2003年A题全国数学建模优秀论文1

摘要摘要 SARS 时疫对中国社会发展产生了重大影响，本论文以传统的微分方程 为理论基础，以 2003 年 6 月以前的有关 SARS 的数据为参考资料，着重从数学 的角度研究和预测其发展趋势， 提出了控制前的自然传播模型和控制后的传播模 型，重点分析了控后模型，并根据各参数对疫情的影响对北京、内蒙古、广东、 香港四个 SARS 重点疫区的疫情作了详细的分析， 并提出了应对 SARS 时疫的若 干对策。最后针对微分方程自身的缺陷提出了模型的改进方向和思路。 关键词关键词：微分方程 概率平均 曲线拟合 一一. 问题的提出问题的提出 2003 年春天，SARS 这一突发疫情袭击了世界上 20 多个国家和地区，中国首当其冲， 且受其影响最大。面对突如其来的灾害，中国人民在党中央和国务院的统一指导下，迅速展 开了抗击 SARS 的顽强斗争。 尽管 SARS 作为一种时疫尚未过去， 人类与 SARS 的斗争可能 才刚刚开始， 但 SARS 时疫对我国社会发展的影响迫切需要我们进行理性的思考， 并为抗击 SARS 时疫并取得阶段性胜利提出有价值的建设性意义。 二二数学模型的分析与建立数学模型的分析与建立 分析与假设分析与假设 在 SARS 爆发的初期, 由于潜伏期的存在, 社会对病 SARS 毒传播的速度和危害程度认 识不够, 所以政府和公众并不以为然; 当人们发现被感染者不断增加时, 政府开始采取多种 措施以控制 SARS 的进一步蔓延.所以 SARS 的传播规律可以分为三个阶段: I. 控制前控制前, 接近于自然传播时的传播模式。 II. 过渡期过渡期， 在公众开始意识到 SARS 的严重性到政府采取得力措施前的一段时间 内。 III. 控制后控制后,在介入人为因素之后的传播模式。 但是但是， 除了广东和香港地区外， 内地的其他城市都是在 SARS 刚刚大肆传播就采取了很 强有力的措施，因此，这些地区的过渡期都可以包括在控后期；而广东和香港的情况虽然有 一些不同，但根据我们的分析和模拟，这两个地区也可以用两个阶段即“控制前（包括控制 力度不大的阶段） ”和“控制后”来较好的符合采集到的数据，因此，我们统一将所有地区我们统一将所有地区 的的SARS传播规律用“控制前”和“控制后”两个时期来模拟。传播规律用“控制前”和“控制后”两个时期来模拟。 另外另外,社会,经济,文化,风俗习惯等因素都会影响 SARS 的传播及最终的结果, 但是, 最直 接的因素是: 自由传染者的数量及其在健康人群中的分布, 被传染者的数量, 传播形式及病 毒本身的传播能力等。 在建立模型时不可能也没有必要考虑所有的因素, 只能抓主要的因素 进行合理的假设和建模。 由此,我们作如下的假设: 总体假设：总体假设：国家卫生部提供的全国疫情统计真实可信。 控制前控制前(包括控制力度不大的阶段包括控制力度不大的阶段)的传播模型的相关假设的传播模型的相关假设 1. 将 SARS 所有可能的传播途径都视为与病源的直接接触。 2. 在疾病传播期内所考察的地区的总人数 N 视为常数,即认为本地区流入的人口与 流入的人口数相等,时间以天为计量单位。 3. 设每个病人单位时间有效接触的人数(所谓“有效接触”是指病人与健康者接 触时,足以使健康者受到感染而成为病人)可视为常数。 4. 根据国家卫生部资料可知处于潜伏期的 SARS 病人不具有传染性。 5. 假设潜伏期为一常数(5 天)。 6. 根据目前的医学调查资料，SARS 康复者尚未复发情况，因为对于一个 SARS 康 复者，他势必会更注重自己的个人卫生习惯并主动远离 SARS 传染源；从社会 心理学的角度来看，其身边的人会主动远离他。因此，我们可以假设一个 SARS 康复者二度感染 SARS 的概率为 0，这些人既不是健康者(易感染者)，也不是病 人(已感染者)，他们已经退出传染体系，因此将他们归为“退出者” 。 7. 由于 SRAS 的传播时间不是很长(相比于传统的传染病,比如天花,麻疹等)，故假 设不考虑这段时间内的人口出生率和自然死亡率，而对于由 SARS 引起的死亡 人数,也将其归为“退出者” 。 8. 流入和流出的人群中的带菌者处于潜伏期。 9. 将人群分为四四类： 健康者健康者(易受感染者)：用S表示健康者在人群中的比例。 处于潜伏期者处于潜伏期者：这些人还没发病，但他们最终将发病。