公务员考试——数量关系公式

数量关系基础知识一、数列1.等差数列： 中项求和公式n为奇数时： n为偶数时： 2.等比数列： 3.某些数列的前n项和 奇数项和：1+3+5+(2n-1)=n2 【项数为时，奇数项和减偶数项和为数列中项】 偶数项和：2+4+6+(2n)=n(n+1) 平方数列求和：12+22+32+n2=n(n+1)(2n+1) 立方数列求和：13+23+33+n3=n(n+1)2 二、数学基础公式1.乘法公式立方和：a+b=(a+b)(a-ab+b) 立方差：a- b=(a-b)(a+ab+b)完全立方和/差：(ab)=a3ab+3abb 裂项公式：加权平均数： 调和平均数：二项式定理：二项展开式的通项公式：分期付款(按揭贷款) ：每次还款元（贷款a元，n次还清，每期利率为b）2.几何公式 扇形：周长L=(nr/180)+2r 面积S=nr2/360 圆柱：表面积S=2rh+2r2 体积V=r2h 球体：表面积S=4r2 体积V=r3 圆锥：表面积S=r2+r2R【R为母线】 体积V=r2h 正四面体：表面积 体积 3.几何问题其他结论：所有表面积相等的立体图形中，球的体积最大，越接近球体，体积越大。n条直线最多可以将平面分为1+ n(n+1)个区域。n个圆相交最多可以有 n(n-1)个交点。一个正方形被分割成若干小正方形，除了不能分为2个、3个、5个，其他数量都可完成。 满足勾股定理的三边有：【3,4,5】【5,12,13】【6,8,10】【7,24,25】【8,15,17】【9,12,15】已知三角形最长边为n，三边均为整数，这样的三角形有多少个? n=2k-1时，为k2个三角形； n=2k时，为(k+1)k个三角形。已知边长为a、b、c的长方体由边长为1的小立方体组成。则一共有abc个小立方体； 内部看不见的立方有：(a-2)(b-2)(c-2)；露在外面的小立方体有：abc-(a-2)(b-2)(c-2)欧拉定理：VFE=2 (简单多面体的顶点数V、棱数E和面数F) E=各面多边形边数和的一半。若每个面的边数为n的多边形，则面数F与棱数E的关系：；若每个顶点引出的棱数为，则顶点数V与棱数E的关系：立体涂色问题：一个边长为n的正方体，由n个边长为1的小正方体构成。最外层涂色，则：3面被涂色的小正方体有8个 2面被涂色的小正方体有(n-2)12个 1面被涂色的小正方体有(n-2)6个 0面被涂色的小正方体有(n-2)个 总共被涂色的有n(n-2)个3、 数字特性1.倍数关系 若ab=mn(m，n互质)，则a是m的倍数；b是n的倍数；ab是mn的倍数。若x=mny(m，n互质)，则x是m的倍数；y是n的倍数。2. 两个数的最小公倍数与最大公约数的关系：最大公约数最小公倍数=两数的积3.奇偶运算法则 加减规律：奇奇=偶偶=偶；奇偶=奇； 乘法规律：奇偶=偶偶=偶；奇奇=奇；【有奇为偶，无偶为奇】4.基本幂数周期 2n的尾数周期为4，分别为2，4，6，8 3n的尾数周期为4，分别为3，9，7，1 4n的尾数周期为2，分别为4，6 5n，6n的尾数不变； 7n的尾数周期为4，分别为7，9，3，1 8n的尾数周期为4，分别为8，4，2，6 9n的尾数周期为2，分别为9，1 nn(n10)的尾数为n末位的幂的尾数。4.整除判定法则能被2、4、8、5、25、125整除的数的数字特性能被2(或5)整除的数，末一位数能被2(或5)整除；能被4(或 25)整除的数，末两位数能被4(或25)整除；能被8(或125)整除的数，末三位数能被8(或125)整除；一个数被2(或5)除得的余数，就是其末一位数被2(或5)除得的余数；一个数被4(或 25)除得的余数，就是其末两位数被4(或 25)除得的余数；一个数被8(或125)除得的余数，就是其末三位数被8(或125)除得的余数。能被3(或9)整除的数，各位数字和能被3(或9)整除；一个数被3(或9)除得的余数，就是其各位相加后被3(或9)除得的余数。 能被7整除的数，其末一位数的2倍与剩下数之差，能被7整除；其末三位数与剩下数之差，能被7整除。如362，末一位的2倍为4，与剩下数36之差为32不能被7整除如12047，末三位047与剩下数12之差为35能被7整除能被11整除的数，奇数位的和与偶数位的和之差，能被11整除。当且仅当其末三位数与剩下数之差，能被11整除。 如7394，奇数位和7+9=16，偶数位和3+4=7，16-7=9不能被11整除 如15235，末三位235与剩下数15之差为220能被11整除111 能被7(11或13)整除的数，其末三位数与剩下数之差，能被7(11或13)整除。