原函数与不定积分的概念

2010-10-25 1 第五章第五章第五章 不定积分不定积分不定积分 5.1. 原函数与不定积分的概念 原函数与不定积分的概念 5.2. 基本积分公式 基本积分公式 5.3. 换元积分法换元积分法 4 分部积分法分部积分法5.4. 分部积分法分部积分法 5.15.1 原函数与不定积分的概念原函数与不定积分的概念原函数与不定积分的概念原函数与不定积分的概念 一、原函数一、原函数 二、不定积分二、不定积分 一、原函数一、原函数 二、不定积分二、不定积分 三、不定积分的基本性质三、不定积分的基本性质三、不定积分的基本性质三、不定积分的基本性质 1、问题的提出、问题的提出 我们知道我们知道xxcos)(sin 反之，反之， xcos) ? ( 一、原函数一、原函数一、原函数一、原函数 )( ) Csinx (cos x不难知道不难知道 因此，因此，本章所讲的内容就是导数的逆运算本章所讲的内容就是导数的逆运算 定义1 如果在区间 I 上，可导函数 F(x) 的导数为 f(x)，即对任一 xI ，都有 F(x)f(x) 或 dF(x)f(x)dx， 则称函数 F(x) 是函数 f(x) 在区间 I 上的原函数。 一、原函数一、原函数一、原函数一、原函数 例如，在区间 (, )内，因为 (sin x)cos x， 所以 sin x是 cos x的一个原函数。 提问：提问： cos x还有其它的原函数吗？ 提示：提示： cos x的原函数还有sin xC。 两点说明：两点说明： (1)、如果F(x)是 f(x)的原函数 ，那么F(x)C 都是 f(x) 的原函数，其中 C 是任意常数。 一、原函数一、原函数一、原函数一、原函数 （2）若若和和都是都是的原函数的原函数)(xF)(xG)(xf（2）若若和和都是都是的原函数的原函数，)(xF)(xG)(xf CxGxF)()(（ 为任意常数）（ 为任意常数）C 证证 )()()()(xGxFxGxF 0)()(xfxf CxGxF)()(（ 为任意常数）（ 为任意常数）C 原函数两个问题原函数两个问题 一个函数若存在一个原函数， 则它必有无穷多个原函数。 一、原函数一、原函数 一个函数若存在一个原函数， 则它必有无穷多个原函数。 一、原函数一、原函数 原函数两个问题原函数两个问题 （a）存在问题(证明见定积分)（a）存在问题(证明见定积分) .)( ,)( 上存在原函数在区间则 上连续在区间若函数 上存在原函数在区间则 上连续在区间若函数 Ixf Ixf （b）结构问题（b）结构问题 2010-10-25 2 二、二、 不定积分不定积分二、二、 不定积分不定积分 1. 定义：定义：设I为某区间，称f (x)在I上的原函数的 全体为f (x)在I上的不定积分，记作dxxf)( (3) 任任意意 积积 被被积积 CxFdxxf )()( 被被积积 积积 注注2. 符号 差别：与 b a xxfd)( xxfd)( 注注1. (3)式中积分号下的f (x)dx, 可看作是原函数 的微分。 数一族函数 称为被积表达式。d)(xxf 意意常数常数 积积分号分号 积积函数函数 积积表达式表达式 积积分变量分变量 定理定理1. 设F(x)是f (x)在区间I上的一个原函数，则 CxFxxf )(d)( (4) 其中C为任意常数 . 称为积分常数C 二、二、 不定积分不定积分二、二、 不定积分不定积分 0 x0 y x y = F(x)+C1 y = F(x)+C2 y = F(x)+C3 y = F(x)+C4 如果 F(x)是 f(x)的一个原函数，则dxxf)( F(x)C。 所以Cxxdx sincos。 所以Cxdxx 32 3。 因为(sinx)cosx，例例1 因为(x3) 3x2，例例2 二、二、 不定积分不定积分二、二、 不定积分不定积分 当 x0)； ln(x) x 1 ， Cxdx x )ln( 1 (x0 时，解：解： y y=x2 函数f(x)的原函数的图 形称为f(x)的积分曲线。 Cxxdx 2 2 y=x2+C1 函数f(x)的积分曲线也 2、不定积分的几何意义、不定积分的几何意义 二、二、 不定积分不定积分二、二、 不定积分不定积分 -1O 1x C1 C2 y=x2+C2 C3 y=x2+C3 函数f(x)的积分曲线也 有无限多条。函数f(x)的不 定积分表示f(x)的一簇积分 曲线，而f(x)正是积分曲线 的斜率。 例例4求过点(1, 3)，且其切线斜率为2x的曲线方程。 解：解：设所求的曲线方程为 yf(x)，则 y f (x) 2x， 即f(x)是2x 的一个原函数。 y yx2+2 二、二、 不定积分不定积分二、二、 不定积分不定积分 因为所求曲线通过点(1, 3)， 故31C，C2。 于是所求曲线方程为 yx22。 2 1O 12 x 2 1 1 2 y yx2 (1, 3) 因为Cxxdx 2 2， 所以y=f(x)x2C。 例例5： xx d 2 解：解：容易看到 2 xx3)( 3 两边除以3，得 23) ( 3 1 xx 求导数的性质 y y=x2 x 二、二、 不定积分不定积分二、二、 不定积分不定积分 求导数的性质 的一个原函数。