用E表示他们在人群众的比 率。 病人病人(已受感染者)：用I表示病人在人群中的比例。 退出者退出者(包括“被治愈者”和“死亡者”)：用R表示退出者在人群中的比例。 控制后的传播模型的相关假设控制后的传播模型的相关假设 1.由于对人口流动加以了限制,我们假设此阶段无病源的输入和输出. 2.由于 SARS 的治愈疗程迄今还没有确切的资料,而且每一天都有一批人被治愈,故 我们在计算退出率时并没有考虑疗程的问题. 3.被隔离的人群完全断绝与外界的接触,不再具有传染性. 4.不考虑隐性非典患者，即只要感染上 SARS 病毒的患者最后都会表现出症状。 5.不考虑被隔离而实际又未被感染者， 因为这部分人没有自由活动， 对疾病的传播 （感染和被感染）基本不造成任何的影响。 6.我们将人群分为五五类: 健康者健康者(易受感染者)：用S表示健康者在人群中的比例. 病人病人(已受感染者)：用I表示病人在人群中的比例. 退出者退出者(包括“被治愈者”和“死亡者”)：用R表示退出者在人群中的比例. 隔离者隔离者：指的是每天被病源传染的人中可控制的部分,它包括家人,同事,邻居以及 能够通过调查追踪到的其他人.这些接触者将被有效隔离. 用G表示他们在人群中 的比例. 未隔离者未隔离者：无法追踪到的和传染源有直接接触的人.对于强化控制后的模型来说, 病人和可控者皆被完全隔离,使病毒的进一步传播中断,所以,此时的不可控的人中带 病毒者将成为社会上的流动病源. 用W表示他们人群中的比例. 模型的建立模型的建立 I 控前模型的建立控前模型的建立 由于控制以前公众和政府对疫情不甚重视， 所以我们无法找到这一阶段的数据； 而 且， 考虑到控制以前的模型和我们现在的实际情况不符， 对我们分析和预测将来的疫情 走向没有太大的实际意义，故对于控前的模型我们没有做太多具体的数值数值分析，只是 给出了各个参数是如何得到的，而把重点重点放在了控后模型的建立上 1参数设定参数设定 1 每个病人平均每天有效接触（足以使被解除者感染）的人数。 q 退出率，为 SARS 患者的日死亡率和日治愈率之和。 l（流入）流出人口占本地总人口的比率。 1 处于潜伏期的病人的日发病率。 P流入人口中带菌者所占的比例。 2控前方程的建立控前方程的建立 根据我们的分析和各变量的分析， 结合实际的疫情的传播规律， 我们可以建立如下的方 程组： IS dt dS 1 （1） LELPEIS dt dE 11 （2） qIE dt dI 1 （3） qI dt dR （4） 0000 ,ERIS （初值） 3参数的确定参数的确定 1) 1 根据医学资料和有关数据推导而得。 2) q 由该城市的医疗水平和已知的统计数据分析，求其统计平均值。 3) l由城市的出入人口流动情况（主要由经济发达程度和交通状况决定） 。可 查有关资料。 4) 1 根据医学研究和调查的有关结果和该城市的疫情发展状况可得。 5) P由流入该城市人群的地区分布情况和各其他地区的疫情决定。 II 控后模型的建立控后模型的建立 1参数设定参数设定 2不可控人群(在后面的分析中可得到)在发病后到被隔离前平均每天接 触的人的数目。 q 退出率，为 SARS 患者的日死亡率和日治愈率之和。 接触病源的人的发病率。 每天由可控人群和不可控人群转化为病人的日转化率。 2控后方程的建立控后方程的建立 根据上面我们的各种假设和各变量和参数的实际意义,我们可以建立如下控制后的疾病 模型的方程组： (5) qIG dt dI (6) qI dt dR (7) G S dt d 2 (9) 00000 ,ERIS （初值） 在得到这个模型后,我们对模型和数据进行了进一步的分析,发现这个模型中存在以下的 问题: (1) 该模型中,没有充分考虑疑似病例,即“疑似者”和“隔离者”的之间的关系不明确。 (2) 从收集到的数据中我们无法得到有关隔离者和未被隔离者的信息，因此无法对其做 出分析。 从以上两点出发,我们对模型进行了改进,我们仍将将人群分为五类,但这五类人的界定 作了改动：我们将隔离者和未被隔离者改为“疑似者”和“自由带菌者” ，用 Y 和 M 分别 代表这两者在人群中所占的比例。以下是对“疑似者”和“自由带菌者”的说明：对“疑似者”和“自由带菌者”的说明： 疑似者疑似者： 所有未确诊的非健康者。 包括已出现有关症状但未确诊的被隔离者和还未出现 症状但已疑为带菌者而被隔离观察的。 