机械优化设计试卷期末考试及答案(补充版)

4、最优点、最优值和最优解答：选取适当优化方法，对优化设计数学模型进行求解，可解得一组设计变量，记作：*x1*，x2*，x3*，x*T使该设计点的目标函数(x*)为最小，点x*称为最优点（极小点）。相应的目标函数值(x*)称为最优值（极小值）。一个优化问题的最优解包着最优点（极小点）和最优值（极小值）。把最优点和最优值的总和通称为最优解。或：优化设计就是求解n个设计变量在满足约束条件下使目标函数达到最小值，即min f(x)=f(x*) xns.t. u（）0，1,2,m；v（）0，1,2,pn称x*为最优解，f(x*)为最优值。最优点x*和最优值f(x*)即构成了最优解2共轭梯度法中，共轭方向和梯度之间的关系是怎样的？试画图说明。. 对于二次函数，,从点出发，沿G的某一共轭方向作一维搜索，到达点，则点处的搜索方向应满足，即终点与始点的梯度之差与的共轭方向正交。8 数值计算迭代法的基本思想和迭代格式。数值计算迭代法的基本思想：数值计算迭代法完全是依赖于计算机的数值计算特点而产生的，它不是分析方法，而是具有一定逻辑结构并按一定格式反复运算的一种方法。（5分）其迭代法计算的基本格式是：从一点出发，根据目标函数和约束函数在该点的某些信息，确定本次迭代计算的一个方向S(k)和适当的步长(k)，从而到一个新点，即：X(k+1)x(k)(k)S(k) k=0,1,2,3.式中：x(k)前一步取得的设计方案（迭代点）。在开始计算时，即为迭代的初始点x(0)；X(k+1)新的修改设计方案（新的迭代点）；S(k)第k次迭代计算的搜索方向（可以看作本次修改设计的定向移动方向）；(k)第k次迭代计算的步长因子，是个数量的。计算题1试用牛顿法求的最优解，设。初始点为，则初始点处的函数值和梯度分别为 ，沿梯度方向进行一维搜索，有 为一维搜索最佳步长，应满足极值必要条件 ，从而算出一维搜索最佳步长 则第一次迭代设计点位置和函数值，从而完成第一次迭代。按上面的过程依次进行下去，便可求得最优解。2、试用黄金分割法求函数的极小点和极小值，设搜索区间（迭代一次即可）解：显然此时，搜索区间，首先插入两点，由式计算相应插入点的函数值。因为。所以消去区间，得到新的搜索区间，即。第一次迭代：插入点，相应插入点的函数值，由于，故消去所以消去区间，得到新的搜索区间，则形成新的搜索区间。至此完成第一次迭代，继续重复迭代过程，最终可得到极小点。3用牛顿法求目标函数+5的极小点，设。解：由 ，则 ，其逆矩阵为因此可得： ，从而经过一次迭代即求得极小点，4.下表是用黄金分割法求目标函数 的极小值的计算过程，请完成下表。迭代序号a b比较0 0.2 11迭代序号a b比较0 0.2 0.50560.69441 40.0626 29.49621 0.5056 0.69440.81111 29.496225.46905、 求二元函数f(x1,x2)=x12+x22-4x1-2x2+5在x0=0 0T处函数变化率最大的方向和数值？解：由于函数变化率最大的方向是梯度方向，这里用单位向量P表示函数变化率最大和数值是梯度的模IIII 。求f(x1,x2)在点处的梯度方向和数值，计算如下：=IIII =P=在平面上画出函数等值线和（0,0）点处的梯度方向P，如图2-1所示。从图中可以看出，在点函数变化率最大的方向P即为等值线的法线方向，也就是同心圆的半径方向。6、 用共轭梯度法求二次函数f(x1,x2)=x12+2x22-4x1-2 x1x2 的极小点及极小值？解： 取初始点 x0 则 g0=取 d0=-g0=沿d0方向进行一维搜索，得x1=x0+d0=其中的为最佳步长，可通过f（x1）=求得 =则 x1 = =为建立第二个共轭方向d1，需计算 x1 点处的梯度及系数值，得g1=f（x1）=从而求得第二个共轭方向d1=-g1+d0=再沿d1进行一维搜索，得x2=x1+d1=其中的为最佳步长，通过f（x2）=求得 =1则 x2= =计算 x2点处的梯度g2=f（x2）=说明x2点满足极值必要条件，再根据x2点的海赛矩阵G(x2)=是正定的，可知x2满足极值充分必要条件。故x2为极小点，即而函数极小值为。7、求约束优化问题Minf(x)=(x1-2)2+(x2-1)2s.t. h(x)=x1+2x2-2=0的最优解？解： 该问题的约束最优解为。由图4-1a可知，约束最优点为目标函数等值线与等式约束函数（直线）的切点。用间接解法求解时，可取=0.8，转换后的新目标函数为可以用解析法