梅涅劳斯定理和塞瓦定理.讲义学生版

梅涅劳斯定理和塞瓦定理中考要求知识点A要求B要求要求比例及定理熟知定理内容掌握平行线分线段成比例定理的内容以及其推论，同时会运用定理解决问题会运用定理及其推论的内容来解决相似的问题知识点睛一、比例的基本性质1)这一性质称为比例的基本性质,由它可推出许多比例形式;2)(反比定理);3)(或)(更比定理);4)(合比定理);5)(分比定理);6)(合分比定理);7)(等比定理).二、平行线分线段成比例定理1.平行线分线段成比例定理如下图，如果，则， .2. 平行线分线段成比例定理的推论：如图，在三角形中，如果，则，反之如果有，那么三、梅涅劳斯定理梅内劳斯（Menelaus，公元98年左右），是希腊数学家兼天文学家梅涅劳斯定理是平面几何中的一个重要定理梅涅劳斯定理：、分别是三边所在直线、上的点则、共线的充分必要条件是：根据命题的条件可以画出如图所示的两个图形：或、三点中只有一点在三角形边的延长线上，而其它两点在三角形的边上；或、三点分别都在三角形三边的延长线上证明：（1）必要性，即若、三点共线，则设、到直线的距离分别为、则，、，三式相乘即得（2）充分性，即若，则、三点共线设直线交于，由已证必要性得：又因为，所以因为和或同在线段上，或同在边的延长线上，并且能分得比值相等，所以和比重合为一点，也就是、三点共线梅涅劳斯定理的应用，一是求共线线段的笔，即在、三个比中，已知其中两个可以求得第三个二是证明三点共线四、塞瓦定理连结三角形一个顶点和对边上一点的线段叫做这个三角形的一条塞瓦线塞瓦（GGevo1647-1734）是意大利数学家兼水利工程师他在1678年发表了一个著名的定理，后世以他的名字来命名，叫做塞瓦定理塞瓦定理：从的每个顶点出发作一条塞瓦线则共点的充分必要条件是充分性命题：设的三条塞瓦线共点，则必有必要性命题：设中，是三条塞瓦线，如果，则三线共点我们先证明充分性命题如图，设相交于点，过作边的平行线，分别交的延长线于由平行截割定理，得上面三式两边分别相乘得：我们再证明必要性命题假设与这两条塞瓦线相交于点，连交于则也是一条过点的的塞瓦线根据已证充分性命题，可得，由因为，进而可得所以，因此所以与重合，从而和重合，于是得出共点塞瓦定理在平面几何证题中有着举足轻重的作用第一方面，利用塞瓦定理的必要性可证明三线共点问题第二方面，当一个三角形有三条塞瓦线共点时，依据塞瓦定理的充分性命题，就可以得出六条线段比例乘积等于1的关系式利用这个关系式可以证明线段之间的比例式或乘积式例题精讲一、梅涅劳斯定理【例1】 已知中，是的重点，经过的直线交与，交的延长线于求证：【巩固】如图所示，中，=90，为边上的中线，于，的延长线交于求【例2】 如图所示，设、分别在的边、上，与交于，求【巩固】如图所示，内三个三角形面积分别为5，8，10四边形的面积为，求的值【例3】 在的三边、上分别取点、使若与，与，与的交点分别为、求证：【巩固】中，分别是，上的点，且与交于，问的面积与面积的比值是多少？【例4】 如图所示，的三条外角平分线、，与对边所在直线交于、三点，求证：、三点共线【巩固】是平行四边形内任意一点，过作的平行线，分别交于，交于；又过作的平行线，分别交于，交于，又，相交于求证：三点共线二、塞瓦定理【例5】 设是的三条中线，求证：共点【例6】 若分别为的三条内角平分线求证：共点【例7】 若分别为锐角的三角高线，求证：共点【例8】 锐角三角形中，是边上的高线，是线段内任一点，和的延长线分别交、于、，求证：【巩固】如图，在四边形中，对角线平分，在上取一点，与相交于，延长交于求证：课后作业1. 如图所示，被通过它的三个顶点与一个内点的三条直线分为6个小三角形，其中三个小三角形的面积如图所示，求的面积2. 如图，设为内一点，与交于点，与交于