在此我们假设这一阶段中的所有的病人产生都是被前 几阶段的病人传染而来的。 S dt dS 2 G G G S dt dG 2 (8) 自由带菌者自由带菌者：不可控的病毒携带者。 综合上面的未考虑因素和部分不确定因素，我们提出以下改进模型： III 控后优化模型的建立控后优化模型的建立 1参数说明参数说明 1 y 疑似中每日被排除的人数占疑似人数的比例； 2 y 疑似者中每日确诊的人数占疑似人数的比例； 每个自由带菌者转化为病人的日转化率； 2 每个自由带菌者发病后被收治前平均每天感染的有效人数； 被自由带菌者有效感染的人中可以控制的比率； 2方程的建立方程的建立 MSYy dt dS 21 (10) YyqIM dt dI 2 (11) qI dt dR （12） MSYyYy dt dY 221 (13) MMS dt dM )1 ( 2 (14) 00000 ,MYRIS (初值) 与前一个模型相比，此优化模型的优点在于： 明确了疑似者所指的范围； 基本可从数据中分析出所需的参数和变量初值； 将 2 定义为“有效接触人数”既有利于数据的分析也可减少未知参数的数量； 3 参数的确定参数的确定 鉴于每个地区的情况（医疗卫生水平，经济发展情况，人口密度等）不同，所以对于 模型中各参数不能用全国总的情况来分析，而应该各个城市分别对待。由于北京在强化控 制阶段采取措施相当严格，而且找到的数据也比较齐全，故我们以北京为例来说明参数的 分析方法。 1) 1 y疑似者的日排除比例：疑似者的日排除比例： 计算公式： 1 y= 当天疑似病例累计人数 数每天新增的疑似排除人 以北以北京为例说明京为例说明： 首先我们直观的观察一下 y1 的变化趋势，根据卫生部的每日疫情公布数据求出每天对 应的 y1（见后面列表 5 ） ，用 matlab 画图，如下图 1 所示： 图 1 初步用曲线拟合处理一下原始数据，如图 2 所示： （光滑的线为cubIc拟合曲线） 图 2 可以看出 y1 大概有两个峰值，第一个峰值是由于采取措施力度很大，加之强化控制 初期市民有较恐慌的心理， 导致疑似病例中非感染者比例较高； 第二个峰值则是因大部分 真正带病的疑似者已转化为确诊后，未带菌者相对比例增大造成的。 虽然三阶拟合能在一定程度上反映 y1 的规律，但如果用这个图来分析就会发现误差 特别大，为此，我们去除几个偏离太大的点，得到下图 3： 图 3 其中，平直的线为lIneaR拟合直线。 再用威布尔分布观察一下处理后的 y1 的值的分布情况， 如图 4 所示： （对威布尔分布做 解释） 图 4 可以看出 y1 的值主要分布 2%4.5%之间，其中概率最大的取值为：3.51%，故我们在 模型建立过程中，就取 3.51%为 y1 的概率平均值。 2) 2 y疑似疑似转化为病例的日转化比：转化为病例的日转化比： 计算公式： 2 y= 当天疑似累计人数 确诊的人数每天新增的疑似转化为 以北京为例以北京为例 同 y1 的分析方法一样，首先我们直观的观察一下由已知数据算得的各天的 y2（见后面 的列表 5）的变化趋势如下图 5 所示： 图 5 原始的数据有一些点偏离太大，去除这些点后，得到下图 6： 图 6 从原始数据可以看出 y2 总的 趋势是下降的， 先用曲线拟合处理 一下如图 7： （光滑的线是 y2 的五 阶拟合线） 图 7 显然，y2 在病情得到较大重视之后总的趋势是下降的，但是初期因初始的自由带菌者 较多，还有一个较大的峰值。 最后，我们依然用威布尔分布来观察一下 y2 的值的分布情况，如图 8 所示： 图 8 可以看出 y2 的值主要分布 0.05%2%之间，但是 y2 不同于 y1 的分布那么均匀，所以 我们不能用一个有效值来取代 y2 的值。 在这里， 我们把 y2 的值分布人为划分为两个阶段值： 2.229%和 0.59%。 如下图 9 所示，y2 的两个有效值分布在中直线的两侧。 图 9 从对 y1 与 y2 的数据处理来看， 我们可以将强化控制后的这段时间分为两个阶段： 过渡 期和平稳期；这两个阶段的产生是与非典自身的特性分不开的。由于非典具有潜伏期，所以 在强化控制初期，由于前一段时间对非典的控制力度不够，造成较多的人处于非典潜伏期， 这一部分人最终将转化为非典病人； 且因为他们为自由带菌者， 在被收治以前会传染较多的 人； 加之各项措施从颁布到实行总会有一段反应时间， 所以上述原因直接导致了过渡期的形 成，其特征为：y2 较大，q（退出率）较小。 （有关 q 的分析见对 q 数据处理） 3) q 的计算公式的计算公式= 当天病人累计人数 的人数每天新增的治愈和死亡 以北京为例：以北京为例： 从 q 的原始数据（见附表 5）中我们可以看出，q 的值也存在阶段性。5.16 日以前， q 的值大概在 1%左右摆动，不存在较大的波动；而 5.16 日以后,q 的值基本都在 1%以 下。由于 q 的定义中包括了治愈率与死亡率两部分，在过渡期，由于发病人数较多，治 愈率相对较低；当进入平稳期后，发病人数减少，治愈率必然增高。故这与我们上面对 于过渡期和平稳期的假设是吻合的。 4) 从数据可推算出其值在从数据可推算出其值在 12%30%之间我们在这里令之间我们在这里令%20。 5) 与城市的人口密度、 生活习惯等因素有关， 由于在强化控制阶段对人员的与城市的人口密度、 生活习惯等因素有关， 由于在强化控制阶段对人员的 流动控制的相当严格，还采取了比如封校、小区隔离、公共场合的关闭、减少聚流动控制的相当严格，还采取了比如封校、小区隔离、公共场合的关闭、减少聚 集活动等有效措施，故我们可估计集活动等有效措施，故我们可估计%90%70 3 3模型的求解：模型的求解： 很明显从我们建立的模型是无法得到 s，i，r，y，m 的解析解的。为了解决这个问题， 我们求助于 matlab 中的龙格库塔方法来求出它们的数值解。 我们先通过采集到的实际数据算出每一天的 s，i,r,y,m，做出它们与时间的函数图象， 然后画出我们通过模型解出的数值解随时间变化的图象。 对比这两组图， 可以发现实际和理 论存在着一定的差异。这必然是因为我们的参数估计不合理造成的。所以，我们必须通过不 断调整那些非计算得到的参数（ 2， ， ）来使实际图象和理论图象趋于一致。 经过多次调试,我们发现，当 2=0.71 人, =0.2, =0.8 时,实际图象和理论图象有最 好的符合。而这三个值均在我们估计的范围内，所以我们认为这三个值的得到是合理的。 （matlab 程序及画图结果附于论文后） 三三. 各地疫情分析各地疫情分析 北京地区北京地区 首先从已知数据看一下北京地区病人比率图（如下图 10 所示） ： 图 10 显而易见， 北京的发病人数在 4 月 29 日到 5 月 15 日这段时间内有最大的增长率即这段 时间是北京非典疫情的“高潮期” ；由于政府措施得力，公众健康意识增强，非典病情从 5 月 16 号之后开始趋于缓和，在我们的参数分析中，北京各参数取值如下：: 1 y=0.0351， 21 y=0.0299， 22 y=0.00555; 1 q=0.0087 2 q=0.025， 2 =0.71, =0.8 ，0.2。 2 取的 是 0.71，即每个未被隔离的病人平均每天感染 0.71 人，所以，北京地区政府采取的隔离措 施是较为得力和及时的， 在疫情完全扩散之前就阻断了大部分病源与健康人群的接触， 使传 染链受阻，有效的阻止了疫情的进一步扩大；在政府正式采取措施后 2 q=0.025，可以看出 此时的治愈率是比较高的，与其他疫区相比北京的治愈率也是相对较高的，这说明：北京的 卫生部门对非典的预防措施比较及时的控制了病人与医护人员以及其他易感染人群的交叉 感染，从而基本断绝了病毒传播的一个主要途径；同时其治疗措施相对较为完善，稳定了疫 情。 从北京的地理位置和特定的社会环境（全国政治、经济、文化、交通的中心）来看，北 京要想有效控制疫情的传播，应该注意以下几点： 首先必须强化对流动人口的管理首先必须强化对流动人口的管理，即认真抓好流入人口是否患有非典或携带有非典 病毒的检查和确认。这样的话，北京才可能在不受输入病人侵袭的前提下，打好抵 御非典的攻坚战。 其次，要强化对公共场合其次，要强化对公共场合（如公交、商场、餐厅、娱乐场所等）的管理的管理，要采取责 任到部门，责任到单位，责任到个人的管理方式，明确责任，规范管理，做到环环 相扣，一丝不漏。 最后还要注意那些人口流动比较快的场合最后还要注意那些人口流动比较快的场合(如汽车站、火车站、飞机场、宾馆等)的的 管理管理，要强化这些场所的卫生宣传，增加防护工具以及消毒工具、药品的使用，以 减少病毒大肆蔓延的可能性。 