相似三角形的性质(经典全面)

Page 1 of 27 一、相似的有关概念 1相似形 具有相同形状的图形叫做相似形相似形仅是形状相同，大小不一定相同相似图形之间的互相变 换称为相似变换 2相似图形的特性 两个相似图形的对应边成比例，对应角相等 3相似比 两个相似图形的对应角相等，对应边成比例 二、相似三角形的概念 1相似三角形的定义 对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形 如图，与相似，记作，符号读作“相似于”ABCA B C ABCA B C A BCCB A 2相似比 相似三角形对应边的比叫做相似比全等三角形的相似比是 1 “全等三角形”一定是“相似形”， “相似形” 不一定是“全等形” 三、相似三角形的性质 1相似三角形的对应角相等 如图，与相似，则有ABCA B C AABBCC ， A BCCB A 2相似三角形的对应边成比例 如图，与相似，则有（为相似比）ABCA B C ABBCAC k A BB CA C k 相似三角形的性质及判定相似三角形的性质及判定 Page 2 of 27 A BCCB A 3相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比 如图 1，与相似，是中边上的中线，是中边上的中ABCA B C AMABCBCA MA B C B C 线，则有（为相似比） ABBCACAM k A BB CA CA M k M M A BC CB A 图 1 如图 2，与相似，是中边上的高线，是中边上的高ABCA B C AHABCBCA HA B C B C 线，则有（为相似比） ABBCACAH k A BB CA CA H k H H A BCC B A 图 2 如图 3，与相似，是中的角平分线，是中的ABCA B C ADABCBACA D A B C B A C 角平分线，则有（为相似比） ABBCACAD k A BB CA CA D k D D A B CCB A 图 3 4相似三角形周长的比等于相似比 如图 4，与相似，则有（为相似比）应用比例的等比性质有ABCA B C ABBCAC k A BB CA C k ABBCACABBCAC k A BB CA CA BB CA C Page 3 of 27 A BCCB A 图 4 5相似三角形面积的比等于相似比的平方 如图 5，与相似，是中边上的高线，是中边上的高ABCA B C AHABCBCA HA B C B C 线，则有（为相似比）进而可得 ABBCACAH k A BB CA CA H k 2 1 2 1 2 ABC A B C BC AH SBCAH k SB CA H B CA H H H A BCC B A 图 5 四、相似三角形的判定 1平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相 似 2如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似可简单说 成：两角对应相等，两个三角形相似 3如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相 似 4如果一个三角形的三条边与另一个三角形的你对应成比例，那么这两个三角形相似可简单地说 成：三边对应成比例，两个三角形相似 5如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例， 那么这两个直角三角形相似 6直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形相似（常用但要证明） 7如果一个等腰三角形和另一个等腰三角形的顶角相等或一对底角相等，那么这两个等腰三角形相 似；如果它们的腰和底对应成比例，那么这两个等腰三角形也相似 五、相似证明中的比例式或等积式、比例中项式、倒数式、复合式 证明比例式或等积式的主要方法有“三点定形法” 1横向定型法 欲证，横向观察，比例式中的分子的两条线段是和，三个字母恰为 ABBC BEBF ABBCABC， 的顶点；分母的两条线段是和，三个字母恰为的三个顶点因此只需ABCBEBFBEF，BEF Page 4 of 27 证ABCEBF 2纵向定型法 欲证，纵向观察，比例式左边的比和中的三个字母恰为的顶点；右 ABDE BCEF ABBCABC，ABC 边的比两条线段是和中的三个字母恰为的三个顶点因此只需证DEEFDEF，DEF ABCDEF 3中间比法 由于运用三点定形法时常会碰到三点共线或四点中没有相同点的情况，此时可考虑运用等线，等比或 等积进行变换后，再考虑运用三点定形法寻找相似三角形这种方法就是等量代换法在证明比例式 时，常用到中间比 比例中项式的证明，通常涉及到与公共边有关的相似问题。