信息论与编码-陈运主编-完整版答案

2.1 试问四进制、八进制脉冲所含信息量是二进制脉冲的多少倍？ 解： 四进制脉冲可以表示 4 个不同的消息，例如：0, 1, 2, 3 八进制脉冲可以表示 8 个不同的消息，例如：0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 二进制脉冲可以表示 2 个不同的消息，例如：0, 1 假设每个消息的发出都是等概率的，则： 四进制脉冲的平均信息量symbolbitnXH/ 24loglog)( 1 = 八进制脉冲的平均信息量symbolbitnXH/ 38loglog)( 2 = 二进制脉冲的平均信息量symbolbitnXH/ 12loglog)( 0 = 所以： 四进制、八进制脉冲所含信息量分别是二进制脉冲信息量的 2 倍和 3 倍。 2.2 居住某地区的女孩子有 25%是大学生，在女大学生中有 75%是身高 160 厘米以上的，而女 孩子中身高 160 厘米以上的占总数的一半。假如我们得知“身高 160 厘米以上的某女孩是大 学生”的消息，问获得多少信息量？ 解： 设随机变量 X 代表女孩子学历 X x1（是大学生） x2（不是大学生） P(X) 0.25 0.75 设随机变量 Y 代表女孩子身高 Y y1（身高160cm） y2（身高 log6 不满足信源熵的极值性。 = 17 . 0 16 . 0 17 . 0 18. 019. 02 . 0)( 654321 xxxxxx XP X 解： 2 585. 26log)( / 657. 2 )17. 0log17. 016. 0log16. 017. 0log17. 018. 0log18. 019. 0log19. 02 . 0log2 . 0( )(log)()( 2 6 = = += = XH symbolbit xpxpXH i ii 不满足极值性的原因是。 107 . 1 )( 6 = i i xp 2.7 证明：H(X3/X1X2) H(X3/X1)，并说明当X1, X2, X3是马氏链时等式成立。 证明： 0 log1)/()( log)()/()( log1 )/( )/( )( )/( )/( log)( )/(log)()/(log)( )/(log)()/(log)( )/()/( 2 123 1321 2 123 321 123 1321 123 2 213 13 321 123 213 13 321 123 13321 123 213321 13 1331 123 213321 13213 = = = = += += exxpxxp exxxpxxpxxp e xxxp xxp xxxp xxxp xxp xxxp xxpxxxpxxxpxxxp xxpxxpxxxpxxxp XXHXXXH iii iiii iii iii iii iiii iii iii ii iii iii iii ii iii iii iiiii iii iiiiii ii iiii iii iiiiii 氏链是马等式等等的等等是 时等式等等当 _, )/()/()/( )()/()/()( )()/()/()( )/()/( 01 )/( )/( )/()/( 321 1321312 32113121 212131321 21313 213 13 13213 XXX xxxpxxpxxp xxxpxxpxxpxp xxpxxxpxxpxxp xxxpxxp xxxp xxp XXHXXXH iiiiiii iiiiiiii iiiiiiiii iiiii iii ii = = = = = 2.8 证明：H(X1X2 。 。 。 Xn) H(X1) + H(X2) + + H(Xn)。 证明： . )/()( 0);( )/()( 0);( )./(.)/()/()().( 2133213 12212 12121312121 XXXHXHXXXI XXHXHXXI XXXXHXXXHXXHXHXXXH nnn += 3 )(.)()()().( )./()( 0).;( 32121 121121 nn nNNnN XHXHXHXHXXXH XXXXHXHXXXXI + 2.9 设有一个信源，它产生 0，1 序列的信息。它在任意时间而且不论以前发生过什么符号， 均按 P(0) = 0.4，P(1) = 0.6 的概率发出符号。 (1) 试问这个信源是否是平稳的？ (2) 试计算H(X 2), H(X 3/X1X2)及H； (3) 试计算H(X 4)并写出X4信源中可能有的所有符号。 解： (1) 这个信源是平稳无记忆信源。因为有这些词语： “它在任意时间 而且不论以前发生过什么符号 ” (2) symbolbitXHXXXXHH symbolbitxpxpXHXXXH symbolbitXHXH NNN N i ii / 971 . 