内蒙古地区内蒙古地区 下图 11 为根据内蒙古公布的数据画出的内蒙古每日病人累计所占比率的统计图， 图 11 可以看到由于内蒙古的地理位置比较偏僻，人口密度比较小，经济较不发达，其疫情的 控制相比较于北京而言难度要小一些， 从而出现了疫情很快得到较好控制的局面， 在分析内 蒙古模型时我们的参数设定如下： 11 y=0.0271, 12 y=0.06 ， 21 y=0.0456, 22 y=0.0078; 1 q =0.014， 2 q =0.030， 2=0.75, =0.78， =0.2。可以看到 2 取得是 0.75 比北京的稍高 一些，这是由于内蒙人口比较分散、自由带菌者不好控制而导致的；但是，由于内蒙古疫情 始期较晚，其时全国对非典已较为重视，因此采取措施就相对比较及时，所以尽管措施实施 有一定难度， 疫情还是被有效地控制了下来。 同时， 由 1 q =0.014 而 2 q=0.030， 2 q明显比 1 q 大， 说明内蒙古卫生部门在后来采取的措施是更有效的， 这从一定程度上促进了疫情得以快 速缓解。 考虑到内蒙古的地理位置偏远，人口较分散，经济较不发达，内蒙古非典的防治主要应 做到以下几点： 做好非典卫生知识的宣传做好非典卫生知识的宣传， 在比较偏远的乡村和人口密度很小的地区要专门进行有 关非典的传播特点、典型病症、预防常识等知识的大力宣传。 强化对农村人口的管理强化对农村人口的管理。农村是相对人口密度比较小，但是医疗水平最低，人们健 康意识最低的区域。一旦农村人口染病，就可能导致一大批人的交叉感染，出现新 的疫情。因此，保证农村人口不被感染具有很重要的意义。 强化消毒工具、药品强化消毒工具、药品的使用的使用。由于内蒙古的经济不是很发达，可能导致人们不重视 或不能有效的使用消毒工具和药品，政府应该拿出专门的资金和人力来弥补由于经 济原因带来的隐患，而不要等到病毒死灰复燃之时再来采取应急措施。 其他其他。比如改善建筑物的通风条件、改善人们的卫生环境、提高人的自然免疫力等 都是政府应该想到的有效措施。 广东地区广东地区 还是先看一下广东地区的病人累计所占比率统计图（如下图 12 所示） ： 图 12 从上图可以看出， 广东地区发病人的比率在 4 月 21 号到 5 月 10 号左右是上升的很 快的，这主要是因为本地区疫情持续的时间较长，政府采取的措施不是很得力造成的， 我们在模型分析中采用的参数得值如下： 11 y=0.0694, 12 y=0.01 ， 21 y=0.25, 22 y=0.001; 1 q =0.006， 2 q=0.005， 2=0.8, 1 =0.8， 2 =0.85，=0.2。从 1 q =0.006， 2 q=0.005，可以看出广东的卫生部门采取的措施开始不是很得力，疫情的初 期没有得到政府的充分重视，从而导致了疫情的持续，快速增长，一直到国家下达严防 命令后才采取有效的措施，故广东的疫情缓解也是从 5 月 10 号左右才开始的。针对这 一情况，我们对广东的非典疫情的控制提出以下建议： 强化流动人口的控制和管理。强化流动人口的控制和管理。广东地区，经济比较发达，人流量大，且和北京不同 的是外来打工者占流动人口的比率很大，这些人口是不易控制和管理的潜在非典传 播者，因此，做好外来人口的管理工作在这里显得特别重要了。 强化潜在、分散的病毒转播者的控制。强化潜在、分散的病毒转播者的控制。广州地区由于疫情的传播时间长，地区比较 分散，造成了潜在的病毒携带者比较多且分布很分散，所以，在非典开始呈缓解趋 势的这段时间，我们一定不能放松对这些潜在危险的警惕，提前做好相关的宣传和 制定相关的切实可行的法规，做到有章可循，有法可依，真正消除大面积的交叉感 染。 注意卫生环境的改善。注意卫生环境的改善。据专家研究发现非典的传播和天气有一定的关系，病毒容易 在日温差比较小，气压产生回差的气候下大肆传播，因此，随着夏日的来临，大家 要注意不要把工作环境营造成特别利于病毒传播的小气候。而应该注意开窗通风， 保持室内空气的流通。 注意消毒液的合理使用。注意消毒液的合理使用。如使用像过氧乙酸之类的消毒液时，由于过氧乙酸等溶液 容易挥发、分解，其分解物是醋酸、水和氧，腐蚀性较强，因此，室内消毒后，一 定要保持室内空气中的药液的相对浓度不能太高。避免对人体造成大的刺激。 香港香港 下图 13 是根据香港特区卫生署的非典疫情发布数据画出的原始统计图： 图 13 从图上可以看出：香港地方政府采取的措施比较早，而且成效不错。