第二章导数与微分教案

第二章导数和微分知识点：教育目的要求：(1)理解导数概念理解导数记号，理解导数几何意义理解导数的推导可能性和连续性。(2)掌握导数的基本式，掌握导数的四则运算求导法则，掌握复合函数的求导法则，掌握隐函数和对数法的求法，掌握高次导数的概念，掌握高次导数的求法。(3)记住微分的概念和理解其几何意义的微分的基本式和算法。教育重点：1 .导数概念2 .导数的几何意义3 .导数的基本公式4 .四则运算推导法则5 .复合函数的推导规则6 .隐函数的求法7 .一阶微分的形式不变性教育难点：1 .导数概念2 .复合函数的求法3 .隐函数的求法4 .微分形式不变第一节导数概念【教育内容】两个引例导数的定义导数的几何学意义函数可以导出连续的关系。【教育目的】让学生理解导数的定义，把握导数的几何意义，求出曲线的切线方程式和法线方程式，理解与函数的导数的连续关系。【教育的重点】1 .导数的定义2 .通过导数的定义求出函数某点的导数3 .导数的几何意义。【教育的难点】1 .导数的定义2 .函数可以导出连续的关系。【教育时数】第2学期【教育过程】一、两个引例例1自由落下运动的瞬时速度。问题：1.自由落体运动的位移式2 .自由落体运动的瞬时速度式3 .自由落体运动的瞬时速度式的导出过程(适当的探讨)。根据学生的回答，在自由落体运动的位移式中，由于物体的位移随时间连续变化，因此在短时间间隔内(到)速度的变化不大，可以将平均速度作为时的瞬时速度的近似值=显然，越小，越接近无限小，则平均速度是无限接近时的瞬时速度，因此，如果存在平均速度的界限，则将其定义为物体在时刻的瞬时速度，即=总结规则：一般变速直线运动的瞬时速度可通过下式求出引用示例2平面曲线的切线斜率问题：1.圆的切线是什么2 .一般平面曲线的切线是如何定义的？ (适当讨论)定义设置点是曲线上的一个点，在曲线上取另一个点作为切断线，运动点沿曲线向点移动时，切断线旋转点，取其极限位置时，直线被称为曲线点处的切线.通过将图的横轴设定为曲线的横轴、将图的横轴设定为(可能加减)并且将平行轴设定为斜率，曲线的方程式显示了斜率点沿曲线无限接近点时(此时也接近的倾斜度，此时切线的倾斜度)总结两个引用示例的结论，两个问题的背景知识不同，但是通过同样方法获得必要的结果可以导出导数的定义。二、导数的定义1 .导数的定义。定义函数在具有点的附近定义，如果自变量在点上增大(点在点附近)，则函数相应地增大如果存在极限，则函数在点上被称为可导电，将该极限值称为函数点上的导数.=在这种情况下，如果存在函数在点上的导数，或者不存在函数在点上的导数称为导数的极限，则函数称为无法在点上推导。2 .根据导数的定义求函数的导数。要设置函数并确定函数在哪里，请执行下列操作l在某个地方l求增量l计算比值l取得极限例1已知函数，求。解是到处给出的(一)求增量(二)计算比率；(三)取得界限因此，=23 .几点说明？1 )函数点上的导数，也称为函数点上的自变量的变化率。2 )当存在极限时，分别称为左导数和右导数，记为和。 而且存在，而且只存在，而且相等。 (利用极限存在的充分条件理解)3 )函数点上的导数是导数点上的函数值=。 (在例1中变更的值的变更中进行说明)4 )如果函数在某些点上是导电的，则该函数在区间中是导电的。 导电性的数值也明显是函数，我们将其称为函数的导电性函数，为了今后不被混淆，也简称为导电性。 或者，即=讨论：函数的导数是什么(结论：)思考：函数的导数是什么？ (结论：)扩展：函数的导数是什么(结论：)比如说，等等。5 )函数存在导数并且存在点右导数。如果存在点右导数，则将该函数称为闭区间中存在导数。三、导数的几何意义从实例2的分析可以看出，导数的几何意义表示函数点处的导数在曲线的点处，以及切线的斜率。 因此如果l函数可以在点处推导，则曲线在点处，并且切线方程是l曲线在点上，的法线方程如果在l点连续，导数无限大，则曲线在点，切线方程式在法线方程式例求出2点(1，1 )处曲线的切线和法线方程式。因为解是原因，所以曲线点(1，1 )处的切线方程式点(1，1 )处曲线的法线方程四、可诱导和连续关系只要定理函数能在点上推导出来，就必定在点上连续注：如果函数在点上连续，则不一定可以在点上推导。*例3证明函数|在点上是连续的，但不能导出。证明地点。 |=0，因此|=0函数|在点处是连续的。再见xyo.o然后呢因此不存在，函数|在点上不能诱导。注：不要有尖点。此类总结：主要内容：两个引例导数的定义导数的几何学意义函数可以导出连续的关系。要点：1.导数的定义2 .在导数的定义中求函数某点的导数3 .导数的几何意义。难点：1.导数的定义2 .函数可以推导出连续的关系。第二节导数的基本公式和算法【教育内容】求导数的基本式四则运算求导法则引导法则的应用例。【教育目的】让学生记住并理解导数的基本公式和四则运算求导法则，熟练应用。【教育重点】1 .导数的基本式2 .四则运算求法则。【教育难点】公式的应用。【教育时数】第2学期【教育过程】一、导数的基本公式问题：1.导数可以用哪个极限公式表示？2 .根据导数定义求函数的导数有多少步？3 .导数和函数在某一点上与导数有什么关系？例1求函数且导数。解由此得到特别的1 .罗列导数的基本公式。(任意常数) (实数)特别：特别：* *中选择。