将一个多位数从后往前三位一组分段，奇数段各三位数之和与偶数段各三位数之和的差能被7(11或13)整除。5.剩余定理 余同加余：一个数除以4余1，除以5余1，除以6余1，因为余数都是1，则取1，公倍数做周期，则这个数为60n+1 和同加和：一个数除以4余3，除以5余2，除以6余1，因为4+3=5+2=6+1，则取7，公倍数做周期，则这个数为60n+7 差同减差：一个数除以4余1，除以5余2，除以6余3，因为4-1=5-2=6-3，则取3，公倍数做周期，则这个数为60n-3【例题】：三位的自然数N满足：除以6余3，除以5余3，除以4也余3，则符合条件的自然数n有几个?A.8 B.9 C.15 D.16【解析】4、5、6的最小公倍数是60，可以算出这个数为60n+3，已知的条件n是一个三位数，所以n可以取2到16的所有整数，共15个。6.余数定理定理1：两数的和除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数和（1）73=1，53=2，则（7+5）3的余数就等于1+2=3，所以余0（2）83=2，53=2，2+2=43，431，则（8+5）3的余数就等于1【例题】有8个盒子分别装有17个、24个、29个、33个、35个、36个、38个和44个乒乓球，小赵取走一盒，其余的被小钱、小孙、小李取走，已知小钱和小孙取走的乒乓球个数相同，并且是小李取走的两倍，则小赵取走的各个盒子中的乒乓球最可能是（）。A.29个 B.33个 C.36个 D.38个【解析】小钱和小孙都是小李的两倍，即小李是1份，小钱和小孙都是2份，三个人加起来是5份，也就是说三个人的和是5的倍数。因此，小李+小钱+小孙=总数量-小赵=5的倍数，总数量与小赵关于5同余。用定理1计算总数量除以5的余数，17个、24个、29个、33个、35个、36个、38个、44个除分别余2、余4、余4、余3、余0、余1、余3、余4。2+4+4+3+0+1+3+4=215=41，总数量除以5余1，因此小赵除以5也余1。选C定理2：两数的积除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数积（1）73余1，53余2，则（75）3的余数就等于12=2，所以余2（2）83=2，53=2，2+2=43，431，则（85）3的余数就等于1 【例题】有一条长1773mm的钢管，把它锯成长度分别为41mm和19mm两种规格的小钢管，结果恰好用完，则可能锯成41mm的钢管（）段。A.20 B.31 C.40 D.52【解析】设长度为41mm的钢管x段，19mm的钢管y段，可列方程41x+19y=1773，19y显然能被19整除，而177319=936，因此41x19一定也余6，又4119余3，根据定理2，x19只能余2，选项中只有C选项满足此条件，应选C数量关系经典题型1、 日期问题1.每个世纪前99年，能被4整除的是闰年；每个世纪最后一年，能被400整除的是闰年。2.平年有52个星期零1天，一年后的这一天星期数变化加1；闰年有52个星期零二天。3.月历分析：七月前单月为大月，双月为小月【1，3，5，7，8，10，12】 八月后单月为小月，双月为大月【4，6，9，11】每月1，2，3日对应的星期数可能出现5次。大月当月1，2，3日对应的星期数出现5次；小月当月1，2日对应的星期数出现5次；闰年2月有29天，当月1日对应的星期出现5次。二、年龄问题：利用年龄差不变，可列方程求解。三、植树问题1.不封闭路线两端植树：颗树=全长/间距1 两端不植树：颗数=全长/间距1 2.封闭路线：颗数=全长/间距4、 方阵问题1. 从内向外：每层人数依次增加8 每层总人数=每边人数442. 空心方阵总人数=层数中间层人数=每边最外层人数2(最内层每边人数2)25、 钟表问题1.分针每分钟走36060=6，时钟每分钟走6060=0.5，每分钟两者角度差为5.52.时针每分钟走5/60=1/12格，时针每分钟走1格，每分钟两者路程差为11/12格。3.分针追击时针问题：追及时间=在初始时刻需追赶的格数(11/12) 时针速度是分钟的1/12，分钟每走60（11/12）=（分）与时钟重合一次。3. 坏钟问题：坏钟每小时比标准时间快n分钟，则坏钟/标准时间=(60+n)/60。当坏钟显示过了x分钟，标准时间相当于过了60x/(60+n)分钟。4.