但是由 于人口流动快，社会各层面的人相互交往频繁，导致不可控的病毒传播者比较多， 因此，疫情一直呈现出上升趋势，而且，我们可以看到在近期内病人比率还不会 有较大幅度的下降，因此香港的非典工作需加大力度。结合香港的实际情况，我 们有以下建议： 加强散发病人的管理。加强散发病人的管理。由于香港的人口流动快，潜在传播者的危害就更明显了，所 以一定要强化和关注零散病人的及时隔离和医治，以防再次引起大片的感染人群。 强化确诊病例和疑似病人的医治和隔离。强化确诊病例和疑似病人的医治和隔离。香港的疑似病人和确症人数基数很大，在 病情出现缓和的阶段如果放松对这些人的医治和隔离可能会导致再次的大量的交叉 感染的发生，因此，一定要坚持不懈的抓好对他们的医治和管理。 注意对流动人口的管理。注意对流动人口的管理。由于香港是亚洲的金融中心，人口流动明显不可避免，这 给疫情的控制带来了一定的难度，同时也是导致病毒大量传播的潜在因素，控制好 流动人口不仅仅对香港的疫情有很重要的意义，同时对祖国大陆的疫情的早日消失 也有着较强的作用和影响的。 四四. 各地疫情预测各地疫情预测 分析与假设分析与假设 本模型根据现有的控制程度进行预测。 假设政府和公众采取的措施不会下降， 如果 随着疫情的缓解人们的警惕心理下降，政府的措施不再特别得力，将会导致病菌 的传播死灰复燃，引起病人的比率又出现小的峰值（这在“各地疫情分析”中已 经对各地进行了假设分析） 。 预测依据现在的医疗及防控水平，因 SARS 是一种非典型的病疫，医学界对它的认 识不足，既没有有效的预防措施，也没有较完善的治疗方案，因此在控制初期治 愈率较低，自由带菌者的日传染人数 2 较大；但是，随着医学研究的深入，SARS 治疗方案的完善，治愈率可能会有较大的提高， 同时，预防措施也会更加有效（据 有关资料，在不久的将来可能会研制出非典预防针） ，因此实际疫情可能会比我们 预测的提前结束。 北京地区的疫情预北京地区的疫情预测测 利用我们建立的优化模型对北京地区的 SARS 发病人数进行预测，下图 14 是我们 通过 matlab 画图得到的病人比率图。 （其中的不规则的点是卫生部公布的累计确诊人数 占的比率） 图 14 从上图我们可以看出： 病情在 5 月 3 号到 5 号左右达到“高潮期” ，即图中曲线上升最快到开始 平缓的时期； 发病人的比率在x=30即5月2831号左右出现最大值， 且0002. 0 max I； 但此时已经不是病情的“高潮期” ，因为这个比率是累计确诊的人数的比率； 疫情大约在 5 月 30 号之后开始缓解，并逐渐趋向缓解。从 5 月 30 号到 10 月份左右是庾情的“缓解期” ； 发病者的比率在 x=80 左右即7 月 20 号左右下降到 4月 25 号左右的水平， 此时，0001. 0I;但是，需要指出的是，我们的预测是依据现在的医疗水平 和药疗效果进行的，因此，预测可能会因为将来新药的研发而提前进入 SARS 的完全控制期； 发病者所占的比率大概在 x=300 时将到 0，因此，我们预计北京的 SARS 疫情将在明年 2 月份左右得到完全的消除，即疫情的“最终控制期” ； 内蒙古地区的疫情预测内蒙古地区的疫情预测 利用我们建立的内蒙古地区的 SARS 模型和我们前面的假设，我们可以利用 matlab 得到内蒙古的疫情预测图如下图 15 所示： （其中的离散的不规则的点是根据卫生部公布 的每日非典型肺炎疫情数据画出的原始图） 注意：图中 y 轴值得数量级为 5 10 图 15 从上图可以看出： 病情在 5 月 8 号到 9 号左右达到“高潮期” ，即图中曲线上升最快到开始 平缓的过渡时期； 发 病 人 的 比 率 在 x=22 即 5 月 1415 号 左 右出 现 最 大 值 ， 且 4 max 102968. 0 I；但此时已经不是病情的“高潮期” ，因为这个比率是累 计确诊的人数的比率； 疫情大约在 5 月 30 号之后开始缓解，并逐渐趋向缓解。