符的性质和测量,新概念：涨落。用以衡量测量值在平均值周围不同的散布情况。,量子力学中的涨落及其性质,涨落何时为0？,复习测量假定,在一个力学量的本征态下测量这个力学量，涨落为零，就是必然会得到一个确定的结果，这个结果就是本征态对应的本征值。这个已经在测量的假定中说过。,不确定度关系,不确定度关,同时测量两个力学量,不确定关系规定了同时测量两个力学量可以达到的精度极限。,不确定度关系的最基本例子,运用不确定原理来研究问题,可能用到的基础命题2个（1）一维势场中的粒子，如果势函数具有对称性，且本征函数无简并，则能量本征态下坐标的平均值为0.（或者：一维束缚态中，如果势函数具有对称性，则本征态下坐标平均值为0）（2）一维束缚本征态下，动量的平均值为0。,衍生题型：估算势阱中基态的能量,估算势阱中基态的能量,2.估算谐振子基态能量注意和势阱的稍有不同。试试看，有没有办法解决？,运用不确定原理估算基态能量的经典习题,估算谐振子的基态能量,小问题,1.测量能量的值，有没有可能比基态的还要小？,第九周作业,1.必做：请认真细致地完成谐振子基态能量的估算。2.选作：教材60页练习5，如果你能找到其它方法的话。,共同本征态,共同本征态vs.两算符对易与否,下面要利用不确定度关系，讨论这两个概念之间的关系。请思考一下。是一种“一言难尽”的关系。,共同本征态vs.两算符对易与否,两个概念之间有如下关系：分成A、B情况。根据是否对易分类。,特殊态后面会给出实例。,共同本征态vs.两算符对易与否,共同本征态vs.两算符对易与否,概念题：1.如果两个厄米算符有共同本征态，是否彼此对易？,共同本征态vs.两算符对易与否,概念题：1.如果两个厄米算符有共同本征态，是否彼此对易？解答：图。AB情形都可能。所以不一定。,共同本征态vs.两算符对易与否,概念题：2.如果两个厄米算符不对易，是否一定木有共同本征态？,共同本征态vs.两算符对易与否,概念题：2.如果两个厄米算符不对易，是否一定木有共同本征态？解答：图。否，存在特殊情形。,共同本征态vs.两算符对易与否,概念题：3.如果两个厄米算符对易，是否在所有态之下它们都同时具有确定的测量值？,共同本征态vs.两算符对易与否,概念题：3.如果两个厄米算符对易，是否在所有态之下它们都同时具有确定的测量值？解答：同时具有确定的测量值，就是指存在共同本征态。看图。其实存在很多态，不是共同本征态。,共同本征态vs.两算符对易与否,概念题：4.如果两个厄米算符对易式为常数，两个算符能否具有共同本征态？,共同本征态vs.两算符对易与否,概念题：4.如果两个厄米算符对易式为常数，两个算符能否具有共同本征态？解答：看图，其实是否存在共同本征态和对易式的值没有直接关系。,共同本征态的实际例子一,共同本征态的实际例子一,练习,1.请列出l=0,1,2,3的