为得 23 3 1 xx ),()(xafxaf Cxxx 32 3 1 d y 3 3 1x y x 因此, 2010-10-25 3 0 1 0cos )( 2 xCx xCx xg 0 0sin )( xx xx xf设设 例例6 二、二、 不定积分不定积分二、二、 不定积分不定积分 0 2 xCx .)1, 0()()2( )()()1( 点的积分曲线过求 的不定积分吗？是问： 点的积分曲线过求 的不定积分吗？是问： xf xfxg 解解 不是！不是！ 处不连续在点因为处不连续在点因为0)( xxg (1) 的积分曲线族首先要求的积分曲线族首先要求)()2(xf 0 2 1 0cos )( 2 2 1 xCx xCx xG 上的原函数上的原函数在在是是若若 分段积分，得分段积分，得 二、二、 不定积分不定积分二、二、 不定积分不定积分 上的原函数上的原函数在在是是若若RxfxG)()( 连续在连续在0)(xxG )0()(lim)(lim 00 GxGxG xx 12 1 CC 01 2 1 0cos )( 2 xCx xCx xG 0 1cos lim)0( 0 x x G x 又又 xxGxsin)(,0 时 时当当 xxGx)(,0时时当当 二、二、 不定积分不定积分二、二、 不定积分不定积分 0 11 2 1 lim)0( 2 0 x x G x 0)0( G )()(,),()(xfxGxG且上可导在于是且上可导在于是 01 2 1 0cos )( 2 xCx xCx dxxf 01 2 1 0cos )( 2 xCx xCx xGy即即 的积分曲线族是的积分曲线族是)(xf 二、二、 不定积分不定积分二、二、 不定积分不定积分 得令得令,1)0(,0 Gx 0 C 01 2 1 0cos )( 2 xx xx xFy 点的积分曲线过是点的积分曲线过是)1, 0()(xf 三、三、 不定积分的基本性质不定积分的基本性质三、三、 不定积分的基本性质不定积分的基本性质 1) 2) xxgxxfxxgxfd)(d)(d)()( 为常数d)(d)( xxfxxf2) 为常数,d)(d)( xxfxxf dxxfkxfk )()( 2211 dxxfkdxxfk)()( 2211 线性运算性质线性运算性质 3) 4) )(d)( d d xfxxf x Cxfxx f)(d)( dxxfdxxfd)()( 三、三、 不定积分的基本性质不定积分的基本性质三、三、 不定积分的基本性质不定积分的基本性质 4) Cxfxxf)(d)( Cxfxdf)()( 不定积分与微分互为逆运算不定积分与微分互为逆运算 2010-10-25 4 例1 . d 1 132 2 x x xx 求 解) ( 1 6 52 1 132 2 除法 x x x xx 三、三、 不定积分的基本性质不定积分的基本性质三、三、 不定积分的基本性质不定积分的基本性质 x x xx x xx d) 1 6 52(d 1 132 2 x x xxxd 1 1 6d5d2 . | 1|ln65 2 Cxxx 例2 . )( )( d ba bxax x 求 解 x bxaxbabxax x d 111 )( d 三、三、 不定积分的基本性质不定积分的基本性质三、三、 不定积分的基本性质不定积分的基本性质 bxaxbabxax)( x bx x axba d 1 d 11 . ln 1 C bx ax ba 部分分式法 例3 . d sincos 2cos 22 x xx x 求 解 d sincos sincos d sincos 2cos 22 22 22 x xx xx x xx x 三、三、 不定积分的基本性质不定积分的基本性质三、三、 不定积分的基本性质不定积分的基本性质 x x x x d cos 1 d sin 1 22 . tancotCxx 例4 . d sincos 2cos 22 x xx x 求 解 x xx x x xx x d sincos4 2cos 4d sincos 2cos 2222 三、三、 不定积分的基本性质不定积分的基本性质三、三、 不定积分的基本性质不定积分的基本性质 x x x d )2(sin 2cos2 2 2 2 1 v v v . 2sin 2 C x 两个答案不同 例5 . sin1 d x x 求 解 d )sin1)(sin1 ( sin1 sin1 d x xx x x x 利用平方差公式 三、三、 不定积分的基本性质不定积分的基本性质三、三、 不定积分的基本性质不定积分的基本性质 x x xd cos sin1 2 x x x x x d cos sin d cos 1 22 . sectanCxx 想想它 是谁的 导数？ 例6 . d2 xex x 求 解C e e xexe x xxx )2ln( )(2 d)2(d2 三、三、 不定积分的基本性质不定积分的基本性质三、三、 不定积分的基本性质不定积分的基本性质 )( . 2ln1 2 C ex x aaa xx ln)( 2010-10-25 5 例7 . d | | xe x 求