肺结核的数学模型

肺结核在江苏省传播的数学模型目录一.摘要二.问题的提出三.问题的分析四.建模过程1) 问题一1.模型假设2.定义符号说明3.模型建立4.模型求解5.结果分析2）问题二1.模型假设2.定义符号说明3.模型建立4.模型对应曲线5.结果分析3）问题三1.问题分析2.模型假设3.定义符号说明4模型建立5.模型求解6.模型对应的曲线图形7.结果分析4）问题四1.问题分析2.模型假设3.定义符号说明4.模型建立5.模型求解6.结果分析五.模型的评价与改进六参考文献一摘要：针对肺结核（pulmonary tuberculosis PTB）传播问题，运用常微分方程建立模型；关键词：常微分方程； 二. 问题的提出肺结核（pulmonary tuberculosis PTB，又名：肺痨）是由结核分枝杆菌引发的肺部感染性疾病。是严重威胁人类健康的疾病。健康人感染结核菌并不一定发病，只有在机体免疫力下降时才发病。根据世界卫生组织（WHO）统计表明：全世界每年发生结核病8001000万，每年约有300万人死于结核病，是造成死亡人数最多的单一传染病。1993年WHO宣布“全球结核病紧急状态”， 认为结核病已成为全世界重要的公共卫生问题。我国是世界上结核疫情最严重的国家之一。肺结核的蔓延给我国人民的生活带来了很大的影响，我们从中得到了许多重要的经验和教训，认识到定性定量地研究传染病的传播规律对预测和控制传染病蔓延的重要性。三问题的分析针对在江苏省，肺结核病毒传播和蔓延的严峻形势，用数学模型做出分析具有一定的意义，我们有必要建立数学模型来描述结核病的传染趋势，从而对肺结核病毒的传播进行有效的预防和控制经分析对肺结核（pulmonary tuberculosis PTB）传播建立数学模型的具体要求如下：1）分析肺结核传播初期模型的合理性与实用性；2）建立新的肺结核传播模型，说明哪些方面优于初期模型，特别要说明怎样才能建立一个真正能够为预测和控制提供可靠、足够信息的模型，这样做的困难在哪里，对于卫生部门所采取的措施做出评价，如：起始时因症状轻微患者自觉无不适，一般不引起注意。只有在病情发展进展时才出现症状，有的人抵抗力很差，感染结核菌的菌量大，毒力强，那么症状会非常明显，在此情况下，对病疫传播的影响作出估计。四模型的分析与建立1) 问题一1.模型假设假设疾病传播期间,江苏省的总人数N是不变的，假设t时刻的病人数N(t)是连续的可微函数。2.定义符号说明N江苏省的总人数；每个病人每天平均接触的人数。3.模型建立则t到()病人人数的增加就有： 再设t=0时有N0病人，即得微分方程 (1)4.模型求解则方程(1)的解为： ; (2)5.结果分析：由方程组的解可知该模型是一个指数模型，即随着时间的t推移，病人的人数将按指数规律增长，若考虑到传染期限L的作用，变化与方程组(1)的解会有显著的偏离率,速度会放慢。该模型的不合理处在于：在病人接触的人群中有健康者也有病人，其中被接触的健康者才能被感染为病人，且根据生活的实际，病人的人数不可能无限增长。2）问题二1.模型假设a.假设在疾病传播期间，江苏省的总人数N是不变的，不考虑人口的迁移，则在t时刻时，健康者S与病人I这两类人在人群中所占的比例分别记作s(t)和i(t);b. 每个病人每天接触的平均人数为，称为日接触率但由于被结核菌感染的人群中只有 510的人会发生结核病,其余90%以上的人并不发病，且根据医学研究表明感染了结核病菌而没有发病的这类人是不会传播结核病的。则记被感染且发病的人占病人日接触人数的，的范围在510之间；2.定义符号说明N江苏省的总人数；每个病人的日接触率；健康者S在人群中占的比例；病人I在人群中占的比例；被病人接触感染的人群中实际发病的比率；每个病人的日有效接触率3.模型建立根据假设则每个病人每天可使s(t)个健康者成为病人，病人的人数为Ni(t),所以每天被有效感染的健康的人数为Ns(t)i(t)，于是Ns(t)i(t)就是病人数Ni(t)的增加率，即有 (3)又因为 (4)再记初始时刻（t=0）时病人的比例为，则 (5)则它的解为 (6)4.模型对应的曲线和的图形如图1和图2所示。 图1 SI模型的曲线 图2 SI模型的曲线5.结果分析：由(5),(6)式及图1可知，当i=1/2时达到最大值，这个时刻 (7)此时病人增加的最快，可以认为此时是医疗机构门诊量最大的一天，预示着肺结核高峰期的到来，是医疗机构部门最关注的时刻，tm与成反比，越小则表明卫生水平越高。所以可以知道改善保健设施，提高卫生水平可以推迟肺结核病高峰期的到来。