这类问题的典型模型是射影定理模型， 模型的特征和结论要熟练掌握和透彻理解 倒数式的证明，往往需要先进行变形，将等式的一边化为 1，另一边化为几个比值和的形式，然后对 比值进行等量代换，进而证明之 复合式的证明比较复杂通常需要进行等线代换（对线段进行等量代换） ，等比代换，等积代换，将 复合式转化为基本的比例式或等积式，然后进行证明 六、相似证明中常见辅助线的作法 在相似的证明中，常见的辅助线的作法是做平行线构造成比例线段或相似三角形，同时再结合等量代 换得到要证明的结论常见的等量代换包括等线代换、等比代换、等积代换等 如图：平分交于，求证：ADBACBCD BDAB DCAC 321 E DC A B 证法一：过作，交的延长线于CCEADBAE ，1E 23 ，12 3E ACAE ，ADCE BDBABA DCBEAC 点评：做平行线构造成比例线段，利用了“A”型图的基本模型 B A CD E 1 2 证法二；过作的平行线，交的延长线于BACADE ，12E ABBE Page 5 of 27 ，BEAC BDBEAB DCACAC 点评：做平行线构造成比例线段，利用了“X”型图的基本模型 七、相似证明中的面积法 面积法主要是将面积的比，和线段的比进行相互转化来解决问题 常用的面积法基本模型如下： 1 “ ” HDC B A 如图： 1 2 1 2 ABC ACD BC AH SBC SCD CD AH 2 “ ” GH O D C B A 如图： 1 2 1 2 ABC BCD BC AH SAHAO SDGOD BC DG 3 “ ” C D E B A 如图： ABDABDAED ACEAEDACE SSSABADAB AD SSSAEACAE AC 八、相似证明中的基本模型 I HG FE DCB A G F ED C B A E D CB A ED C B A Page 6 of 27 EF DC BA F E DC BA O DC B A O DC BA H E D CB A E DCB A E DCB A O D C B A DC BDBA C A E D CB A DCB A G F E D C B A G F E D C B A G F E D CB A D E FC B A H P M N F E D C B A G H G F E D C B A E F D C B A F E D CB A 例题精讲例题精讲 一、与三角形有关的相似问题 【例 1】 如图，在中，点在边上，若在增加一个条件就能使，ABCACABDACABCACB 则这个条件可以是 C D B A 【例 2】 如图，、是的边、上的点，且，求证：.DEABCACABAD ACAE ABADEB Page 7 of 27 E D CB A 【例 3】 如图，在中，于，于，的面积是面积的 4 倍，ABCADBCDCEABEABCBDE ，求的长.6AC DE E DCB A 【例 4】 直线与的边相交于点，与边相交于点，下列条件：；DEABCABDACEDEBC ；中，能使与相似的条件有（ AEDB AE ACAD AB AEED ACBC ADEABC ） A1 个B2 个C3 个D4 个 【例 5】 如图，中，点是内一点，使得，ABC60ABCPABCAPBBPCCPA ，则 86PAPC，PB P CB A 【例 6】 如图，已知三个边长相等的正方形相邻并排，求EBFEBG HG F ED CB A 【例 7】 如图，已知中，与相交于，则的值 ABC:1:3AE EB :2:1BC CD ADCEF AFEF FCFD 为（ ） A D E F C B A. B.1 C. D.2 5 2 3 2 Page 8 of 27 【例 8】 在中，的延长线交的延长线于， 求证：.ABCBDCEDEBCPAD BPAE CP P E D C B A M P ED C B A 