连续型随机变量的分布与例题讲解

连续型随机变量的分布（一）连续型随机变量及其概率密度函数1.定义：对于随机变量X的分布函数F(X)，若存在非负函数f(x),使对于任意的实数x，有，则称X为连续性随机变量，f(x)称为X的概率密度函数，简称概率密度。注：F(x)表示曲线下x左边的面积，曲线下的整个面积为1。2 .密度函数f(x)的性质：注：f(x)不是概率。1)f(x)0 2) 3) 特别地，连续型随机变量在某一点的概率为零，即（但X=x并不一定是不可能事件）因此 P(aXb)= P(aXb)= P(aXb) = P(aXb)=F(b)-F(a) 4）若f(x)在点x处连续，则分布函数性质i) 0F(x)1；ii)F(-)=0,F(+)=1； ) 当x1x2时，F(x1)F(x2)；（单调性）iv) F(x)是连续函数注：iv)与离散型随机变量不同，离散型随机变量的分布函数有有限个或无限可列个间断点。例1 设随机变量X的分布函数为F(x)=A+B arctanx, 求 （1）系数A，B （2）P(-1X1)； （3）密度函数f(x)分析：主要是应用分布函数的性质。解 （1）由F(-)=0,F(+)=1得 解之，得 （2）由(1)知F(x)=基本内容备注故得P（-1X0.1.解：由得当时，当时，于是， （二）正态分布（1）设随机变量X的概率密度函数为为常数，则称X为服从参数为的正态分布，记作其图象为（右图）。其中：称为位置参数，的图形关于对称，影响的最大值及曲线的形状。分布函数为基本内容备注性质：1.曲线关于对称，这表明对于任意有2.当时，（2）标准正态分布特别地，当时，称X服从标准正态分布，记为相应的概率密度函数和分布函数分别记为易知。即标准正态分布函数，其值已制成表格，以备查用。例3 设随机变量XN(0,1)，查表计算：(1) P(X2.5)；(2) P(X2.5)；(3) P(|X|2.5) =1- P(X2.5) =1- (2.5) =0.006210(3) P(|X|2.5) =P(-2.5X2.5) =(2.5)-(-2.5) =2(2.5)-1 =20.993790-1 =0.987580引理 若则证 的分布函数为令得可知基本内容备注于是，若则它的分布函数可写成：对于任意区间，有注：可以通过标准正态分布表计算任何正态分布的分布函数值或有关概率。例如，设XN(1,4)，则例4 设某商店出售的白糖每包的标准全是500克,设每包重量X(以克计)是随机变量,XN(500,25),求: (1) 随机抽查一包, 其重量大于510克的概率; (2) 随机抽查一包, 其重量与标准重量之差的绝对值在8克之内的概率; (3) 求常数C,使每包的重量小于C的概率为0.05。 (3) 求常数C，使之满足PXC=0.05,即基本内容备注例5 某重点大学招收研究生800人，按考试成绩从高分至低分依次录取。设报考该大学的考生共3000人，且考试成绩服从正态分布，已知这些考生中成绩在600分以上的有200人，重点线（500分）以下的2075人,问该大学的实录线（即录取最低分）是多少？分析 设学生考试成绩 XN() ，首先应求出及之值，然后根据录取人数占总人数的比例，再应用正态分布概率公式算出实录最低分。解 设学生成绩XN()，由题设知应有 从而得 即查表得 解之得 故知，XN()又设该大学实录线为a，由题设知： 即查表得 即是说该大学的实录线约为512分。（三） 对数正态分布定义：若随机变量X的概率密度函数为基本内容备注其中，为常数，则称X服从参数为和的对数正态分布，记作对数正态分布的分布函数为若则（四）Weibull分布定义：若随机变量X的概率密度函数为其中，为常数，则称X服从参数为的Weibull分布，记作Weibull分布的分布函数为形状参数位置参数尺度参数Weibull分布概