0 )()./(lim / 971 . 0 )6 . 0log6 . 04 . 0log4 . 0()(log)()()/( / 942 . 1 )6 . 0log6 . 04 . 0log4 . 0(2)(2)( 121 3213 2 = =+= =+= (3) 1111111011011100 1011101010011000 0111011001010100 0011001000010000 的所有符号： / 884 . 3 )6 . 0log6 . 04 . 0log4 . 0(4)(4)( 4 4 X symbolbitXHXH=+= 2.10 一阶马尔可夫信源的状态图如下图所示。信源X的符号集为0, 1, 2。 (1) 求平稳后信源的概率分布； (2) 求信源的熵H。 解： (1) 4 = = = =+ = += += += += += += 3/1)( 3/1)( 3/1)( 1)()()( )()()( )()()( )()()( )()()( )/()()/()()( )/()()/()()( )/()()/()()( 3 2 1 321 321 133 322 211 1313333 3232222 2121111 ep ep ep epepep epepep eppeppep eppeppep eppeppep eepepeepepep eepepeepepep eepepeepepep = =+=+=+= =+=+=+= =+=+=+= 3/1 2 3/1 1 3/1 0 )( 3/13/ )()()()/()()/()()( 3/13/ )()()()/()()/()()( 3/13/ )()()()/()()/()()( 131313333 323232222 212121111 XP X ppeppeppexpepexpepxp ppeppeppexpepexpepxp ppeppeppexpepexpepxp (2) ()symbolbitpppp pppppppppppp eepeepeepeepeepeep eepeepeepeepeepeep eepeepeepeepeepeep eepeepepH ij ijiji / loglog log 3 1 log 3 1 log 3 1 log 3 1 log 3 1 log 3 1 )/(log)/( 3 1 )/(log)/( 3 1 )/(log)/( 3 1 )/(log)/( 3 1 )/(log)/( 3 1 )/(log)/( 3 1 )/(log)/( 3 1 )/(log)/( 3 1 )/(log)/( 3 1 )/(log)/()( 333332323131 232322222121 131312121111 33 += += + + += = 2.11 黑白气象传真图的消息只有黑色和白色两种，即信源X=黑，白。设黑色出现的概率为 P(黑) = 0.3，白色出现的概率为P(白) = 0.7。 (1) 假设图上黑白消息出现前后没有关联，求熵H(X)； (2) 假设消息前后有关联，其依赖关系为P(白/白) = 0.9，P(黑/白) = 0.1，P(白/黑) = 0.2， P(黑/黑) = 0.8，求此一阶马尔可夫信源的熵H2(X); (3) 分别求上述两种信源的剩余度，比较H(X)和H2(X)的大小，并说明其物理含义。 解： (1) symbolbitxpxpXH i ii / 881. 0)7 . 0log7 . 03 . 0log3 . 0()(log)()(=+= (2) 5 symbolbit eepeepepH ep ep epep epep epepep epepep eepepeepepep eepepeepepep ij ijiji / 553 . 0 9 . 0log9 . 0 3 2 1 . 0log1 . 0 3 2 2 . 0log2 . 0 3 1 8 . 0log8 . 0 3 1 )/(log)/()( 3/2)( 3/1)( 1)()( )(2)( )(2 . 0)(9 . 0)( )(1 . 0)(8 . 0)( )/()()/()()( )/()()/()()( 2 1 21 12 122 211 1212222 2121111 = += = = = =+ = += += += += (3) %7 .44 2log 553. 02log %9 .11 2log 881. 02log 0 0 1 0 0 1 = = = = = = H HH H HH H(X) H2(X) 表示的物理含义是：无记忆信源的不确定度大与有记忆信源的不确定度，有记忆信源的结构化信息较多， 能够进行较大程度的压缩。 