计算方法实验报告习题1(浙大版)

专业：电气工程及其自动化姓名： 李X 计算方法实验报告实验名称： 实验1 从函数表出发进行插值 1 引言某个实际问题中，函数f(x)在区间a,b上存在且连续，但难以找到其表达式，只能通过实验和观测得到有限点上的函数表。有些情况虽然可以写出表达式，但结构复杂，使用不方便。所以希望构造简单函数P(x)作为f(x)的近似值。插值法是解决此类问题的一种方法。设函数y=在插值区间a,b上连续，且在n+1个不同的插值节点ax0,x1,xnb上分别取值y0,y1,yn。目的是要在一个性质优良、便于计算的插值函数类中，求一简单函数P(x)，满足插值条件P(xi)=yi(i=0,1,n)，而在其他点xxi上，作为f(x)近似值。求插值函数P(x)的方法称为插值法1。2 实验目的和要求运用Matlab编写m文件，定义三种插值函数，要求一次性输入整张函数表，并利用计算机选择在插值计算中所需的节点。分别通过分段线性插值、分段二次插值和全区间上拉格朗日插值计算f(0.15)，f(0.31)，f(0.47)的近似值。3 算法原理与流程图（1）原理1. 线性插值当给定了n+1个点x0x1xn上的函数值y0,y1,yn后，若要计算xxi处函数值f(x)的近似值，可先选取两个节点xi-1与xi使xxi-1,xi，然后在小区间xi-1,xi上作线性插值，即得这种分段低次插值叫分段线性插值。2. 分段二次插值当给定了n+1个点x0x1xn上的函数值y0,y1,yn后，若要计算xxi处函数值f(x)的近似值，可先选取距离x最近的三个节点xi-1，xi与xi+1，然后进行二次插值，即得这种分段低次插值叫分段二次插值。3. 全区间上拉格朗日插对节点xi(i=0,1,n)中任一点xk(0kn)，作一n次多项式lk(x)，使它在该点上的取值为1，在其余点xi(i=0,1,k-1,k+1,n)上取值为零。对应于每一节点xk(k=0,1,n)，都能写出一个满足此条件的多项式，这样写出n+1个多项式l0(x),l1(x),ln(x)。拉格朗日n次插值多项式（对于全区间上的插值，n取函数表的长度）（2） 流程图4 程序代码及注释1. 分段线性插值法%分段线性插值function y=fdxx(x0,y0,x) %定义函数p=length(y0);n=length(x0);m=length(x); %计算函数表和x的长度if p=n error(数据输入有误，请重新输入);%若函数表的x与y长度不一致则输入有误else fprintf(分段线性插值nn); for t=1:m %利用循环计算每个x的插值结果 z=x(t); if zx0(n) fprintf(x(%d)超出范围;n,t); break; %若x不在函数表范围内，则插值结果将不准确 end for i=1:n-1 if zx0(i+1) break; %选取合适的两点使x(i)xx(i+1) end end %注：若x不在函数表范围内，则i=n-1 y(t)=y0(i)*(z-x0(i+1)/(x0(i)-x0(i+1)+y0(i+1)*(z-x0(i)/(x0(i+1)-x0(i); %按照分段线性插值公式求解y fprintf(y(%d)=%fnx1=%.3f y1=%.3f,x2=%.3f y2=%.3fnn,t,y(t),x0(i),y0(i),x0(i+1),y0(i+1); %输出插值结果和所需的节点 endend注：若要在Matlab中直接调用插值函数，需要事先将习题1函数表输入2. 分段二次插值法%分段二次插值function y=fd2(x0,y0,x) %定义函数分段二次插值p=length(y0);n=length(x0);m=length(x); %计算函数表和x的长度if p=n error(数据输入有误，请重新输入);%若函数表的x与y长度不一致则输入有误else fprintf(分段二次差值nn); for t=1:m %运用循环求解所有点的插值 z=x(t); if zx0(n) fprinf(x(%d)超出范围;n,t); break; %如果x不在函数表范围内无法插值 end i=n-1; %若下列循环i不变，则i=n-1， for j=1:n-2 if z x0=0.0 0.1 0.195 0.3 0.401 0.5; y0=0.39894 0.39695 0.39142 0.38138 0.36812 0.35206; x=0.15 0.31 0.47;%首先在Matlab中输入函数表和待插值变量x%确保Current Directory 中存放分别含有上述代码的三个m文件（1） 分段线性插值 y1=fdxx(x0,y0,x) %调用分段线性插值函数得到下列结果分段线性插值y(1)=0.x1=0.100 y1=0.397,x2=0.195 y2=0.391y(2)=0.x1=0.300 y1=0.381,x2=0.401 y2=0.368y(3)=0.x1=0.401 y1=0.368,x2=0.500 y2=0.352y1 = 0.39404 0.38107 0.35693（2） 分段二次插值 y=fd2(x0,y0,x) %调用分段二次插值函数得到下列结果分段二次差值y(1)=0.x1=0.195 y1=0.391x2=0.300 y2=0.381x3=0.401 y3=0.368y(2)=0.x1=0.195 y1=0.391x2=0.300 y2=0.381x3=0.401 y3=0.368y(3)=0.x1=0.300 y1=0.381x2=0.401 y2=0.368x3=0.500 y3=0.352y = 0.39455 0.38122 0.35725（3） 全区间上拉格朗日插值 y=lagrange(x0,y0,x) %调用拉格朗日性插值函数得到下列结果拉格朗日插值y(1)=0.y(2)=0.y(3)=0.y = 0.39447 0.38122 0.35722（4） 测试示例 x=0.15 0.31 0.51; y=fdxx(x0,y0,x)分段线性插值y(1)=0.x1=0.100 y1=0.397,x2=0.195 y2=0.391y(2)=0.x1=0.300 y1=0.381,x2=0.401 y2=0.368x(3)超出范围; y1= 0.39894 0.39695 0.39142 0.38138 0.36812 ; y=fdxx(x0,y1,x)? Error using = fdxx数据输入有误，请重新输入6 讨论与结论1. 对程序运行的时间加以比较使用tic,toc函数计算下列四种方法计算上述问题所运行的时间函数interp1(x0,y0,x)fdxx(x0,y0,x)fd2(x0,y0,x)lagrange(x0,y0,x)运行时间(s)0.296990.0.0.0.255580.0.0.0.242970.0.0.从三次实验结果可知，interp1函数所用时间比编写的fdxx函数长（interp1函数为matlab求分段线性插值的函数）；而fdxx和另外两个函数时间比较接近2. 程序优化由分段线性插值和分段二次插值的原理，x取值在函数表范围内时，插值结果有意义，而当x取值在函数表范围以外，利用分段线性插值公式仍可以进行运算并得到一个值，但其结果不准确；分段二次插值则无法找到三个合适的点以求插值，不予以输出结果；若输入的函数表x与y的长度不相等，则无法插值。所以加入判断p=length(y0);n=length(x0);if p=n error(数据输入有误，请重新输入);if zx0(n) fprintf(x(%d)超出范围;n,t); break;end从而避免了因输入错误导致的结果错误。由上述（4）测试示例可看到效果。3.结果比较（下方的图为放大图）图中data1为原函数表的数据，data2-d