【例 9】 如图，在的边上取一点，在取一点，使，直线和的延长线ABCABDACEADAEDEBC 相交于，求证：P BPBD CPCE P E D CB A 4 3 2 1 M P E D C B A 【例 10】如图，、为边上的两点，且满足，一条平行于的直线MNABCBCBMMNNCAC 分别交、和的延长线于点、和.ABAMANDEF 求证：.3EFDE F NM E D CB A K H F NM G E D CB A 【例 11】如图，已知，若，求证：./ / /ABEFCDABaCDbEFc 111 cab D C F E B A Page 9 of 27 【例 12】如上图，垂足分别为、，和相交于点，ABBDCDBDBDACBDEEFBD 垂足为.证明：.F 111 ABCDEF F D C E A B 【例 13】如图，已知，找出、之间的关系，并证明你的结论./ / /ABEFCD ABD S BED S BCD S NMHD C F E B A 【例 14】如图，在四边形中，与相交于点，直线 平行于，且与、ABCDACBDOlBDABDC 、BCAD 及的延长线分别相交于点、和.求证：ACMNRSPPM PNPR PS l SRPNM O D C B A 【例 15】已知，如图，四边形，两组对边延长后交于、，对角线，的延长ABCDEFBDEFAC 线交于求证：EFGEGGF GF E C D B A NM GF E C D B A 【例 16】已知：为的中位线上任意一点，、的延长线分别交对边、于PABCMNBPCPACAB 、，求证：DE1 ADAE DCEB Page 10 of 27 P N M ED CB A R Q P N M ED CB A 【例 17】如图所示，是一个凸六边形，、分别是直线与、与、ABCDEFPQRBAEFFECD 与的交点，、分别是与、与、与的交点，如果DCABSTUBCEDDEAFFACB ，求证：AB PRCDRQEF QPBC USDE STFA TU T S U RQ P F E DC B A 【例 18】设、分别是凸四边形的边、上的点，且，PQABCDBCADAQ QDBP PCAB CD 求证：直线与之间的夹角等于直线与之间的夹角PQABPQCD Q P E FDC B AC Q P R E FDC B A 【例 19】如图， 中，若分别是的中点，则；ABCBCa 11 DE，ABAC， 11 1 2 D Ea 若分别是的中点，则； 22 DE、 11 D BE C、 22 13 2 24 a D Eaa 若分别是的中点，则； 33 DE、 22 D BE C、 33 1 37 2 48 D Eaaa 若分别是的中点，则_. nn DE、 -1-1nn D BE C、 nn D E Page 11 of 27 EnDn E3 D3 E2 D2 E1 D1 C B A 【例 20】如图，内有一点，过作各边的平行线，把分成三个三角形和三个平行四ABCPPABC 边形若三个三角形的面积分别为，则的面积是 123 SSS，1 12，ABC P S3 S2 S1 I HG F ED CB A 【例 21】【如图，梯形的两条对角线与两底所围成的两个三角形的面积分别为，则梯形ABCD 22 pq， 的面积是（ ） q2 p2 O AB CD AB 22 2 pq 2 pq CD 22 pqpq 22 22 22 p q Pq pq 【例 22】如图，梯形中，两条对角线、相交于，若，ABCDADBCACBDO:1:9 AODCOB SS 那么 : BOCDOC SS O A BC D 【例 23】已知：的高所在直线与高所在直线相交于点ABCADBEF （1）如图 l，若为锐角三角形，且，过点作，交直线于点，ABC45ABCFFGBCABG 求证：；FGDCAD （2）如图 2，若，过点作，交直线于点，则之135ABCFFGBCABGFGDCAD、 间满足的数量关系是 ； （3）在（2）的条件下，若，将一个角的顶点与点重合并绕点旋转，5 2AG 3DC 45BB 这个角的两边分别交线段于两点（如图 3） ，连接，线段分别与线段、线FGMN，CFCFBM Page 12 of 27 段相交于两点，若，求线段的长BNP Q， 3 2 NG PQ 1 G F E DCB A 2 G F E D C B A 3 N Q P A BC D E