2.12 同时掷出两个正常的骰子，也就是各面呈现的概率都为 1/6，求： (1) “3 和 5 同时出现”这事件的自信息； (2) “两个 1 同时出现”这事件的自信息； (3) 两个点数的各种组合（无序）对的熵和平均信息量； (4) 两个点数之和（即 2, 3, , 12 构成的子集）的熵； (5) 两个点数中至少有一个是 1 的自信息量。 解： (1) bitxpxI xp ii i 170. 4 18 1 log)(log)( 18 1 6 1 6 1 6 1 6 1 )( = =+= (2) bitxpxI xp ii i 170. 5 36 1 log)(log)( 36 1 6 1 6 1 )( = = (3) 两个点数的排列如下： 11 12 13 14 15 16 6 21 22 23 2425 26 31 32 33 3435 36 41 42 43 4445 46 51 52 53 5455 56 61 62 63 6465 66 共有 21 种组合： 其中 11，22，33，44，55，66 的概率是 36 1 6 1 6 1 = 其他 15 个组合的概率是 18 1 6 1 6 1 2= symbolbitxpxpXH i ii / 337. 4 18 1 log 18 1 15 36 1 log 36 1 6)(log)()(= += (4) 参考上面的两个点数的排列，可以得出两个点数求和的概率分布如下： symbolbit xpxpXH XP X i ii / 274. 3 6 1 log 6 1 36 5 log 36 5 2 9 1 log 9 1 2 12 1 log 12 1 2 18 1 log 18 1 2 36 1 log 36 1 2 )(log)()( 36 1 12 18 1 11 12 1 10 9 1 9 36 5 8 6 1 7 36 5 6 9 1 5 12 1 4 18 1 3 36 1 2 )( = += = = (5) bitxpxI xp ii i 710. 1 36 11 log)(log)( 36 11 11 6 1 6 1 )( = = 2.13 某一无记忆信源的符号集为0, 1，已知P(0) = 1/4，P(1) = 3/4。 (1) 求符号的平均熵； (2) 有 100 个符号构成的序列，求某一特定序列（例如有m个“0”和（100 - m）个“1” ） 的自信息量的表达式； (3) 计算(2)中序列的熵。 解： (1) symbolbitxpxpXH i ii / 811. 0 4 3 log 4 3 4 1 log 4 1 )(log)()(= += (2) bitmxpxI xp m ii m mm i 585. 15 .41 4 3 log)(log)( 4 3 4 3 4 1 )( 100 100 100 100 100 += = = 7 (3) symbolbitXHXH/ 1 .81811. 0100)(100)( 100 = 2.14 对某城市进行交通忙闲的调查，并把天气分成晴雨两种状态，气温分成冷暖两个状态， 调查结果得联合出现的相对频度如下： 若把这些频度看作概率测度，求： (1) 忙闲的无条件熵； (2) 天气状态和气温状态已知时忙闲的条件熵； (3) 从天气状态和气温状态获得的关于忙闲的信息。 解： (1) 根据忙闲的频率，得到忙闲的概率分布如下： symbolbitxpxpXH xx XP X i i i / 964. 0 103 40 log 103 40 103 63 log 103 63 )(log)()( 103 40 103 63 闲忙 )( 2 21 = += = (2) 设忙闲为随机变量 X，天气状态为随机变量 Y，气温状态为随机变量 Z symbolbitYZHXYZHYZXH symbolbit zypzypYZH symbolbit zyxpzyxpXYZH jk kjkj ijk kjikji / 859. 0977 . 1 836 . 2 )()()/( / 977 . 1 103 28 log 103 28 103 32 log 103 32 103 23 log 103 23 103 20 log 103 20 )(log)()( / 836 . 2 103 12 log 103 12 103 5 log 103 5 103 15 log 103 15 103 8 log 103 8 103 16 log 103 16 103 27 log 103 27 103 8 log 103 8 103 12 log 103 12 )(log)()( = = += = = + += = (3) symbolbitYZXHXHYZXI/ 159. 0859. 0964. 