从 5 月 30 号到 10 月份左右是庾情的“缓解期” ； 发病人的比率在 x=120 左右即 8 月 20 号左右下降到 4 月 23 号左右的水 平，此时， 6 106753.03 I，需要指出的是，我们的预测是依据现在的医 疗水平和药疗效果进行的，因此，预测疫情可能会因为将来新药的研发而以更 快的速度得到完全控制； 发病者的比率大概在 x=280 时将降到 0，因此，我们预计北京的 SARS 疫 情将在明年 1 月份中下旬得到完全的消除，即疫情的“最终控制期” ； 广东地区的疫广东地区的疫情预测情预测 利用我们建立的内蒙古地区的 SARS 模型和我们前面的假设，我们可以利用 matlab 得到内蒙古的疫情预测图如下图 所示： （其中的离散的不规则的点是根据卫生部公布 的每日非典型肺炎疫情数据画出的原始图） 从上图可以看出： 病情在 5 月初达到“高潮期” ，即图中曲线上升最快到开始平缓的过渡时 期； 发 病 人 的 比 率 在 x=26 即 5 月 17 号 左 右 出 现 最 大 值 ， 且 5 max 109194. 1 I；但此时已经不是病情的“高潮期” ，因为这个比率是累 计确诊的人数的比率； 疫情大约在 7 月 20 号之后开始缓解， 并逐渐趋向缓解。 从 7 月 20 号到明 年 2 月份左右是疫情的“缓解期” ； 发病人的比率在 x=60 左右即6 月 20 号左右下降到 4月 21 号左右的水平， 此时， 5 1069. 1 I； it 曲线的下降阶段在 6 月初到明年 2 月一直都有较 大斜率，这说明在这么长的一段时期内都将会有大量的病人出院。以后的一段 时期里虽然病人并没有完全消除， 但我们可以说这少量病人都是在我们的控制 之下的，治愈他们只是时间早晚的问题。所以在明年 2 月份广东地区能达到其 控制期。但是由于发病者的比率大概在 x=900 时将降到 0，因此，在未考虑医 疗条件和新药的研发前提下，我们预计广东的 SARS 疫情将在 2004 年 4 月份 中下旬得到比较好的控制到 2005 年 12 月得到完全的消除，即达到疫情的“最 终控制期” 。 比较三地疫情预测，我们可以看出广东地区是最晚达到“最终控制期”的，通过分析我 们发现这是因为从数据来看， 这段时期广东地区的病人治愈人数一直比较少， 而我们是按现 在的治愈率来预测疫情的发展， 故疫情维持的时间比实际的可能长一些， 但是总体趋势是不 会有大的变化的。再则，由于广东发布的数据表现出的统计规律不是很强，导致数据出现陡 升陡降的情况，给我们的预测也多少带来了困难和误差， 还需要指出的是，我们采集到的数据是从 4 月 21 号才开始的，而广东的疫情是从 2002 年 11 月开始的，因此造成我们的数据点主要分布在广东地区的疫情已经开始趋于平缓的时 段，造成我们的预测可能有较大的误差； 五五.模型优缺点分析与改进方向模型优缺点分析与改进方向 模型优点：模型优点： 模型根据现有的数据资料设置变量，各变量之间关系明确，且各个参数可比较方便 地得到。 模型重点是分析规律和进行预测。因为已知数据受很多随机因素的影响，规律性受 到干扰，所以其变化情况不能较好地表达总体的规律性，进而不能对疫情进行较准 确的预测；针对这个问题，我们对已知数据进行了统计平均，从总体的平均规律入 手，没有局限于仅对现有数据的模拟。但是也要根据现有的数据对模型进行检验。 从前面求解方程得到的图形结果来看，模拟的曲线确实较好地代表了现有数据的总 体变化规律。 控后模型具有较好的代表性，表现在以下两个方面： 1) 欲对某疫区进行预测， 只需对几个参数进行求解， 代入方程组并给出初值即可； 2) 对于控后的过渡期和稳定期两个阶段， 只改变其中的三个参数和初值， 即可得 到较好的模拟和合理的预测。 模型缺陷与改进：模型缺陷与改进： 控前模型只考虑了流动人口对出入城市的影响，忽略了交通工具上的传播，实际上 从北京、太原以及全国其他地区的 SARS 疫情来看，交通中的传播有一定的影响。 改进思路：改进思路：分析交通工具内的传播，除了容积、通风等外，还应考虑旅程时间的长 短。同样条件下，距离越远 SARS 传播的概率越大。根据民工流动与 SARS 扩散趋势， 可得：以北京为输入地的民工流动主要态势是沿京港线、京包线、石太线分布；而 以广东为输入地的民工流动主要态势是沿京港线分布。因此可根据上述民工流动情 况和交通路线的长短考虑交通过程对各地控前模型加以改进。 控后模型中各参数对现有数据进行了概率平均，这在医疗水平和防控力度不变的假 设下能较好地代表 SARS 的传播和控制规律， 但实际情况必会随时间推移有较大的变 化，针对此问题提出两点缺陷和改进方法： a) 退出率 q 的物理意义或获取方式有一定的误差。 