Levy过程及其在金融领域中的应用.ppt

Levy过程及其在金融领域中的应用,复旦大学管理学院张新生,二个例子,MonikaPiazzesiBondYieldsandtheFederalReserveJournalofPoliticalEconomy,2005,vol.113,no.2,RafalWeronHeavytailsandelectricitypricesTheDeutscheBundesbanks2005AnnualFallConference(Eltville,10-12November2005):,概要,Levy过程简介Levy过程在数理金融中的应用Levy过程的统计分析Levy过程的进一步推广,Levy过程的定义：,设X(t),t0是一随机过程：如果（1）X(t)具有平稳独立增量（2）P(X(0)=0)=1（3）X(t)具有右连左极的轨道（4）X(t)是随机连续的,即,对任意a0,s0,当ts有P(|X(t)-X(s)|a)0,LevyProcesses:1930s-1940sPaulLevy(France)AlexanderKhintchine(Russia)KiyosiIto(Japan),Levy过程的三种刻画,Levy-Khintchine公式：,称为Levy三元组，称为Levy测度,Levy过程的三种刻画,Levy-Ito分解：,X(t)=布朗运动+常数漂移+复合Poisson过程+纯跳鞅,是一Poisson随机测度，且与布朗运动Bt相互独立,Levy过程的三种刻画,Levy过程是Markov过程：转移半群：T(t)f=Ef(x(t)无穷小算子：,Levy过程的例子,Levy-Ito分解变为：,Subordinator：关于时间t单调递增的Levy过程，此时Levy三元组应满足：,Levy过程的例子,稳定过程：Levy三元组：,Levy过程的例子,Gamma过程,Levy三元组：,过程的一维分布：,Levy过程的例子,正态逆Gauss过程：Levy三元组：,过程的一维分布：,Levy过程的例子,Levy三元组,t=1时，过程的一维分布：,J1第一类Bessel函数,Y1第二类Bessel函数,双曲线的Levy运动,在金融领域的应用,定价中的几何Levy过程模型：资产价格：St满足：,Zt是Levy过程。,在几何Levy过程模型下，市场一般是一不完备的市场，等价鞅测度不唯一，如何选择一合适的Levy过程和相应的等价鞅测度是要研究的主要问题。,具体的Levy过程,(1)Stableprocess(Mandelbrot,Fama(1963)(2)Jumpdiffusionprocess(Merton(1973)(3)VarianceGammaprocess(Madan(1990)(4)GeneralizedHyperbolicprocess(Eberlein(1995)(5)CGMYprocess(Carr-Geman-Madam-Yor(2000)(6)NormalinverseGaussianprocess(Barndorff-Nielsen)(7)Finitemomentlogstableprocess(Carr-Wu(2003),Morton模型,其中：Wt标准布朗运动，Nt为Poisson过程Yi独立同分布，服从正态分布，且Wt,Nt,Yi相互独立,可供选择的等价鞅测度,(1)MinimalMartingaleMeasure(MMM)(Follmer-Schweizer(1991)(2)VarianceOptimalMartingaleMeasure(VOMM)(Schweizer(1995)(3)MeanCorrectingMartingaleMeasure(MCMM)(4)EsscherMartingaleMeasure(ESMM)(Gerber-Shiu(1994),B-D-E-S(1996)(5)MinimalEntropyMartingaleMeasure(MEMM)(Miyahara(1996),Frittelli(2000),参考文献,R.Cont,P.Tankov(2003).Financialmodellingwithjumpprocesses.ChapmanandHall/CRCPress.J.M.Corcuera,D.Nualart,W.Schoutens(2005).CompletionofaLevymarketbypower-jumpassets.FinanceStoch.9,109-127.E.Eberlein,J.Jacod(1997).Ontherangeofoptionsprices.FinanceStoch.1,131-140.Frittelli,M.(2000),TheMinimalEntropyMartingaleMeasuresandtheValuationProbleminIncompleteMarkets,MathematicalFinance10,39-52.Bellini,F.andFrittelli,M.(2002),Ontheexistenceofminimaxmartingalemeasures,MathematicalFinance12,1-21.,Ornstein-Uhlenbeck型过程,其中Z(t)为一Levy过程，X(t)称为Ornstein-Uhlenbeck型过程,K.Sato和M.Yamazato(1984,ASP),Barndorff-Nielsen-Shephard模型,推广的随机波动率模型：dX(t)=bX(t)dt+(t)X(t)dW(t),Z(t)是一Levy过程,E.Barndorff-Nielsen和N.Shephard(2001,JRSS(B)E.Barndorff-Nielsen和N.Shephard(2002,JRSS(B),利率模型,CKLS模型（1992）：,（1976）,在r=0时，这一模型为Vasicek模型,在r=1/2时，这一模型为CIR模型。,在b=0，r=0，这一模型即为Merton模型,MonikaPiazzesiBondYieldsandtheFederalReserveJournalofPoliticalEconomy,2005,vol.113,no.2,过程的统计推断问题,参数估计问题最大似然估计广义矩估计估计函数（鞅估计函数）假设检验问题有无跳、变点问题,中国科学A辑，200636（8）901-927,模型：,问题：求参数，c的估计结果：得到了，c的最大似然估计，并证明了相合性与渐进正态性。,张世斌、张新生、孙曙光,模型的进一步推广,自相似过程,分数维布朗运动：,分数维布朗运动及其随机积分,分数维布朗运动的基本性质：在H1/2时，分形布朗运动是长程相依的；在H1/2时，分形布朗运动既不是Markov过程，也不是半鞅。,关于分形布朗运动的随机积分,Roughpaths1.Lyons,T.J.Differentialequationsdrivenbyroughsignals.Rev.Math.Iberoamer.14(1998),215-310.2.Coutin,L.,Qian,Z.Stochasticanalysis,roughpathanalysisandfractionalBrownianmotions.Probab.TheoryRelatedFields122(2002),no.1,108-140.Malliavincalculus,关于分形布朗运动的随机积分,Nualart,D.StochasticcalculuswithrespecttothefractionalBrownianmotionandapplications.ContemporaryMathematics336(2003),3-39.WickproductsDuncan,T.E.,Hu,Y.,Pasik-Duncan,B.StochasticcalculusforfractionalBrownianmotionI.Theory.SIAMJ.ControlOptim.38(2000),582-612.轨道意义下（path-wise）,分数维Orntein-Uhlenbeck型过程(FractionalOrntein-UhlenbeckTypeProcesses),dX(t)=-X(t)dt+dWH(t)+dY(t)其中WH(t)是参数为H的分数维布朗运动，Y(t)为纯跳Levy过程。,（张新生（2006）,由Levy过程驱动的随机微分方程,dX(t)=B(X(t)dt+M(X(t)dZ(t)Z(t)为Levy过程R.F.Bass,StochasticDierentialEquationswithJumps,ProbabilitySurveysVol.1(2004)1-19,参考文献（书）,D.Applebaum,LevyProcessesandStochasticCalculus,CambridgeUniversityPress,2004O.E.Barndorff-Nielsen,T.MikoschandS.Resnick(Eds.),LevyProcesses:TheoryandApplications,Birkhauser,2001J.Bertoin,LevyProcesses,CambridgeUniversityPress,1996W.Schoutens,LevyProcessesinFinance:Pric