教师版中考总复习：二次函数--知识讲解(基础)

中考总复习：二次函数知识讲解（基础）【考纲要求】1二次函数的概念常为中档题主要考查点的坐标、确定解析式、自变量的取值范围等；2二次函数的解析式、开口方向、对称轴、顶点坐标等是中考命题的热点；3抛物线的性质、平移、最值等在选择题、填空题中都出现过，覆盖面较广，而且这些内容的综合题一般较难，在解答题中出现【知识网络】 【考点梳理】考点一、二次函数的定义 一般地，如果（a、b、c是常数，a0），那么y叫做x的二次函数要点诠释： 二次函数(a0)的结构特征是：(1)等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2(2)二次项系数a0考点二、二次函数的图象及性质1.二次函数(a0)的图象是一条抛物线，顶点为2.当a0时，抛物线的开口向上；当a0时，抛物线的开口向下3.|a|的大小决定抛物线的开口大小|a|越大，抛物线的开口越小，|a|越小，抛物线的开口越大 c的大小决定抛物线与y轴的交点位置c0时，抛物线过原点；c0时，抛物线与y轴交于正半轴；c0时，抛物线与y轴交于负半轴 ab的符号决定抛物线的对称轴的位置当ab0时，对称轴为y轴；当ab0时，对称轴在y轴左侧；当ab0时，对称轴在y轴的右侧4.抛物线的图象，可以由的图象移动而得到将向上移动k个单位得：将向左移动h个单位得：将先向上移动k(k0)个单位，再向右移动h(h0)个单位，即得函数的图象函数解析式开口方向对称轴顶点坐标当时开口向上当时开口向下(轴)(0，0)(轴)(0，)(，0)(，)()要点诠释：求抛物线（a0）的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用考点三、二次函数的解析式1.一般式：(a0) 若已知条件是图象上的三个点，则设所求二次函数为，将已知条件代入，求出a、b、c的值2.交点式（双根式）： 若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标为(x1，0)，(x2，0)，设所求二次函数为，将第三点(m，n)的坐标(其中m、n为已知数)或其他已知条件代入，求出待定系数，最后将解析式化为一般形式3.顶点式： 若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大值(或最小值)，设所求二次函数为，将已知条件代入，求出待定系数，最后将解析式化为一般形式4.对称点式：若已知二次函数图象上两对称点(x1，m)，(x2，m)，则可设所求二次函数为，将已知条件代入，求得待定系数，最后将解析式化为一般形式要点诠释： 已知图象上三点或三对、的值，通常选择一般式.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式.(可以看成的图象平移后所对应的函数).已知图象与轴的交点坐标、，通常选用交点式：（a0）.(由此得根与系数的关系：).考点四、二次函数(a0) 的图象的位置与系数a、b、c的关系1.开口方向：a0时，开口向上，否则开口向下2.对称轴：时，对称轴在y轴的右侧；当时，对称轴在y轴的左侧3.与x轴交点：时，有两个交点；时，有一个交点；时，没有交点要点诠释： 当x1时，函数ya+b+c； 当x-1时，函数ya-b+c； 当a+b+c0时，x1与函数图象的交点在x轴上方，否则在下方； 当a-b+c0时，x-1与函数图象的交点在x轴的上方，否则在下方考点五、二次函数的最值1.当a0时，抛物线有最低点，函数有最小值，当时，2.当a0时，抛物线有最高点，函数有最大值，当时，要点诠释： 在求应用问题的最值时，除求二次函数的最值，还应考虑实际问题的自变量的取值范围考点六、二次函数与一元二次方程的关系函数，当时，得到一元二次方程，那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与x轴交点的横坐标，因此二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况.(1)当二次函数的图象与x轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；(3)当二次函数的图象与x轴没有交点，这时，则方程没有实根. 通过下面表格可以直观地观察到二次函数图象和一元二次方程的关系：的图象的解方程有两个不等实数解方程有两个相等实数解方程没有实数解要点诠释： 二次函数图象与x轴的交点的个数由的值来确定. (1)当二次函数的图象与x轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；(3)当二次函数的图象与x轴没有交点，这时，则方程没有实根.