0)/()();(= 8 2.15 有两个二元随机变量X和Y，它们的联合概率为 Y X x1=0 x2=1 y1=0 1/8 3/8 y2=1 3/8 1/8 并定义另一随机变量Z = XY（一般乘积） ，试计算： (1) H(X), H(Y), H(Z), H(XZ), H(YZ)和H(XYZ)； (2) H(X/Y), H(Y/X), H(X/Z), H(Z/X), H(Y/Z), H(Z/Y), H(X/YZ), H(Y/XZ)和H(Z/XY)； (3) I(X;Y), I(X;Z), I(Y;Z), I(X;Y/Z), I(Y;Z/X)和I(X;Z/Y)。 解： (1) symbolbitypypYH yxpyxpyp yxpyxpyp symbolbitxpxpXH yxpyxpxp yxpyxpxp j jj i ii / 1)(log)()( 2 1 8 1 8 3 )()()( 2 1 8 3 8 1 )()()( / 1)(log)()( 2 1 8 1 8 3 )()()( 2 1 8 3 8 1 )()()( 22212 12111 22122 21111 = =+=+= =+=+= = =+=+= =+=+= Z = XY 的概率分布如下： symbolbitzpZH zz ZP Z k k / 544. 0 8 1 log 8 1 8 7 log 8 7 )()( 8 1 8 7 10 )( 2 21 = += = = symbolbitzxpzxpXZH zpzxp zxpzxpzp zxpzpzxp zxpzxpzp xpzxp zxp zxpzxpxp ik kiki / 406 . 1 8 1 log 8 1 8 3 log 8 3 2 1 log 2 1 )(log)()( 8 1 )()( )()()( 8 3 5 . 0 8 7 )()()( )()()( 5 . 0)()( 0)( )()()( 222 22212 11112 12111 111 21 21111 = += = += = += = = += 9 symbolbitzypzypYZH zpzyp zypzypzp zypzpzyp zypzypzp ypzyp zyp zypzypyp jk kjkj / 406. 1 8 1 log 8 1 8 3 log 8 3 2 1 log 2 1 )(log)()( 8 1 )()( )()()( 8 3 5 . 0 8 7 )()()( )()()( 5 . 0)()( 0)( )()()( 222 22212 11112 12111 111 21 21111 = += = += = += = = += symbolbit zyxpzyxpXYZH yxpzyxp yxpzyxpzyxp zyxp yxpzyxp yxpzyxpzyxp zyxpzxpzyxp zxpzyxpzyxp yxpzyxp yxpzyxpzyxp zyxp zyxp zyxp ijk kjikji / 811 . 1 8 1 log 8 1 8 3 log 8 3 8 3 log 8 3 8 1 log 8 1 )(log)()( 8 1 )()( )()()( 0)( 8 3 )()( )()()( 8 3 8 1 2 1 )()()( )()()( 8/1)()( )()()( 0)( 0)( 0)( 2 22222 22222122 122 12112 12212112 11111121 11111121 11111 11211111 212 221 211 = += = = =+ = = =+ = =+ = =+ = = = (2) symbolbitXYHXYZHXYZH symbolbitXZHXYZHXZYH symbolbitYZHXYZHYZXH symbolbitYHYZHYZH symbolbitZHYZHZYH symbolbitXHXZHXZH symbolbitZHXZHZXH symbolbitXHXYHXYH symbolbitYHXYHYXH symbolbityxpyxpXYH ij jiji / 0811. 1811. 1)()()/( / 405. 0406. 1811. 1)()()/( / 405. 0406. 1811. 1)()()/( / 406. 01406. 1)()()/( / 862. 0544. 0406. 1)()()/( / 406. 01406. 1)()()/( / 862. 0544. 0406. 1)()()/( / 811. 01811. 1)()()/( / 811. 01811. 1)()()/( / 811. 1 8 1 log 8 1 8 3 log 8 3 8 3 log 8 3 8 1 log 8 1 )(log)()( 2 = = = = = = = = = = += (3) 10 symbolbitYZXHYXHYZXI symbolbitXZYHXYHXZYI symbolbitYZXHZXHZYXI symbolbitZYHYHZYI symbolbitZXHXHZXI symbolbitYXHXHYXI / 406. 