时针成角度问题把12点方向作为角的始边，把两指针在某一时刻时针所指方向作为角的终边，则m时n分这个时刻时针所成的角为30（m+n/60）度，分针所成的角为6n度，而这两个角度的差即为两指针的夹角。用表示此时两指针夹的度数，则=30（m+n/60）-6n则=|30(m+n/60)-6n|=|30m-5.5n|。【例如】求5时40分两指针所夹的角。 【解析】把m =5，n =40代入上式，得=|150-220|=70此公式也可计算何时两指针重合问题和两指针成任意角问题。 时针与分针一昼夜重合22次，垂直44次，成180也是22次。【例如】求3时多少分两指针重合。【解析】把=0，m=3代入公式得：0=|303-5.5n|，解得n=180/11，即3时180/11分时两针重合。6、 浓度问题1. 基本公式：m溶液=m溶质+m溶剂 c=m溶质/m溶液2. 等溶质递减溶剂问题公式： ci为第i次的溶液浓度，i=1，2，33.溶液混合普通问题m1c1+m2c2=(m1+m2+)c混 m为溶液质量，c为溶液浓度有某溶液质量为m，每次先倒出该溶液m0，再倒入清水m0，经过n次操作后，溶液浓度由c0变为cn。 则cn=c0(m-m0)/mn有某溶液质量为m，每次先倒入清水m0，再倒出该溶液m0，经过n次操作后，溶液浓度由c0变为cn。 则cn=c0m/(m+m0)n【例题】从装满1000克浓度为50%的酒精瓶中倒出200克酒精，再倒入纯酒精将瓶加满。这样反复三次后，瓶中的酒精浓度是多少？【解析】将题中酒精视为溶剂，清水视为溶质，则杯中原有清水浓度为1-50%=50%，根据多次混合公式，可得到多次混合之后清水的浓度为50%(1000-200)/10003=25.6%，所以多次混合后酒精的浓度为1-25.6%=74.4%。3.十字交叉法与浓度问题 浓度问题中的混合问题，一般主要采用十字交叉法来实现多的量和少的量保持平衡。已知一瓶溶液的浓度为a%，另外一瓶的溶液浓度为b%，分别取m和n份进行混合，求混合溶液的浓度？(mn)第一部分 a% x-b% m x 则 第二部分 b% a%-x n十字交叉法：A/B=(r-b)/(a-r)还常用于增长率问题。已知两个量的增长率，求两个量混合后的增长率。【例题】某班男生比女生人数多80%，一次考试后，全班平均成绩为75 分，而女生的平均分比男生的平均分高20% ，则此班女生的平均分是( )。【解析】设男生平均分x，女生1.2x。(75-1.2x)/(75-x)=1/1.8得x=70，则女生平均分为844.溶液交换浓度相等问题设两个溶液的浓度分别为a%，b%，且 ab，设需要交换溶液为x。则有：(b-x)：x=x：(a-x) x=ab/a+b【例题】两瓶浓度不同得盐水混合液。60%的溶液是40克，40%的溶液是60克。要使得两个瓶子的溶液浓度相同，则需要相互交换( )克的溶液?A.36 B.32 C.28 D.24【解析】设交换的溶液为x克，混和后的标准浓度c。先对60%的溶液研究，采用十字交叉法来得：40-x ：x=(c-40% ) ：(60%-c) 再对40%的溶液进行研究，同理得：60-x ：x=(60%-c) ：(c-40%) 由上面两式得40-x ：x=x ：60-x 即推出x=(4060)/(40+60)=24七、盈亏问题：核心思想即 人数=盈亏差分配差1.一次盈，一次亏：(盈+亏)(两次每人分配数的差)=人数2.两次都有盈： (大盈-小盈)(两次每人分配数的差)=人数3.两次都是亏： (大亏-小亏)(两次每人分配数的差)=人数4.一次亏，一次刚好：亏(两次每人分配数的差)=人数5.一次盈，一次刚好：盈(两次每人分配数的差)=人数【例题1】用绳测井深，把绳三折，井外余2米，把绳四折，还差1米不到井口，那么井深多少米？绳长多少米？ 【解析】井深=(32+41)/(4-3)=10米，绳长=(10+2)3=36米。 【例题2】有一个班的同学去划船。他们算了一下，如果增加1条船，正好每条船坐6人；如果减少1条船，正好每条船坐9个人。那么这个班共有多少名同学？ 【解析】增加一条和减少一条，前后相差2条，可理解为每条船坐6人正好，若坐9人则空出两条船。这样就是一个盈亏问题的标准形式了。 解答：增加一条船后的船数=92/(9-6)=6条，这个班共有66=36名同学。或者也可以理解为每条船坐9人正好，若坐6人则还缺两条船。增加一条船后的船数=62/(9-6)=4条，这个班共有49=36名同学。