为了使方程为常微分方程且 使之适合用龙格-库塔法求其数值解，定义 q 为每天退出者占当天累计病人 的比例。但是随着病人数的减少 q 势必有特定的变化趋势，我们取其概率平 均在较短时间内能较好地符合规律， 但预测时间较长时就不能简单地取概率 平均值了，这就是我们预测最终控制期很长的最主要原因。 作为改进方法，可以对根据已知数据求出的对根据已知数据求出的 q q（t t）进行最大概率曲线拟）进行最大概率曲线拟 合合，得到关于 q 的函数，将此已知函数代入常微分方程组进行求解，则可能 对提高预测结果的准确性有较大的帮助。最简单的 q（t）为 t 的一次函数。 b) 对于由于医学突破引起的参数变化，可对模型参数进行适当的修正，便可得 到符合规律的预测。 控后模型在对香港进行分析时遇到了困难，因为香港的已知数据中对人群的分类与 模型不一致，因此论文中没有对香港疫情进行预测，这里提出针对香港人群分类提针对香港人群分类提 出的修正模型出的修正模型： 将人群分为四类：健康者 S，确诊病人 I，自由带菌者 M，退出者 R， 参数为： 被感染者中的可控比； 自由带菌者的日平均发病率； 每个自由带菌者在被收治前平均每天传染的有效人数； q病人的日治愈率。 建立的微分方程组为： SM dt dS (15) MqI dt dI (16) qI dt dR (17) )1 ( M dt dM (18) 模型采用常微分方程方法进行分析自身就有一定的缺陷：微分方程对 SARS 传播是 以个体相互作用的情况而言，其计算结果的准确性、可靠性将受到限制。且因数值 解的不确定性，只能对不太长的阶段进行预测（不超过 500 天） ，若预测时间较长则 会出现曲线抖动情况。 改进思路：改进思路：借鉴中科院研究生院的 SARS 预测研究方案，采取流体力学中宏观偏微分 方程和微观分子动力学方法相结合的方法，建立 SARS 传播的概率模型。即对现有数 据完全进行概率统计，不建立常微分方程，而是建立改进的偏微分方程。但是这样明 显使得计算量大幅度增加，由于时间限制，我们没有将此模型投入实践。虽然如此概 率模型的优点不容忽视：它大大提高了计算结果的准确性和可靠性，从概率学角度出 发抓住了 SARS 传播的基本规律，使预测更加准确。 不论是本论文模型还是概率模型，进一步的工作和更准确的结果给出将有待于不论是本论文模型还是概率模型，进一步的工作和更准确的结果给出将有待于 收集传染病学实际资收集传染病学实际资料，并需考虑空间分布的更复杂模型与进行料，并需考虑空间分布的更复杂模型与进行 Monte CaRloMonte CaRlo 大量计大量计 算后方能得到。相信随着人们对算后方能得到。相信随着人们对 SARSSARS 的进一步认识，随着社会各界的深入研究，从的进一步认识，随着社会各界的深入研究，从 数学角度看，其传播模型将更加完善，预测结果将更准确，从医学角度看，数学角度看，其传播模型将更加完善，预测结果将更准确，从医学角度看，SARSSARS 将有将有 更好的治疗方案和防控措施，疫期将进一步缩短。更好的治疗方案和防控措施，疫期将进一步缩短。 六六. . 参考文献参考文献 贝叶斯统计 作者： 茆诗松编著 出版社：中国统计出版社 出版日期：1999 年 10 月第 1 版 贝叶斯统计学原理、模型及应用 作者： S 詹姆士 普雷斯 出版社：中国统计出版社 出版日期：1992 年 2 月第 1 版 常微分方程模型与混沌 作者： 王树禾 出版社：中国科学技术大学出版社 出版日期：1999 年 2 月第 1 版 随机过程 作者： 方兆本 缪柏其 出版社：中国科学技术大学出版社 出版日期：1993 年 1 月第 1 版 数学建模案例分析 作者： 白其峥 出版社：海洋出版社 出版日期：2000 年 1 月第 1 版 数学建模精品案例 作者： 朱道元编著 出版社：东南大学出版社 出版日期：1999 年 8 月第 1 版 短文 SARS 疫情的分析与防御 作者：田一 杨倩 王议锋 单位：哈尔滨工业大学实验学院 哈尔滨 150001 SARS 在这个本应充满活力的季节里还在折磨着我们，不少同胞被它夺去了生命。 防治“非典”成为当前一个时期的主要工作。面对肆虐的“非典”，我们在这个时刻 是不是该做些什么呢？ 为了在防治非典的工作中贡献出一份我们的力量，我们从网上搜集了有关广州， 北京，内蒙等地区的 SARS 疫情的数据和大量有关