0405. 0811 . 0 )/()/()/;( / 457. 0405. 0862 . 0 )/()/()/;( / 457. 0405. 0862 . 0 )/()/()/;( / 138. 0862 . 0 1)/()();( / 138. 0862 . 0 1)/()();( / 189. 0811 . 0 1)/()();( = = = = = = 2.16 有两个随机变量X和Y，其和为Z = X + Y（一般加法） ，若X和Y相互独立，求证：H(X) H(Z), H(Y) H(Z)。 证明： )()( )/()( )()(log)()( )/(log)/()()/(log)()/( )( 0 )( )( )()/( 2 YHZH XZHZH YHypypxp xzpxzpxpxzpzxpXZH Yxz Yxzyp xzpxzp YXZ ij jji ik ikiki ik ikki ik ikj ikik = = = = += Q Q 同理可得。 )()(XHZH 2.17 给定声音样值X的概率密度为拉普拉斯分布+ 0)的熵Hc(Y)； (3) 试求Y = 2X的熵Hc(Y)。 解： 1) symbolbit e a bXH ba aF bx xF e aba b xdxxbb dxxxfdxxfb dxbxxfdxxfxfXH c XX R RR RR c / log 3 2 log)( 1 3 )(, 3 )( log 9 2 log log2log log)()(log log)()(log)()( 3 33 33 2 2 2 = = = = = = Q 2) = = = = = =+= + R RR RR c Ay A Y AydAyAybb dyAyyfdyyfb dyAybyfdyyfyfYH AybyFyf Ay b dxbx AyXPyAXPyYPyF AayA aAyax )()log()(2log )log()()(log )(log)()(log)()( )()()( )( 3 )()()()( 00 2 2 2 2 32 Q 16 symbolbit e a bYH ba AaFAy b yF symbolbit e aba b c YY / log 3 2 log)( 1 3 )(,)( 3 )( / log 9 2 log 3 3 3 33 = =+= = Q 3) symbolbit e a bYH ba aFy b yF ba e aba b e abab ydyy bb dyyyfdyyf b dyy b yfdyyfyfYH y b yFyf y b dxbx y XPyXPyYPyF ay a y ax c YY R RR RR c y Y / 1log 3 2 log)( 1 3 )2(, 24 )( 3 29 log 9 2 log 8 log 9 2 8 log log 48 log log)()( 8 log 8 log)()(log)()( 8 )()( 24 ) 2 ()2()()( 20 2 00 3 3 3 333 33 2 2 2 2 3 2 0 2 += = += = = = = = = = Q Q 17 17 3.1 设信源 = 4 . 06 . 0)( 21 xx XP X 通过一干扰信道，接收符号为 Y = y1, y2 ，信道转移矩 阵为 4 3 4 1 6 1 6 5 ，求： (1) 信源X中事件x1和事件x2分别包含的自信息量； (2) 收到消息yj (j=1,2)后，获得的关于xi (i=1,2)的信息量； (3) 信源X和信宿Y的信息熵； (4) 信道疑义度H(X/Y)和噪声熵H(Y/X)； (5) 接收到信息Y后获得的平均互信息量。 解： 1) bitxpxI bitxpxI 322 . 1 4 . 0log)(log)( 737 . 0 6 . 0log)(log)( 2222 2121 = = 2) bit yp xyp yxI bit yp xyp yxI bit yp xyp yxI bit yp xyp yxI xypxpxypxpyp xypxpxypxpyp 907 . 0 4 . 0 4/3 log )( )/( log);( 263 . 1 6 . 0 4/1 log )( )/( log);( 263 . 1 4 . 0 6/1 log )( )/( log);( 474 . 0 6 . 0 6/5 log )( )/( log);( 4 . 0 4 3 4 . 0 6 1 6 . 0)/()()/()()( 6 . 0 4 1 4 . 0 6 5 6 . 0)/()()/()()( 2 2 22 222 2 1 21 212 2 2 12 221 2 1 11 211 2221212 2121111 = = = = =+=+= =+=+= 3) symbolbitypypYH symbolbitxpxpXH j jj i ii / 971. 