F G M 【例 24】如图所示，在中，为的中点，是ABC60B100AEAC80DECD 边上的点，求的面积与的面积的两倍的和BC1BC ABCCDE E DCB A 二、与平行四边形有关的相似问题 【例 25】如图，已知平行四边形中，过点的直线顺次与、及的延长线相交于点ABCDBACADCD 、，若，则的长是 EFG5BE 2EF FG E F G D C A B 【例 26】如图，已知，求证：.DEAB 2 OAOC OEADBC D O E C BA Page 13 of 27 【例 27】如图，的对角线相交于点，在的延长线上任取一点，连接交于点ABCDAOABEOEBC ，若,求的值FABaADcBEb，BF O F E DC B A K O F E DC B A 【例 28】如图：矩形的面积是 36，在边上分别取点，使得，ABCDABAD，EF，3AEEB ，且与的交点为点，求的面积。2DFAFDECFOFOD K A B C D E F O O F E D C B A 【例 29】如图，已知在矩形中，为的中点，交于，连接ABCDEADEFECABF （）.FCABAE （1）与是否相似，若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由.AEFECF （2）设是否存在这样的值，使得，若存在，证明你的结论并求出值； AB k BC kAEFBCFk 若不存在，说明理由. F ED CB A M A BC D E F Page 14 of 27 三、与梯形有关的相似问题 【例 30】如图，在梯形中，,，若，且ABCDADBC396ADBCAB，4CD EFBC 梯形与梯形的周长相等，求的长AEFDEBCFEF FE D C B A K H FE D C B A 【例 31】已知：如图，在梯形中，是的中点，分别连接、ABCD/ /ABCDMABACBDMD ，且与交于点，与交于.MCACMDEDBMCF （1）求证：/ /EFCD （2）若,，求的长.ABaCDbEF F E M D C BA 【例 32】如图，在梯形中，分别是的中点，ABCDADBCADaBCbEF，ADBC， 交于，交于，求的长 AFBEPCEDFQPQ O Q P B FC D E A O Q P B FC D E A Page 15 of 27 【例 33】如图，已知梯形中，,(),ABCD/ADBC90AABaADb2BCbab ,交于点，连接.DEDCDEABEEC （1）判断与，与是否分别一定相似，若相似，请加以证明.DCEADEDCEBCE （2）如果不一定相似，请指出、满足什么关系时，它们就能相似.ab E D C B A F E D CB A 四、与内接矩形有关的相似问题 【例 34】中，正方形的两个顶点、在上，另两个顶点、分别在、ABCEFGHEFBCGHAC 上，,边上的高,求.AB15BC BC10AD EFGH SA H G FEDCB A D M F E C B A 【例 35】如图，已知中，四边形为正方形，其中在ABC3490ACBCC，DEGFDE， 边上，在上，求正方形的边长ACBC，FG，AB G F ED C B A I HGF E D C BA Page 16 of 27 【例 36】如图，已知中，四边形为正方形，其中ABC5114 5ACABBC，DEGF 在边上，在上，求正方形的边长DE，ACBC，FG，AB G F ED C B A I HGF E D C BA 【例 37】如图，已知中，四边形为正方形，在线段上，在上，ABCDEGFDE，ACBC，FG，AB 如果，求的面积1 ADFCDE SS 3 BEG SABC G F ED C B A I HGF E D C BA 【例 38】如图，在中，动点(与点，不重合)在边上，ABC5AB 3BC 4AC EACAC 交于点EFABBCF 当的面积与四边形的面积相等时，求的长ECFEABFCE 当的周长与四边形的周长相等时，求的长ECFEABFCE 试问在上是否存在点，使得为等腰直角三角形？