8、 鸡兔同笼问题假设全是鸡，则兔子数=（总脚数-鸡脚数总只数）（兔脚数-鸡脚数）假设全是兔子，则鸡数=（兔脚数总只数-总脚数-）（兔脚数-鸡脚数）【例题】灯泡厂生产灯泡的工人，按得分的多少给工资。每生产一个合格品记4分，每生产一个不合格品不仅不记分，还要扣除15分。某工人生产了1000只灯泡，共得3525分，问其中有多少个灯泡不合格？”【解析】假设全部合格，则不合格的有(41000-3525)(4+15)=47519=25（个） 假设全部不合格，不合格的有1000-(151000+3525)19=1000-1852519=25（个）9、 牛吃草问题：草生长速度=总量差时间差=（吃草速度1时间1吃草速度2时间2）时间差原有草量=（牛数每天长草量）天数 一般设每天长草量为x草的总量=原有草量+新生草量十、利润问题利润率利润/成本(售价成本)/成本售价/成本1售价成本(利润率) 成本售价/（利润率)【例题】一商品的进价比上月低了5%，但超市仍按上月售价销售，其利润率提高了6个百分点，则超市上月销售该商品的利润率为多少？A.12% B.13% C.14% D.15%【解析】本题中始终不变的是售价，根据 售价成本(利润率) ，设商品进价为100，上月利润率为x。则有100(1+x)=95(1+x+6%) 解得x=14%，选C十一、抽屉原理：原理1：把多于n个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有2个或2个以上的物体。原理2：把多于mn个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有m+1个或多于m+1个的物体。第二抽屉原理：把（mn1）个物体放入n个抽屉中，其中必有一个抽屉中至多有（m1）个物体。注意：抽屉原理类题也可用“最不利原则”来思考，答案为“最不利+1”。【例题】体育用品仓库里有许多足球、排球和篮球，某班50名同学来仓库拿球，规定每个人至少拿1个球，至多拿2个球，问至少有几名同学所拿的球种类是一致的？【解析】最多有同学拿球的配组方式共有C(1，3)+2C(2，3)=9种(足球、篮球、排球、足足、篮篮、排排、排篮、足排、足篮)。以这9种配组方式制造9个抽屉，将这50个同学看作苹果50955。由抽屉原理2，k（m/n）1可得，至少有6人，他们所拿的球相同。12、 容斥问题1.三者容斥问题问题的两个不同公式ABC=A+B+CABBCACABCABC=A+B+C重叠一次的2重叠两次的 ABC=K1+K2+K3 K1为第一层，K2为第二层，K3为第三层 A+B+C=K1+2K2+3K3=ABC+K2+2K3【例题】五年级一班共有55个学生，在暑假期间都参加了特长培训班，35人参加书法班，28人参加美术班，31人参加舞蹈班，其中以上三种特长培训班都参加的有6人，则有（ ）人只参加了一种特长培训班。A.45 B.33 C.29 D.22【解析】根据 A+B+C=ABC+K2+2K3=55+K2+26=35+28+31解得K2=27,根据ABC=K1+K2+K3 解得K1=22。K1即表示为只参加一种特长班的人数。2.容斥问题其他类型求两个集合的交集的最小值：A+B-I求三个集合的交集的最小值：A+B+C-2I【例题】小明、小刚和小红三人一起参加一次英语考试，已知考试共有100道题，且小明做对了68题，小刚做对了58题，小红做对了78题。问三人都做对的题目至少有几题?A.4题 B.8题 C.12题 D.16题【解析】解法一：代入公式：68+58+78-2100=4，选择A。解法二：由题意知，小明、小刚，小红做错的题分别为32，42，22，三人做错的题共有32+42+22=96道，利用最不利原则，即三人最多做错96道，则至少做对100-96=4道13、 工程问题1.基本工程问题： (1)已知每个人完成工作的时间，设工作总量为工作效率的最大公倍数，求出每人的工作量。 (2)抓住单独工作效率或者合作工作效率为解题关键。常见两种题型： 合作过程中有人休息：一般假设不休息来算。 轮流工作时：一般用周期来算。计算每轮工作的效率，算出最后一轮的实际工作量，以及最后剩余工作量如何分配。 (3)某些题型，无论合作还是轮流，按照两人的工作效率，甲做的天数可以转化为相当于乙做了多少天。【例题1】一件工作，甲单独做12天完成，乙单独做9天完成。按照甲先乙后的顺序每人每次1天轮流，完成需几天？A.31/3 B.32/3 C.11 D.10【解析】设工作总量为36，则甲每天做3份，乙每天做4份，轮流2天可做7份。