第08章+粘性流体动力学基础.ppt

1,本章主要内容：,1.导出粘性流体动力学基本微分方程，即纳维-斯托克斯（Navier-Stokes）方程,2.讨论该方程的个别精确解。用纳-斯方程求解简单的流动问题。,课堂提问：为什么河水中间速度大,而靠近岸边速度小?,第八章粘性流体动力学基础,2,与欧拉方程的推导类似，作用于流体微团上的力有：质量力、压力，粘性切应力。,取一六面体流体微团,1.流体微团上受力:,表面力：法向应力切向应力,质量力：,8-1粘性流体的运动微分方程式（NS方程）,3,下标1、2：分别为切应力的位置和切应力的方向,4,第一个下标：切应力所处的坐标面,构成点的应力张量，共有九个分量：,第二个下标：切应力的方向,九个应力分量中，六个切向应力两两相等,（81）,（82）,5,证明：取单位厚度微团,通过其形心并平行于轴线的力矩平衡关系如下:,面力是二阶小量，质量力是三阶小量,对形心取矩，忽略了质量力引起的力矩：,力矩方程为：,6,应力张量中只有六个分量是独立的。,同理可以证明另外两式成立，即,略去高阶小量后得：,（81）,7,2.N-S方程的推导,方向的平衡方程：,x,8,稍加整理，消去dxdydz得方向的方程式，,这就是应力形式的粘性流体运动微分方程,同理可得方向和方向的方程式,（8-5）,9,1.式（-）中未知函数:三个速度分量和六个应力分量；加上连续性方程，只有四个方程，方程组不封闭。,2.若要求解，需补充方程。,3.应力与变形速度之间是否有某种关系？,流体力学中实验证明，流体微团上的应力与微团的变形速度成正比。例如由最简单的牛顿平板剪流试验得知：,（-）,讨论,10,某瞬时一方形微团ABCD，经过时间dt后变为棱形ABCD，微团的剪切变形速度为:,牛顿内摩擦定律暗示着切应力与剪切变形速度成正比，比例系数为流体的粘性系数。,剪切变形速度与速度梯度联系起来了,11,把牛顿内摩擦定律推广于下图一般的平面剪切变形就有,也即,（87）,12,这就建立了切应力与速度之间的关系，即补充了三个方程。,对于理想流体，在同一点各方向的法向应力（即压力）是相等的，即=y=z=,流体微团运动中存在角变形，线变形，即在流体微团法线方向有线变形速度，它将使粘性流体中的法向应力有所改变（与理想流体相比），产生附加法向应力。,法向应力与线变形速度之关系:,13,将牛顿内摩擦定律推广，假设附加法向应力等于动力粘性系数与两倍线变形速度的乘积，得法向应力的表达式：,(-）,可见，在粘性流体中同一点任意三个互相垂直的法向应力是不相等的，它们的总和为：,14,（-）,问题：上式括号内表示什么？速度散度div(v),对于不可压缩流体，故有：,(8-10),即对于粘性不可压缩流体，三个互相垂直的法向应力的算术平均值恰好等于理想流体的压力。,15,将切向应力(8-7)和法向应力(8-8)式代入(8-5)式得,(8-11),这就是NS方程,对于不可压缩流体，上式最后一项为零。,16,（8-12）,方程的矢量形式：,17,1.方程（8-12）的求解：,2.方程（8-12）为偏微分方程，求解时应给定边界条件和初始条件。,3.物面上为无滑移条件（切向速度为零）与理想流体不同。,三个速度和压力，加上连续性方程，方程封闭。但由于数学上的困难，只有少数特殊情况下有解析解。,讨论,18,粘性不可压缩流体里流过间距为的两静止无限大平行平板。,流动状态：定常层流，无剪切，有压力差驱动。,讨论问题：决定流体的速度分布和压力分布,本问题是N-S方程的精确解之一,8-2二元平板间粘性流体的流动,O,19,在上述条件下，流动将是二元的，质量力可略去不计，方程和连续方程可简化为：,y,y,20,流速仅为的函数，与无关，即沿轴任何一横截面上，速度分布都相同。,代入()得：,将()代入()可得:,(d),（8-16）,所以,O,21,压力仅为的函数，与无关，即沿轴的任何横截面上的压力分布是均匀的，但不同截面上具有不同的压力。,将（）式代入（）式，经移项后可得,(e),考虑到（8-13）和（8-14）将偏微分改为常微分,上式左边为的函数，右边为的函数，因此两边相等的条件为两边均为常数。即,（8-17）,22,(e)式的积分结果为：,（-）,应用物面边界条件：,O,23,将上式代入（-）式可得,（8-20）,速度分布为抛物线规律，这是层流的重要特性。,轴上速度为最大值，即=0，u=umax,24,3.最大速度与平均速度的关系如何？,2.平均速度如何求？,1.已经求得速度分布，如何求流量？,4.由我们已经学到得流体力学知识，如何测量管内层流流动时横界面上最大速度？,5.由于流体有黏性，就有损失，管内流动损失表现为哪个流动参量的下降？6.这里能否根据速度分布得到压力分布？,讨论：,25,1.速度分布为抛物线,2.最大速度为平均速度的1.5倍,无限大两平行平板间不可压缩、无剪切、有压差驱动的定常层流：,4.流动损失为压力差,流量可由平均速度与过水断面面积之积得出。,结论,26,N-S方程的精确解之二,无限大平行平板，剪切流动，压力差驱动，定常层流,不可压连方程,运动方程,27,简化为,积分,运动方程,得,28,剪切流动+压差流动,下板表面切应力,上板表面切应力,29,例8-1两平行平板相距h10mm，上板相对下板以U1.5/s的速度向上运动，垂直距离为m的流层两点压力分别为:,例8-1,粘性系数和密度分别为:,试确定：1）速度和切应力分布；2）最大流速；3）上板上的切应力,30,解：1.1）速度和切应力分布；,速度分布由如下办法求得：,两平板间液体在压差和剪切联合作用下流动，速度方向与压差方向相反。平板间流动的速度分布为(x轴重合于下板，向上）：,粘性剪切，压差，重力作用下,定常二元N-S方程简化为：,x,y,2,1,31,连续性方程(3)化简为：,y,y,y,32,由(1)有,所以,两次积分得,积分常数由如下边界条件确定,y,y,33,-,+,34,所以,1.2）由/可得切应力分布:,