若不存在，请简要说明理由；若ABPEFP 存在，请求出的长EF F E C B A P2 P1H Q FE C B A D P H Q F E C B A Page 17 of 27 五、与角平分线有关的相似问题 【例 39】如图，是的角平分线，求证：ADABC ABBD ACCD DCB A 3 2 1 E D C B A 【例 40】已知中，的外角平分线交对边的延长线于，求证：ABCBACBCD ABBD ACCD D C B A F 4 3 2 1 E DCB A 【例 41】已知中，的外角平分线交对边的延长线于，求证：ABCBACBCD 2 ADBD CDAB AC D C B A 43 2 1 F E DCB A 【例 42】已知：、分别为的内、外角平分线，为的中点，求证：ADAEABCMDE 2 2 ABBM ACCM M E D CB A M E D CB A Page 18 of 27 【例 43】已知：、分别为的内、外角平分线，求证：.ADAEABC 112 BDBEBC EDCB A 【例 44】在中，平分交于点，求证：ABC120BACADBACBCD 111 ADABAC DCB A E D CB A N M D C B A 【例 45】已知四边形，、分别为一组对边、的两点，若ABCDEFBCAD BEAFAB ECFDDC 求证：、与成等角.ABDCEF F E D C B A H G F E D C B A 【例 46】如图，已知是的平分线上的定点，过点任作一条直线分别交、于、AXOYAOXOYP .Q 1证明：是定值；求的最小值 11 OPOQ 22 11 OPOQ Page 19 of 27 Q P Y X O A K Q F E P Y X O A a a Y X M P Q O A 六、与公共边有关的相似问题 【例 47】如图，直角中，证明：，ABCABACADBC 2 ABBD BC 2 ACCD BC . 2 ADBD CD D CB A 【例 48】如图，在矩形中，对角线、相交于点，为的中点，连接交ABCDACBDGEADBE 于，连接，若，则下列四对三角形：与；与ACFFD90BFABEAACDFED ；与；与，其中相似的为（ ）DEBCFDABGADFCFB G A BC D E F ABCD 【例 49】如图，矩形中，于，恰是的中点，下列式子成立的是（ ）ABCDBEACFECD F EDC BA ABCD 22 1 2 BFAF 22 1 3 BFAF 22 1 2 BFAF 22 1 3 BFAF 【例 50】如图，中，于，于，于，交于，、ABCADBCDBEACEDFABFBEGFD 的延长线交于点，求证：.ACH 2 DFFG FH Page 20 of 27 H G D F E C B A 【例 51】如图，点在上，是的中点，于90Rt ABCC中，DACBDADMABMEAC ，点是的中点，连接。求证：。EPMEDPBEDP AB C D E M P P M E D C B A 【例 52】已知，如图正方形内接于，在斜边上，于。求证：DEFGRt ABCEFBCEHABH （1）；（2）。ADGHED 2 EFBE FC H G FE D CB A 【例 53】如图，在直角梯形中，对角线，垂足为，ABCDABCDABBC，ACBDE ，过 的直线交于ADBDEEFABADF ，AFBE 2 AFAE EC F E D C BA 【例 54】如图，中，于为的中点，的延长线交于ABC90ACBCDABDE，BCDEAC， F 求证： ACFA BCFD Page 21 of 27 3 2 1 F D E C BA 【例 55】如图，等腰中，于，延长交于，交ABCABACADBCDCFABBPACE 于，CFF 求证： 2 BPPE PF F P E D CB A 21 F P E D CB A 【例 56】如图，在中，平分，的垂直平分线交于，交的延长线于，ABCADBACADADEBCF 求证： 2 FDFB FC E FDC B A 4 3 2 1 A E BD CF 【例 57】如上图，在中，的垂直平分线交于，交的延长线于，ABC 2 FDFB FCADADEBCF 求证：平分ADBAC E FDC B A 【例 58】已知，如图，为等边三角形，且的两边交直线于两点，ABC120DAEDAEBCDE， 求证： 2 BCBD CE Page 22 of 27 E D CB A 3 2 1 E D CB A 【例 59】已知，如图，为等腰三角形，在不添加辅助线的条件下：ABCABAC 当与满足什么关系时，(括号里填图中已有线段)BACDAE 2 (_)BD CE 