36751，即甲乙轮流工作10天余1份，第11天时，甲完成剩余的1/3即可，所以共需31/3天。【例题2】一件工作，甲、乙两人合作30天可以完成，共同做了6天后，甲离开了，由乙继续做了40天才完成.如果这件工作由甲或乙单独完成各需要多少天？【解析】解法一：甲乙合作30天可做完；现在甲做6天，乙做46天可做完，前后对比甲少做24天，乙多做16天，所以甲乙的效率之比为6：4。所以乙做30天相当于甲做了45天，所以乙独做需75天；甲做30天相当于乙做20天，所以乙独做需要50天。 解法二：共同做了6天后，还成4/5的工作量，乙做4/5的工作量需要40天，所以乙独做需要50天，即乙每天做1/50，甲乙合作时乙做了30/50=3/5，甲做了2/5，甲做2/5的工作量需30天，所以甲独做需75天。【例题3】一件工程，甲单独做10天完成，乙单独做30天完成.现在两队合作，其间甲休息了2天，乙休息了8天。问开始到完工共用了多少天时间？【解析】解法一：设工作总量为30份，甲每天完成3份，乙每天完成1份。在甲单独做8天，乙单独做2天后，还需两队合作(30-38-12)(3+1)= 1天，所以共需8+2+1=11天【例题4】甲队单独做20天完成，乙队单独做30天完成。现在他们两队一起做，其间甲队休息了3天，乙队休息了若干天，从开始到完成共用了16天。问乙队休息了多少天？【解析】解法一：如果16天两队都不休息，可以完成的工作量是16(1/20+1/30)=4/3则两队休息期间未做的工作量为1/3，乙队休息期间未做的工作量1/3-3(1/20)=11/60，乙队休息的天数是 11/60(1/30)=5.5天 解法二：甲乙效率之比为3:2，甲单独做需20天，现在甲休息了3天，即甲做了13天，甲若再做7天即可完成，转化为乙做了10.5天，所有乙休息了16-10.5=5.5天。2.工程问题水管问题【例题3】甲、乙两管同时打开，9分钟能注满水池。现在，先打开甲管，10分钟后打开乙管，经过3分钟就注满了水池。已知甲管比乙管每分钟多注入0.6立方米水，这个水池的容积是多少立方米？ 【解析】解法一：甲每分钟注入水量是：(1-1/93)10=1/15，乙每分钟注入水量是：1/9-1/15=2/45。因此水池容积是：0.6(/15-2/45)=27m3 解法二：甲管9分钟，乙管9分钟可注满；甲管13分钟，乙管3分钟注满。前后对比甲管多进水4分钟，乙管少进水6分钟，即甲管和乙管的效率之比为4：6。已知甲管比乙管每分钟多注水0.6m3，所以两管每分钟共进水3m，所以水池容积为39=27m3十四、行程问题(1)相遇问题：路程和=速度和时间 （S1+S2）=（v1+v2）t(2)追及问题：路程差=速度差时间 （S1+S2）=（v1+v2）t(3)直线多次相遇问题：两人相向而行，第n次相遇时两人行走的总路程S总=(2n-1)S(4)环形运动问题：圆形跑道长为S，两人走的路程分别为S1、S2同地异向而行，相邻两次相遇间所走的路程和为周长，第n次相遇时两人走的总路程为nS同地同向而行，相邻两次相遇间所走的路程差为周长，第n次追上时两人走的路程差为nS1.沿途数车问题发车时间间隔T=(2t1t2)/ (t1+t2)车速/人速=(t1+t2)/ (t2-t1) t1为迎面来一辆车所需时间，t2为从身后超过一辆车所需时间【例题】小红沿某路公共汽车路线以不变速度骑车去学校，该路公共汽车也以不变速度不停地运行，每隔6分钟就有辆公共汽车从后面超过她，每隔10分钟就遇到迎面开来的一辆公共汽车，公共汽车的速度是小红骑车速度的（ ）倍？A. 3 B.4 C. 5 D.6【解析】车速/人速=(10+6)/(10-6)=4 2.公交车超骑车人和行人问题【例题】一条街上，一个骑车人和一个步行人相向而行，骑车人的速度是步行人的3倍，每个隔10分钟有一辆公交车超过一个行人。每个隔20分钟有一辆公交车超过一个骑车人，如果公交车从始发站每隔相同的时间发一辆车，那么间隔几分钟发一辆公交车? t人=超行人时间，t车=超自行车时间，v人=人的速度，v车=自行车的速度通解公式：发车时间间隔T=t人t车(v车-v人)/(v车t车-v人t人)上题代入解得T=83.队伍行走问题：已知：v1为传令兵速度，v2为队伍速度，L为队伍长度。从队尾到队首的时间为：L/(v1-v2 ) 从队首到队尾的时间为：L/(v1+v2 )4.行程问题停留问题，化静为动看待问题。我们可以假设停留的时间没有停留，把它们两者的停留时间按照原速度计入总路程中。