注：要求学生默写约5分钟。2 .分析一些基本公式的特点。课堂练习：如果在下面的空格中输入适当的函数，则表达式成立1)=； (答案：0)2)=； (答案：)3)=； (答案：0)4)=； (答案：)5)=； (答案：0)6)=； (答案：)7)=。 (答案：)二、导数的四则算法只要定理设定函数和点具有导电性，那么这些和(差)函数处处都具有导电性，即，两个导电性函数的代数和的导数等于各函数的导数和。用于扩展有限导数的代数和的导数等于个函数的导数的代数和，即例2已知、求得。解例3既知，求。解只要能用定理函数和点导出，那些乘积函数就可以在任何地方导出，并且。这个结论也可以推广到有限个函数的乘积。 在传播到三个函数的乘积的情况下推理(常数)例4已知、求得。解。例5已知，求出解开例6已知、求得。解定理可以用函数和点导出，这些商函数也可以在任何地方导出，并且推论。例7已知、求得。解例8设定、求出。解的双曲馀弦值。即，即例9设定、求出。解即，即例10中求出的导数。解例11求出的导数。解例12中求出的导数。因为理解是原因例13求出的导数。因为理解是原因说明：四则运算的求导法则除了直接应用式外，有时还需要适当变形表现形式后再应用式。课堂练习：1 .导出公式和。2 .求下列函数的导数(答案：)(答案：)(答案：)(答案：)(答案：)此类总结：主要内容：导数基本式四则运算的求导规律。要点：1.导数的基本式2 .四则运算的求导法则及其应用。难点：1.四则算法的应用工作：第三节复合函数和隐函数的求法【教育内容】复合函数的求导法则用隐函数的求法对数法导出。【教育目的】使学生掌握复合函数和隐函数的求导规律，熟练求出复合函数和隐函数的导函数，用对数法求导。【教育的重点】1 .复合函数的求导法则2 .隐函数求法则。【教育的难点】1 .复合函数的求法2 .隐函数求法则。【教育时数】第三学期【教育过程】一、复合函数的求导规律部署：引用实施例1求出。解法1=解法2可以看作是由和组成的复合函数。 (用问题写复合函数的分解)引用例2求出。解法1解法2可以看作是由和组成的复合函数。 (用问题写复合函数的分解)所以=。分析：上述两个引例求导函数的函数不同，但有共同点。 解法1是应用我们学习的四则运算求出导出的法则，解法2是分解复合函数求出导出的，由于2个解法的结果相同，所以联想复合函数能否用解法2的方法导出。 我们的回答是肯定的，下面给出复合函数的求导规律。定理设定函数由复合构成，如果函数能够在点导电，函数能够在对应点导电，则能够在复合函数点导电或者也就是说，与复合函数参数有关的导数等于将函数对中间变量的导数乘以中间变量对参数的导数，该法则能够在存在多个中间变量的情况下推广.例1设定、求出。解可以看作是由和组成的复合函数。 因此例2设定、求出。解可以看作是由和组成的复合函数。 因此注：如果计算熟练，可以不设置中间变量，直接求出复合函数的导数。 例如，在2的另一种解法中，复合函数将寻求以下常用方法：另解课堂练习：1.(答案：)2.(答案：)3.(答案：)4.(答案：)例3求函数的导数。解=的双曲馀弦值。例4设定、求出。解课堂练习：1.(答案：)2.(答案：)3.(答案：)二、隐函数的导数1 .隐函数的概念。从图像解析式和中间的对应关系可以看出，所有函数都是相同的函数，但表现形式不同。由变量写在自变量上的显式公式，将这样的函数称为显式函数。由二元方程式决定的函数称为隐函数。2 .介绍隐函数求导规律的原因；l可以转换为显式函数，而不是隐式函数l几个隐函数转换成显示函数后导出变得复杂l几个显式函数被转换成隐式函数后，可以更简单地导出3 .隐函数的求法将确定的隐函数代入原方程，得到恒等式在方程的两端求导，将其看作中间变量，并且使用复合函数求导法获得所含方程是求隐函数的导数。例5求方程确定的隐函数的导数。解对方程的两端同时关于求导从中得到例6求方程确定的隐函数的导数。解对方程的两端同时关于求导从中得到例7求曲线点处的切线方程式。解对方程的两端同时关于求导从中得到切线的倾斜度切线方程是课堂练习：求下一个隐函数的导数1.(答案：)2.(答案：)3.(答案：)*三、取对数求导出法由于一些显示函数的直接导出很复杂，并且显示函数的导出方法不可用，我们可以在其两侧取对数将其转换为隐藏函数之后再进行导出。 一般采用自然对数来求导。例8设定、求出。解首先在两端同时取自然对数，得到两端同时求爱，得到从中得到例9设定、求出。解在两端取自然对数，得到是两端同时求爱，得到即，即思考：用对数法导出具有什么特征的显示函数比较方便？此类总结：主要内容：复合函数的求法用隐函数的求法对数法导出。重点：1.复合函数的求导法则2 .隐函数求法则。难点：1.复合函数求导法则2 .隐函数求法则。工作：第四节高阶导数【教育内容】高次导数的概念、表示符号及其求法。【教育目的】让学生理解高次导数的概念，把握高次导数的表现符号及其求法。【教育要点】求高阶导数的方法。【教育的难点】1 .阶导数的求法2 .隐函数的高次导数。【教育时数】0.5学时【教育过程】一、高阶导数概念讨论：通过变速直线运动了解物体的位移函数，如何求出物体的加速度讨论结果表明，加速度的求解是针对两次导数的求解而得出的。 这样的问题实际上经常遇到，需要对一个函数求导数，连续两次以上对某个