【典型例题】类型一、应用二次函数的定义求值1二次函数y=x2-2（k+1）x+k+3有最小值-4，且图象的对称轴在y轴的右侧，则k的值是 2【思路点拨】因为图象的对称轴在y轴的右侧，所以对称轴x=k+10，即k-1；又因为二次函数y=x2-2（k+1）x+k+3有最小值-4，所以y最小值= =-4，可以求出k的值【答案与解析】解：图象的对称轴在y轴的右侧，对称轴x=k+10，解得k-1，二次函数y=x2-2（k+1）x+k+3有最小值-4，y最小值= =k+3-（k+1）2=-k2-k+2=-4，整理得k2+k-6=0，解得k=2或k=-3，k=-3-1，不合题意舍去，k=2【总结升华】求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法举一反三：【变式】已知是二次函数，求k的值【答案】是二次函数，则由得，即，得，显然，当k-3时，原函数为y0，不是二次函数 k2即为所求类型二、二次函数的图象及性质的应用2把抛物线向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为( ) A B C D【思路点拨】抛物线的平移问题，实质上是顶点的平移，原抛物线y=-x2顶点坐标为（0，0），向左平移1个单位，然后向上平移3个单位后，顶点坐标为（-1，3），根据抛物线的顶点式可求平移后抛物线的解析式【答案】 D；【解析】根据抛物线的平移规律可知：向左平移1个单位可变成，再向上平移3个单位后可变成【总结升华】(1)图象向左或向右平移|h|个单位，可得的图象(h0时向左，h0时向右) (2)的图象向上或向下平移|k|个单位，可得的图象(k0时向上，k0时向下)举一反三：【变式】将二次函数的图象向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得图象的函数表达式是( )A B C D【答案】按照平移规律“上加下减，左加右减”得故选A.类型三、求二次函数的解析式3已知二次函数的图象经过点(1，0)，(-5，0)，顶点纵坐标为，求这个二次函数的解析式 【思路点拨】将点（1，0），（-5，0）代入二次函数y=ax2+bx+c，再由 ，从而求得a，b，c的值，即得这个二次函数的解析式【答案与解析】解法一：由题意得 解得所以二次函数的解析式为解法二：由题意得 把代入，得，解得所以二次函数的解析式为，即 解法三：因为二次函数的图象与x轴的两交点为(1，0)，(-5，0)，由其对称性知，对称轴是直线所以，抛物线的顶点是可设函数解析式为即【总结升华】根据题目的条件，有多种方法求二次函数的解析式举一反三：【变式】已知：抛物线经过点（1）求的值；（2）若，求这条抛物线的顶点坐标；（3）若，过点作直线轴，交轴于点，交抛物线于另一点，且，求这条抛物线所对应的二次函数关系式（提示：请画示意图思考）【答案】解：（1）依题意得：， （2）当时， 抛物线的顶点坐标是 yxOBPA（3）解法1：当时，抛物线对称轴，对称轴在点的左侧因为抛物线是轴对称图形，且 又，抛物线所对应的二次函数关系式 解法2：当时，对称轴在点的左侧因为抛物线是轴对称图形，且 又，解得：这条抛物线对应的二次函数关系式是 解法3：， 轴， 即：解得：，即 由，这条抛物线对应的二次函数关系式. 类型四、二次函数图象的位置与a、b、c的关系4如图所示是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过A点（3，0），对称轴为x=1，给出四个结论：b2-4ac0；2a+b=0；a+b+c=0；当x=-1或x=3时，函数y的值都等于0把正确结论的序号填在横线上 【思路点拨】根据函数图象得出抛物线开口向下得到a小于0，且抛物线与x轴交于两个点，得出根的判别式大于0，即选项正确；对称轴为x=1，利用对称轴公式列出关于a与b的关系式，整理后得到2a+b=0，选项正确；由图象得出x=1时对应的函数值大于0，将x=1代入抛物线解析式得出a+b+c大于0，故选项错误；由抛物线与x轴的一个交点为A（3，0），根据对称轴为x=1，利用对称性得出另一个交点的横坐标为-1，从而得到x=-1或x=3时，函数值y=0，选项正确，即可得出正确的选项序号【答案与解析】解：由图象可知：抛物线开口向下，对称轴在y轴右侧，对称轴为x=1，与y轴交点在正半轴，与x轴有两个交点，a0，b0，c0，b2-4ac0，选项正确；当x=1时，y=a+b+c0，选项错误；图象过A点（3，0），对称轴为x=1，另一个交点的横坐标为-1，即坐标为（-1，0），又，2a+b=0，选项正确；当x=-1或x=3时，函数y的值都等于0，选项正确，则正确的序号有故答案为：.