【例题1】快慢两车同时从甲乙两站相对开出，6小时相遇，这时快车离乙站还有240千米，已知慢车从乙站到甲站需行15小时，两车到站后，快车停留半小时，慢车停留1小时返回，从第一次相遇到返回途中再相遇，经过多少小时?【解析】相遇时快车距离乙站240km，即为相遇时慢车走了240km，则v慢=40km/h，甲乙两地总路程为4015=600km，所以，相遇时快车走了360km，则v快=60km/h从第一次相遇到返回途中再相遇，两车共行的路程为甲乙两站距离的2倍，假设快车不在乙站停留0.5小时，慢车不在甲站停留1小时，则两车从第一次相遇到第二次相遇所行总路程为6002+600.5+401=1270km，两次相遇期间所经时间为1270(60+40)=12.7h【例题2】甲乙两人同时从东镇出发，到相距90千米的西镇办事，甲骑自行车每小时行30千米，乙步行每小时行10千米，甲到西镇用1小时办完事情沿原路返回，途中与乙相遇。问这时乙走了多少千米?【解析】甲从东镇到西镇，返回时与乙相遇，故两人所行路程总和为902=180km，但因甲到西镇用了1小时办事。倘若甲在这1小时中没有停留，而是继续骑行，这样两人所行总路程应为：902+30=210km，则相遇时间为：210(30+10)=5.25h，则乙行了105.25=52.5km。十五、流水行船问题 v顺=v船+v水 v逆=v船-v水v船=(v顺+v逆)/2 v水=(v顺-v逆)/2 v船/v水=(v顺+v逆)/(v顺-v逆) 已知：A、B两地由一条河流相连，轮船匀速前进，从A到B顺流需时间T顺，从B到A逆流需时间T逆。(1)漂流时间=2T顺T逆/(T逆-T顺)(2) 轮船在静水中从A到B的时间=2T顺T逆/(T逆+T顺)【例题1】轮船从A城到B城需行3天，而从B城到A城需行4天.从A城放一个无动力的木筏，它漂到B城需多少天? 【解析】代入公式：234(4-3)=24天【例题2】轮船从A城到B城需行3天，而从B城到A城需行6天，若轮船在静水中从A到B需要多长时间? 【解析】代入公式：236(3+6)=4天(3)多次相遇公式：S1为第一次相遇时的距离，S2为第二次相遇时的距离。S1和S2相对的是同一地点，则为单岸型，不同地点则为双岸型。单岸型：S=(3S1-S2)/2 双岸型：S=3S1-S2(4)行船复杂问题【例题】一只游轮从甲港顺流而下到乙港，又逆水返回甲港，共用8小时，顺水每小时比逆水每小时多行12千米，前4小时比后4小时多行30千米。甲、乙两港相距多少千米?A.72 B.60 C.55 D.48【解析】全程共用8小时，所以逆水行船花的时间过半，后4小时全部是逆水行船，前4小时有一部分是顺水，一部分是逆水。解法一：由于逆水速度不变，所以前4小时比后4小时多行驶的距离就是顺水时多行的距离，可以得出：t顺=30/12=2.5h，t逆=5.5h则v顺/v逆=5.5/2.5=2.2倍，v顺-v逆=1.2v逆=12km/h，则v逆=10km/h，甲乙两港的距离就是105.5=55km。解法二：v逆=v顺-12 S逆=4v顺-48 S=S逆+15=4v顺-33 由S/v顺+15/v逆=S逆/v逆 代入解得v顺=22 则S=55km16、 排列组合1. 2.“在位”与“不在位”：n个元素中取m个元素的排列 某元素必在某位有种 某元素不在某位有（补集思想）（着眼位置）（着眼元素）种【例题】5本书从左到右依次摆在书架上，其中一本书既不能摆在排头，也不能摆在排尾，一共有多少种摆法？【解析】解法一：补集思想。5本书排列，若不限制条件，共有种排法；其中某种书排在排头或排尾有种，它不符合条件，故符合条件的排法有=72种解法二：插空法。先把不能摆在排头也不能摆在排尾的的书拿开，让其余4本书做全排列，有种，然后再把那本书插入中间3个空隙处，有种。所有共有=72种解法三：看眼位置。某本书既不能摆在排头，也不能摆在排尾，这两个位置只能摆其余4本书，有种；中间3个位置只能排余下的3本书，有种。所以共有=723.排列组合基本问题 捆绑法：n个元素的全排列，k个元素必须相邻的排法有种。应用于不相邻问题，先将相邻元素全排列，然后视为一个整体与剩余元素全排列 插空法：n个元素的全排列，k个元素不能相邻的排法有种。应用于相邻问题，先将剩余元素全排列，然后将不相邻元素有序插入所成间隙中 两组元素各相同的插空：m个A类元素n(nm+1)个B类元素排成一列，B类元素必须分开，有种排法 插板法：n个元素分成m组，每组至少一个元素，可用m-1个“挡板”插入n个元素形成的n-1个空隙中，将元素分成m组，有种。5.平均分组问题：将mn个元素平均分成n组，每组m个，分法有6.