该模型的不合理之处在于：当t时1，即所有人都将被传染，全部变为病人，没有考虑到病人是可以被治愈的，单纯认为病人不会成为健康者，与实际情况不吻合。3）问题三：1.问题分析： 对肺结核病而言，人体对肺结核病菌是不具有终生免疫力的，得了还能再得，而且病菌也不容易全部在体内杀死，而是部分转入惰性状态，造成二次患病的危险增大。而感染结核病毒的患者体内的结核菌是活的且具有强毒力，一旦机体免疫下降，很可能复发，或者再次感染，也就是病人被治愈后变为健康者，变为健康者还可以再次被感染成为病人；2.模型假设a) 假设疾病传播期间，江苏省的总人数N是不变的，不考虑人口迁移的影响，则在t时刻时，健康者S与病人I这两类人在总人群中所占的比例分别记作s(t)和i(t);b) 每个病人每天有效接触（即与健康者接触时，使健康者接触受感染成为病人）的平均人数是常数，称为日接触率，与问题二模型假设相同，的范围是510；c) 每天被治愈的病人人数占病人总数的比例为常数,称为日治愈率。病人治愈后仍可被感染成为病人，则称为肺结核病的平均传染期；3.定义符号说明 N江苏省的总人数；每个病人的日接触率；健康者S在人群中占的比例；病人I在人群中占的比例；被感染的人群中实际发病的比率；日治愈率。 4.模型建立 根据模型的假设则有： (8) (9) 令 (10)则是整个传染期内每个病人有效接触的平均人数，称为接触数。利用则（9）可以修改为 （11）5.模型分析则由方程（11）易画出图形 图三 SIS的图形() 图四 SIS的图形() 图五 SIS的图形() 图六 SIS的图形()6.结果分析 由图三到图六可以看出，接触数是一个临界点，当时，如图六，的增减性取决于的大小，经过很长的一段时间，他们都无穷的趋向于，但其值的大小随的增加而增加，所以即为整个传染期内每个病人有效接触的平均人数越多，患病的人数越多。 当时，由图五可知，病人的人数随着时间t的变化越来越小，最终无穷趋向于零（因为是整个传染期内每个病人有效接触的平均人数，由，则得传染期内有效接触使健康者变为病人的人数不超过原来病人人数的关系）。4)问题四：1.问题分析：对肺结核病患者而言，若在治愈后，接种卡介苗疫苗，让身体产生抗体（注：抗体对肌体无伤害），则这类人既非病人亦非健康者（易感人群），称这些人为移出者，他们退出了传染系统根据社会实际，出于经济因素或其它某些方面的因素，并不会是所有治愈后的人都接种疫苗，也就是会发生一部分人治愈后因未接种疫苗而再次复发。2.模型假设：a) 江苏省的总人数N不变，不考虑人口迁移的影响，人群分为健康者，病人和病愈者，其中健康者和病人在总人数N中所占的比例分别为；b) 其中病愈者又分为接种疫苗的与未接种疫苗的，称接种疫苗的为移出者，未接种疫苗的成为健康者（易感人群），这两类人所占的比例分别为。c) 病人的日有效接触率为，日治愈率为（与SI模型相同）传染期有效接触数为。3.定义符号说明N江苏省的总人数；每个病人的日接触率；健康者(易感人群)S在人群中占的比例；病人I在人群中占的比例；被感染的人群中实际发病的比率；接种疫苗使得退出传染系统的人在人群中所占的比例。4.模型建立：由假设abc显然有 假设令初始时刻的健康者和病人的比例分别为（均大于0）,则有： (12)所以即得 (13)利用则(13)可修改为 (14)5.模型分析：由方程(12)(14)易画出及的图形 的图形 的图形( ) 6.结果分析由方程(14)知，当时，最大；由方程(12)知，当时，增加，说明病人在不断被治愈为健康者，但不会消失，总是稳定在一定的范围内；如果仅当病人所占比例有一个增长的时期才认为传染病在蔓延，当时，传染病在蔓延，而减小传染期接触数，使得，传染病就不会蔓延.若人们的卫生水平越高，日接触率越小，越小；若医疗水平越高，日治愈率越大，越小；所以提高卫生水平和医疗水平有助于控制传染病的蔓延，另一方面，可看出，时，有病人被健康者替换，所以也可以通过降低来控制传染病，使得病情有所好转；忽略病人比例的初始值，有， (15)只要通过群体免疫使初始时刻的移出者比例（即接种疫苗后脱离传染系统的人所占的比例）满足（15）式，就可以控制病情，使其好转。五.模型的评价与改进 本模型的建立从问题一到四，我们可以发现病情的发展会有一定的规律，但无论如何发展都会趋向于某一固定的情况,根据建立的模型我们可以有效的预测肺结核病高峰期的到来，从而可以帮助医疗组织以及政府做好充分的准备。 从模型中我们也可以发现提高卫生水平以及医疗水平有助于控制传染病的蔓延。我们也可以发现在幼儿时期就接种疫苗，从根本上减少健康者（即易感人群）的人数，使得整个病情传