【总结升华】此题考查了抛物线图象与系数的关系，其中a由抛物线的开口方向决定，a与b同号对称轴在y轴左边；a与b异号对称轴在y轴右边，c的符合由抛物线与y轴的交点在正半轴或负半轴有关；抛物线与x轴的交点个数决定了根的判别式的正负，此外还要在抛物线图象上找出特殊点对应函数值的正负来进行判断举一反三：【变式】如图所示是二次函数图象的一部分，图象经过点A(-3，0)，对称轴为给出四个结论：；其中正确结论是（ ） A B C D【答案】本例是利用二次函数图象的位置与a、b、c的和、差、积的符号问题，其中利用直线， 交抛物线的位置来判断，的符号问题应注意理解和掌握由图象开口向下，可知a0，图象与x轴有两个交点，所以， 确对称轴为，所以，又由a0，b2a，可得5ab，正确故选B.类型五、求二次函数的最值5某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件(每件售价不能高于65元)设每件商品的售价上涨x元(x为正整数)，每个月的销售利润为)y元(1)求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围 (2)每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润?最大的月利润是多少元?(3)每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元？根据以上的结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于2200元?【思路点拨】（1）每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件，当每件商品的售价上涨x元时，每个月可卖出（210-10x）件，每件商品的利润为x+50-40=10+x；（2）每个月的利润为卖出的商品数和每件商品的乘积，即（210-10x）（10+x），当每个月的利润恰为2200元时得到方程（210-10x）（10+x）=2200求此方程中x的值【答案与解析】(1)y(210-l0x)(50+x-40)-10x2+110x+2100(0x15且x为整数) (2)y-10(x-5.5)2+2402.5 a-100， 当x5.5时，y有最大值2402.5 00时，抛物线开口向上，一次函数图象过一、三象限，所以排除A选项，再看B、C选项，抛物线对称轴在y轴右侧，a、b异号，所以一次函数应与y轴交于负半轴，排除B选项；当0，0,得b0,c0,b2-4c0.又可看出当x=1时，y0. 所以0，由此可知D答案正确.6.【答案】A；【解析】分段函数y1=-2x2+48 (0x4)； y2=-8x+48 (4x6),故选A.二、填空题7【答案】1；【解析】图象经过原点（0,0），把点（0,0）代入得，因为抛物线开口向下，所以.8【答案】PQ ；【解析】由抛物线的图象可以知道：（1）开口向下， a0；（2）抛物线过原点，c=0 ；（3）对称轴x=1，则b2a，即b+2a0；（4）当x=1时，y =ax2bxc= ab+ c0；（5）当x=1时，y =ax2bxc= a+b+ c0；（6）因为a0，b2a，所以，b0，因此，2ab0；则：PQ=（ab+c）+(2a+b)(a+b+c)(2ab) =a+bc+2a+babc+2ab =2a0所以，PQ9【答案】点(1，n)是双曲线与抛物线的一个交点 10【答案】 【解析】如图，四条直线x=1，x=2，y=1，y=2围成正方形ABCD，因为抛物线与正方形有公共点，所以可得a0，而且a值越大，抛物线开口越小，因此当抛物线分别过A（1，2），C（2，1）时，a分别取得最大值与最小值，代入计算得出：a=2，a=；由此得出a的取值范围是11【答案】（3，）、（，）、（2，2）、（，） 【解析】由题可得A的纵坐标是横坐标的倍，故设A的坐标为（t，t）；则Q的坐标为（0，2t）或（0，t）；可求得P点对应的坐标，解得t的值有4个，为，2，；故点A的坐标是（3，）、（，）、（2，2）、（，）12【答案】3；【解析】函数的图象如图：，根据图象知道当y=3时，对应成立的x有恰好有三个，k=3A(2,3)yx11o第13题图-1-1B(2,3)C(-2,-3)三、解答题13.【答案与解析】 (1)把点A(2,3)代入得 ：k=6. 反比例函数的解析式为：. 把点B(m,2)、C(3,n)分别代入得： m=3,n=-2.