010log)4 . 0log4 . 06 . 0log6 . 0()(log)()( / 971 . 0 10log)4 . 0log4 . 06 . 0log6 . 0()(log)()( 2 2 =+= =+= 4) symbolbit YHXYHXHYXH YXHYHXYHXH symbolbit xypxypxpXYH ij ijiji / 715 . 0 971 . 0 715 . 0 971 . 0 )()/()()/( )/()()/()( / 715 . 0 10log) 4 3 log 4 3 4 . 0 4 1 log 4 1 4 . 0 6 1 log 6 1 6 . 0 6 5 log 6 5 6 . 0( )/(log)/()()/( 2 =+= += +=+ = += = Q 18 5) symbolbitYXHXHYXI/ 256. 0715. 0971. 0)/()();(= 3.2 设二元对称信道的传递矩阵为 3 2 3 1 3 1 3 2 (1) 若P(0) = 3/4, P(1) = 1/4，求H(X), H(X/Y), H(Y/X)和I(X;Y)； (2) 求该信道的信道容量及其达到信道容量时的输入概率分布； 解： 1) symbolbitYXHXHYXI symbolbitXYHYHXHYXH XYHYHYXHXHYXI symbolbitypYH xypxpxypxpyxpyxpyp xypxpxypxpyxpyxpyp symbolbit xypxypxpXYH symbolbitxpXH j j ij ijiji i i / 062. 0749. 0811 . 0 )/()();( / 749. 0918. 0980. 0811. 0)/()()()/( )/()()/()();( / 980. 0)4167. 0log4167. 05833 . 0 log5833 . 0 ()()( 4167. 0 3 2 4 1 3 1 4 3 )/()()/()()()()( 5833. 0 3 1 4 1 3 2 4 3 )/()()/()()()()( / 918 . 0 10log) 3 2 lg 3 2 4 1 3 1 lg 3 1 4 1 3 1 lg 3 1 4 3 3 2 lg 3 2 4 3 ( )/(log)/()()/( / 811. 0) 4 1 log 4 1 4 3 log 4 3 ()()( 22 22212122212 21211112111 2 22 = =+=+= = =+= =+=+=+= =+=+=+= = += = =+= 2) 2 1 )( / 082 . 0 10log) 3 2 lg 3 2 3 1 lg 3 1 (2loglog);(max 222 = =+= i mi xp symbolbitHmYXIC 3.3 设有一批电阻， 按阻值分 70%是 2K， 30%是 5 K； 按瓦分 64%是 0.125W， 其余是 0.25W。 现已知 2 K阻值的电阻中 80%是 0.125W，问通过测量阻值可以得到的关于瓦数的平均信息 量是多少？ 解： 对本题建立数学模型如下： );(求： 2 . 0)/(, 8 . 0)/( 36 . 0 64 . 0 4/18/1 )( 瓦数 3 . 07 . 0 52 )( 阻值 1211 2121 YXI xypxyp yy YP Yxx XP X = = = = = 以下是求解过程： 19 () () () symbolbitXYHYHXHYXI symbolbit yxpyxpXYH symbolbitypYH symbolbitxpXH yxpypyxp yxpyxpyp yxpypyxp yxpyxpyp xypxpyxp xypxpyxp ij jiji j j i i / 186. 0638. 1943. 0881. 0)()()();( / 638 . 1 22. 0log22. 008. 0log08. 014. 0log14 . 0 56 . 0 log56 . 0 )(log)()( / 943. 036. 0log36. 064. 0log64 . 0 )()( / 881. 03 . 0log3 . 07 . 0log7 . 0)()( 22. 014. 036 . 0 )()()( )()()( 08. 056. 064 . 0 )()()( )()()( 14. 02 . 07 . 0)/()()( 56. 08 . 07 . 0)/()()( 2222 22 22 21222 22212 11112 12111 12121 11111 =+=+= = += = =+= =+= = +=