证明你的结论 E D CB A C B A CB A 七、与旋转有关的相似问题 【例 60】如图，直角梯形中，为梯形内一点，且ABCD90BCDADBCBCCDE ，将绕点旋转使与重合，得到，连交于已90BECBECC90BCDCDCFEFCDM 知，则的值为（ ）53BCCF，:DM MC A B C D 5:33:54:33:4 M F E D CB A 【例 61】如图，四边形和均为正方形，求_.ABCDBEFG:AG DF CE Page 23 of 27 A B C D E F G G F E D CB A 【例 62】（1）如图 1，等边中，为边上的动点，以为一边，向上作等边，ABCDABCDEDC 连接，求证：AEAEBC （2）如图 2，将（1）中的等边改为以为底边的等腰三角形，所作的改成相ABCBCEDC 似于，请问：是否有？证明你的结论ABCAEBC E D C B A D E B C A 【例 63】把两块全等的直角三角板和叠放在一起，是三角板的锐角顶点与三角板ABCDEFDEFD 的斜边中点重合，其中，把三角ABCO90ABCDEF 45CF 4ABDE 板固定不动，让三角板绕点旋转，设射线与射线相交于点，射线与ABCDEFODEABPDF 线段相交于点BCQ （1）如图 1，当射线经过点，即点与点重合时，易证此时，DFBQBAPDCDQ AP CQ （2）将三角板由图 1 的所示的位置绕点沿逆时针方向旋转，设旋转角为，其中DEFO ，问的值是否改变？说明你的理由090AP CQ （3）在（2）的条件下，设，两块三角板重叠的部分面积为，求于的函数关系CQxyyx 式 3 M F E P Q D(O) C B A 2 Q P F E D(O) C B A 1 P F E D(O) CB(Q) A Page 24 of 27 八、与相似有关的动点问题 【例 64】如图，中，点从出发，沿方向以的速度移ABC 3 908 5 AC CBC AB ，PBBC2 / s 动，点从出发，沿方向也以的速度移动，若分别从出发，经过多少时QCCA1/ sPQ，BC， 间与相似？CPQCBA Q P CB A 【例 65】如图，在矩形中，点沿边从点开始向点以秒的速度ABCD126ABBC，PABAB2 / 移动，点沿边以秒的速度从点开始移动，如果同时出发，用 （秒）表示移动QDA1/DPQ，t 的时间(06)t 当 为何值时，为等腰直角三角形？tQAP 求四边形面积，提出一个与计算结果相关的正确结论QAPC 当 为何值时，以点为顶点的三角形与相似tQAP，ABC Q P D C B A 【例 66】如图，矩形中，厘米，厘米（） 动点同时从点出发，ABCD3AD ABa3a MN，B 分别沿，运动，速度是 厘米秒过作直线垂直于，分别交，于BABC1MABANCD 当点到达终点时，点也随之停止运动设运动时间为 秒PQ，NCMt 若厘米，秒，则_厘米；4a 1t PM 若厘米，求时间 ，使，并求出它们的相似比；5a tPNBPAD 若在运动过程中，存在某时刻使梯形与梯形的面积相等，求的取值范围；PMBNPQDAa 是否存在这样的矩形：在运动过程中，存在某时刻使梯形，梯形，梯形 PMBNPQDAPQCN 的面积都相等？若存在，求的值；若不存在，请说明理由a Page 25 of 27 P N N M Q DC B A Q P M D C BA 【考点】相似三角形的性质与判定 【难度】4 星 【题型】解答 【关键词】2007 年，扬州 【解析】略 【答案】 ， 3 4 PM ，使，相似比为2t PNBPAD3:2 ，PMABCBABAMPABC ， ，即，AMPABC PMAM BNAB PMat ta ()t at PM a (1) 3 t a QM a 当梯形与梯形的面积相等，即PMBNPQDA ()() 22 QPAD DQMPBN BM 化简得， () 33 (1)() 22 t att aatt t aa 6 6 a t a ，则，3t 6 3 6 a a 6a36a 时，梯形与梯形的面积相等36aPMBNPQDA 梯形的面积与梯形的面积相等即可，则PQCNPMBNCNPM ，把代入，解之得，所以()3 t att a 6 6 a t a 2 3a 2 3a 所以，存在，当时梯形与梯形的面积、梯形的面积相等a2 3a PMBNPQDAPQCN 【例 67】已知边长为的正方形