第三章 积分变换法举例-5.ppt

第三章：积分变换法,深圳大学电子科学与技术学院,3.5积分变换法举例,第三章：行波法与积分变换法,一维波动方程的达朗贝尔公式三维波动方程的定解问题拉普拉斯变换法傅立叶变换法积分变换法举例,本章内容提要:,参考了顾樵教授和孙秀泉教授的课件,把函数经过积分的手段变为另一类函数:称为象函数，称为原函数，称为积分变换的核。,什么是积分变换？,(求解微分方程)原空间：常微分方程偏微分方程象空间：代数方程常微分方程求解象空间的代数方程或常微分方程，得到象函数，再将它“反演”成原函数(即为所求的解）。积分变换法在求解常微分方程和偏微分方程的定解问题中有非常广泛的应用。,什么是积分变换法？,Fourier积分变换法Laplace积分变换法混合变换法,用来解常微分方程,将未知函数的常微分方程，化成象函数的代数方程，达到消去对自变量求导运算的目的。,用来解偏微分方程,通过选取积分变换,在工程力学、电磁场理论、光学、热学、无线电学、通讯理论、微电子学、核科学与技术、地震资料数据处理等方面，均有广泛的应用。,在偏微分方程的两端，对某个变量取变换，消去未知函数对该自变量求偏导的运算，得到象函数的较为简单的微分方程。如果原来的偏微分方程只包含两个自变量，通过一次变换就能得到象函数的常微分方程。,Fourier积分变换Laplace积分变换,数学中的变换手段，旨在化繁为简.,傅里叶变换与拉普拉斯变换的最重要的用途是求解微分方程,傅里叶变换拉普拉斯变换,关于x的傅氏变换关于t的拉氏变换,关于x的傅氏反演关于t的拉氏反演,惯用表示,解：对（1）两边关于x进行傅里叶变换（将t视为参数）,（1）,例题1：无界波动方程1,（零速度的达朗贝尔公式）,反演(解1):,位移性质:,反演(解2):,例题2：无界波动方程2,解：利用傅立叶变换的性质，两边对x取变换,解：对（1）两边关于x作傅里叶变换（2）是关于t的常微分方程，两边关于t作拉普拉斯变换,（1）,（2）,例题3：有源热传导方程,拉氏反演：傅氏反演：,（查表）,现在反演：,求解常微分方程的定解问题：解：对方程两边取拉普拉斯变换，并利用初始条件：这是象函数的代数方程（初始条件已含其中）将初始条件的取值代入：,例题4：常微分方程,解出：,反演：,求解半无限长细杆热传导的定解问题：解：对(1)和(3)两边取t的拉氏变换，并利用(2)：这是象函数的常微分方程的边值问题。,(1)(2)(3)(4)(5),例题5：半无限热传导问题,(4)的通解为：自然边界条件：再利用条件（5）：反演：,(4)(5),（查表）,变量x变化范围：，原则上可以对x用拉普拉斯变换，这样(1)变成：这是关于t的常微分方程，但条件不够，无法求解。,(1)(2)(3),未知,讨论：可否对x作拉氏变换？,解：对x作付氏变换：,(3)和(4)的通解为：自然边界条件：再利用条件（4）：,（1）（2）,（3）（4）,例题6：上半平面的拉氏方程,现在反演：利用原函数：,？,一个公式：,如何给出边界函数？,求解非齐次波动方程的定解问题解：对t求拉氏变换并利用初始条件得：上式对x求傅氏变换：,例题7：非齐次波动方程,上式取非零值的条件是进行拉氏和傅氏变换的反演，结果为：,解出：,求解有界细杆热传导的定解问题：解：对(1)两边取t的拉氏变换，并利用(3)：这是象函数的常微分方程的边值问题。,(1)(2)(3)(4)(5),例题8：有界杆热传导问题,反演,变量x变化范围：，对x用傅里叶变换例如无界弦2.变量x变化范围：，对x用拉普拉斯变换例如半无界热传导3.时间变量的变化为，只能用拉普拉斯变换,傅里叶变换与拉普拉斯变换比较,1.用拉普拉斯求解常微分方程的初值问题，不需要考虑方程是否齐次，解题步骤都是一样的。象函数是代数方程（包含了初始条件），容易求解，比经典的方法（先求通解，再利用初始条件确定常数）更优越。2.用拉普拉斯求解数学物理方程的定解问题，不管方程与边界条件是否齐次，不管方程定义在无界还是有界区域（见例题6），都可以求解。对于偏微分方程,既可以对t求拉氏变换，也可以对x求拉氏变换(如果有)。,拉普拉斯变换(法)的优点,根据变量x的变换范围选择傅氏变换或拉氏变换:变换后得到象空间的常微分方程和定解条件。2.求解象空间的定解问题，得到象函数3.对象函数反演后得到原定解问题的解。,：傅氏变换：拉氏变换,时间变量t的变化范围为，只能取拉氏变换。,积分变换法