环线排列问题：n元素排成一圈，排法有种 注意：n个珍珠串成一条项链，有种/2n=(n-1)! 种串法。7.多人传球问题：n人传接球m次，则传球种数x=(n-1)m/n 最接近x的整数为末次传他人次数，第二接近x的整数为末次传给自己的次数 【例题】四人进行篮球传接球练习，要求每人接球后再传给别人。开始由甲发球，并作为第一次传球，若第五次传球后，球又回到甲手中，则共有传球方式（ ）。A.60种 B.65种 C.70种 D.75种【解析】 (4-1)5 / 4=60.75 最接近的是61为最后传到别人次数，第二接近的是60为最后传给自己的次数。即选A8.比赛场次问题：已知n人参赛人数单循环场次= 双循环场次=淘汰赛(仅需决出冠亚军)：比赛场次=n-1淘汰赛(需决出冠亚季军)：比赛场次=n【例题】8支球队进行单循环比赛，每两支球队都比一场，胜者得2分，败者得0分，平局各得1分，比赛结束后，所有球队的总分和是( )。A.28 B.56 C.84. D.112【解析】单循环比赛共需比赛场次=87/2=28，每场不管胜负，还是平平，都是每场产生2分的分值，则总分和为282=56分。9.错位重排问题(伯努利-欧拉问题)，指把n个元素的位置重新排列，使每个元素都不在原来位置上的排列问题。递推公式：n封信的错位重排方数：Dn=(n-1)(Dn-2+Dn-1) Dn=0，1，3，9，44牢记【例题】小明要给自己的6位好朋友分别写一封信，在装信的时候一不小心只有2个信封上写对了地址，问写错的可能情况有多少种?A.90种 B.115种 C.125种 D.135【解析】只有2封写对了地址，说明有4封写错了，先选出哪4封写错了，即=15种，4封写错了相当于是4个元素的错位重排，有9种情况，再利用分布相乘159=135种10.排列组合之涂色问题将一个圆环分成n(n2)个扇形区域，现用k(k2)种不同颜色对这n个区域染色，要求相邻区域颜色不同，染色方法有多多少种？An=(k-1)n+(-1)n(k-1)n为区域数，k为颜色种类数【例题】将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端异色。只有五种颜色可供使用，则不同的染色方法有()种。【解析】将四棱锥转化为圆环染色问题，中间区域P的染色方法有=4种；其余4个区域还剩3种颜色可供选择，根据公式有(3-1)4+(-1)4(3-1)=18种。所以共有184=72种11.贺卡问题了解 同寝室4人各写一张贺年卡,先集中起来,然后每人从中拿1张别人送出的贺年卡,则4张贺年卡不同的分配方式有（ ）种? 该类问题公式，也常用于取球时不取到属于自己的球。 此题代入公式十七、概率问题 总体概率=满足条件的各种情况概率之和 分布概率=满足条件的每个步骤概率之积 某条件成立概率=总概率该条件不成立的概率1.互斥事件A，B分别发生的概率和P(AB)=P(A)P(B) n个互斥事件分别发生的概率的和P(A1A2An)=P(A1)P(A2)P(An)2.独立事件A，B同时发生的概率P(AB)= P(A)P(B) n个独立事件同时发生的概率P(A1A2An)=P(A1) P(A2) P(An)3.条件概率：事件A在另外一个事件B已经发生条件下的发生概率。条件概率表示为P（A|B），读作“在B条件下A的概率”。P(A|B)=P(AB)/P(B)4.全概率公式P(A)=P(AB1)+P(AB2)+P(ABn)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+.+P(Bn)P(A|Bn)=P(Bi)P(A|Bi)5.伯努利概率模型如果实验A有只有两个基本事件A及，P(A)=p，P()=1-p(0p1)。每次实验中事件A发生的概率为p，n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率【例题】小王开车上班需经过4个交通路口，假设经过每个路口遇到红灯的概率分别为0.1、0.2、0.25、0.4，则他上班经过4个路口至少有一处遇到绿灯的概率是()。A.0.899 B.0.988 C.0.989 D.0.998【解析】利用逆向思维，“至少有一次遇到绿灯”的反面情况就是“一次绿灯都遇不到”，即“全遇到红灯”，而全遇到红灯的概率为0.10.20.250.4=0.002，所以答案是是10.002=0.998，因此选D。 十八.其他数量关系考点1.剪绳问题一根绳连续对折n次，从中剪m刀，则被剪成段数=2nm+12.