教案《等差、等比数列》

陕西省西安中学附属远程教育学校72等差、等比数列（一）本节约需3课时【考纲要求】1理解等差数列、等比数列的概念2掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式3能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用等差数列、等比 数列的有关知识解决相应的问题4了解等差数列与一次函数的关系、等比数列与指数函数的关系【知识梳理】1等差、等比数列的定义及等差、等比中项（1）如果一个数列从 起，每一项与它的前一项的 （ ）是同一个常数，那么，这个数列叫做等差数列（等比数列），符号表示为 （ ）（是常数） 等价形式：； （2）若三个数成等差数列，则A叫做与的等差中项，其中 若三个数成等差数列，则叫做与的等比中项，其中 2等差、等比数列的通项公式和前项和公式（1）通项公式： ， ；（与一次函数的关系） ， （与指数函数的关系）（2）前项和公式 （与二次函数的关系） （注意：公比等于1的情况）（3）等差数列前项和的最大值、最小值： 在等差数列中， 若，,则有最大值，可由不等式组来决定 若，,则有最小值，可由不等式组来决定已知通项公式用此法若已知前项和，可用二次函数的性质求其最值以及取得最值时的值。3等差等比数列的性质已知等差（等比）数列（1）若，则 （ ） 特别地，若，则 （ ） 推广：项数成等差数列，项成等差数列（项数成等差数列，项成 等比数列）（2）成等差数列，公差；（等比数列，公比） 是等差数列（3）等差数列中 为奇数时，；即 为偶数时， （4）增减性 等差数列中， 时，数列为递增数列； 时， 数列为递减数列； 时，数列为 数列；等比数列中， 时，数列为递增数列； 时，数列为递减数列； 时，数列为 数列；时，数列为 数列【方法归纳】1思想方法方程的思想：等差（等比）数列的问题，通过（）之间 的关系，列方程组求出基本量首项和公差（公比），问题 可迎刃而解。 注意：恰当地运用相关性质，可简化运算整体思想： 等差、等比数列的性质：，则 涉及到等比数列前项和的问题，经常做整体看待函数的思想：数列是特殊的函数，如等差数列前项和的最值、等差数列的 增减性等，都可利用一次、二次函数的相关性质。类比的思想：等差数列中的“差”，“和”，“倍数”等关系，类比到等比数列中就是 “商”，“积”，“幂”的关系。2等差（等比）数列的判定方法（1）定义法：（常数）是等差数列. （常数）是等比数列.（2）中项公式法：是等差数列. 且是等比数列（3）通项公式法：为常数是等差数列. 为常数是等比数列.（4）前项和法：为常数是等差数列.【基础自测】第84页第15题，第87页第15题，【例题精析】 题型一 等差、等比数列的基本运算例1 设等差数列满足（1）求的通项公式； （2）求的前项和及使得最大的序号的值分析（1）； （2），当时，取得最大值。例2 等比数列中，为公比，为前项和（1）则 （ ；或 ） ；（2）则 ；（3）则 ；（4），则公比 （1或） （5）若，则 （）（6） ， .分析：由求得或当时，当时，题型二 等差、等比数列的判定与证明例1 已知数列满足，令， 求证数列是等差数列。分析：利用等差数列的定义由知，而，故是等差数列。例2 设等比数列的前项和为，已知，（1）设，求证数列是等比数列；（2）求数列的通项公式。分析：（1）已知之间的关系，利用，当时，所以，所以，即所以，数列是以3为首项，2为公比的等比数列。（2）由（1）可得，即，两边同除以可得，所以，是首项为，公差为的等差数列，所以，所以例3 已知数列满足（1）令，证明是等比数列；（2）求的通项公式。分析：（1）利用等比数列的定义，只需证明是与无关的常量。 由题设可得，所以是以1为首项，为公比的 等比数列；（2），即，根据类差法可 题型三 等差、等比数列性质的应用例1 已知数列是等差数列（1）前四项的和为，末四项的和为，前的和为，则项数 26 ；（2）若则 54 （3）若项数为奇数，且奇数项的和为44，偶数项的和为33，则数列的中间项为 11 ，项数为 7 （4）若，则通项公式 （。或）（5）若，且，则 48 （）例2 若、都是等差数列，其前项和分别为，且，则 。例3