握手问题：n个人彼此握手，则总握手数N=n(n-1)/2 该类问题思想：如直线交点问题，有以下分析： 要产生最多交点时，每条直线必须与其他的直线都有交点； 当有n条直线相交时，每条直线与其他的直线(n-1)个交点，共产生n(n-1)个交点，但是均重复一次，所以产生的交点数最多有n(n-1)/2【例题】某个班的同学体育课上玩游戏，大家围成一个圈，每个人都不能跟相邻的2个人握手，整个游戏一共握手152次， 请问这个班的同学有( )人。A.16 B.17 C.18 D.19【解析】此题看上去是一个排列组合题，但是却是使用的多边形对角线的原理在解决此题。按照排列组合假设总数为x人，则=152。但是计算想当麻烦。若以某个人为研究对象，则这个人需要握x-3次手。每个人都是这样。则总共握了x(x-3)次手，但是没2个人之间的握手都重复计算了1次。则实际的握手次数是x(x-3)/2=152，计算的x=19人。3.过河爬井问题M个人过河，船上能载N个人，由于需要n人划船，故共需过河次数=(M-N)/(N-n)+1=M-n/N-n青蛙从井底向上爬，井深M米，青蛙每跳上N米，又滑下n米，这样青蛙需跳出井需要次数=(总长-单长)/实际单长+1=(M-N)/(N-n)+1=M-n/N-n【例题】有37名战士渡河，现在只有一条小船，每次只能载5人，需要几次才能渡完？（ ）A.7 B. 8 C.9 D.10【解析】(37-1)/(5-1)=9 选C。4黑夜过桥问题：过河时间最短的人先过；已过的人中最短时间的人返回；剩下的人过河时间最长的过河5.页码问题一本书的页码一共用了270个数字，求这本书的页数。页数=(270+129)/3=126页公式：10-99页：页数=(数字+19)/2 100-999页：页数=(数字+129)/3 1000-9999页：页数=(数字+1239)/46. 数据分配与和定极值问题【例题】有4支队伍进行4项体育比赛，每项比赛的第一、第二、第三、第四名分别得到5，3，2，1分。每队的4项比赛的得分之和算作总分，如果已知各队的总分不相同，并且A队获得了三项比赛的第一名，问总分最少的队伍最多得多少分?A.7 B.8 C.9 D.10【解析】要让总分最少的队伍的得分最多，其他队伍的得分要尽量的少。已知4项比赛的总分共为44分。A队已获得了三项比赛的第一名，那么要想让A队的得分尽量少，最后一项比赛得第四名，即：A队的总分为35+1=16分。设总分最少的队伍的得分为x，则剩下的两个队伍比它多但要尽量和它接近，只能是x+1， x+2。所以16+x+x+1+x+244，x8.3，因为得分只能为整数，那么x=8。7.电梯问题顺行能看到级数=（v人+v电）t顺逆行能看到级数=（v人-v电）t逆【例题】甲、乙两人在匀速上升的自动扶梯从底部向顶部行走，甲每分钟走扶梯的级数是乙的2倍；当甲走了36级到达顶部，而乙则走了24级到顶部。那么，自动扶梯有多少级露在外面？（ ）【解析】甲乙二人的速度比为2：1，所以当甲到达扶梯顶部时也就是甲走了36级时，乙走了18级，由于二人乘坐的电梯速度相同又同步，所以两种方式电梯走过的路程相同，此时乙距离顶部还有36-18=18级。而乙走了24级到达顶部，已经走了18级，还需要再走24-18=6级，而距离顶部还有18级，说明还有18-6=12级是扶梯走的。由此可以推断扶梯和乙的速度比为12：6=2：1，因为时间相同时路程比等于速度比，也就说明了扶梯的速度和甲的速度相等，那么相同时间甲和扶梯的路程也相等，所以扶梯的级数为362=72。8. 调和平均数的应用等距离平均速度问题：v=1v2/(v1+v2)等价格平均价格问题： 均价p=n /（1/p1）+(1/p2)+(1/pn)【例题】某店购进甲、乙、丙三种不同的糖，所有费用相等，甲、乙、丙三种糖每千克费用分别为4.4元，5元，6.6元，把三种糖混在一起后每千克成本多少元？【解析】解法一：代入公式，均价A=3/(1/4.4)+(1/6)+(1/6.6)=5.5元解法二：设所用费用均为66元，则甲、乙、丙重量分别为15，11，10。混合成本=（663）/(15+11+10)=5.5元等溶质增减问题： ci为第i次的溶液浓度，i=1，2，3【例题】沿途数车问题：发车时间间隔T=(2t1t2)/ (t1+t2)车速/人速=(t1+t2)/ (t2-t1) t1为迎面来一辆车所需时间，t2为从身后超过一辆车所需时间推导资料分析基础公式1.同(环)比增长 已知本期数为A，上年同期(上期)数为B，同(环)比增长率为a%，同