2012年福建高考理科数学试卷及答案解析

2012年普通高等学校暑期招生全国统考数学理工农医类(福建卷)本答案分为第I卷(选择项)和第ii卷(非选择项)两部分。 理科：第ii卷第21卷为选修课，其他为必考课，满分为150分第I卷一、选题：(理科)本大题共10小题，每小题5分，共50分。 每小题给出的四个选项中，只有一个满足主题的要求.(文科)本大题共12小题，每小题5分，合计60分。 每个小题目给出的4个选项中，只有一个满足了主题的要求。1 .如果多个z满足zi=1-i，则z等于()A.-1-i B.1-i C.-1 i D.1 iA.3 4i B.5 4i C.3 2i D.5 2i2 .在等差数列an中，在a1 a5=10、a4=7的情况下，数列an的公差为()A.1 B.2 C.3 D.43 .在下列命题中，真命题是()A.x0RB.xR，2xx2C.a b=0的充分条件是D.a1，b1是ab1的充分条件4 .如果一个几何图形的三个视图具有相同的形状和相等的大小，则该几何图形不能为()a .球b .三角锥c .立方体d .圆柱5 .以下不等式必定成立的是()A.lg(x2 )lg x(x0)B.sinx 2(xk，kZ )C.x2 12|x|(xR )D.(xR )6 .如图所示，若在边长为1的正方形OABC中取点p，则点p正好来自影部分的概率为()A. B. C. D7 .设定函数后，下列结论错误的是()A.D(x )的值域中 0，1 b.d (x )为偶函数C.D(x )不是周期函数D.D(x )不是单调函数8 .如果已知双曲线的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重叠，则从该双曲线的焦点到渐近线的距离等于()A. B. C.3 D.59 .当函数y=2x图像上的点(x，y )满足约束时，实数m的最大值为()A. B.1 C. D.210 .函数f(x )在a，b中定义，对于任何x1，x2a，b，其中f(x )在a，b中具有性质p。 假设f(x )在 1，3 中具有性质p，则表示如下命题f(x )的 1，3 上的图像是连续的f(x2 )在1，中具有性质p当f(x )取x=2且最大值为1时，f(x)=1，x 1，3 ；对于任意x1、x2、x3、x4 1，3 ，有f(x1) f(x2) f(x3) f(x4) .其中真命题的编号为()A. B. C. D.第ii卷填空题：(理科)本大题目共5小题目，每小题目4分，共计20分，将答案填入解答卡的相应部位。(文科)本大题目共4小题目，每小题目4分，共计16分，将答案填入解答卡的相应部位。11 .如果(a x ) 4的展开方程式中x3的系数为8，则实数a=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _12 .当读取右图中示出的程序的框图并且执行相应的程序时，输出的s值等于_13 .众所周知，ABC的三边生长为公比的等比数列，其最大角的馀弦值为_14 .如果数列an的通知方式、最初的n项和是Sn，则s 2012=_ _ _ _ _ _ _ _ _15 .对于实数a和b，定义运算“*”假设f(x)=(2x-1)*(x-1 )且x方程f(x)=m(mR )具有恰好三个彼此不同的实数根x1、x2、x3，则x1x2x3的可取值的范围为_ .三、答题：(理科)本大题目共6小题目，共80分.答案应写文字说明、证明过程、演算顺序.(文科)本大题目共6小题目，共74分.答案应写文字说明、证明过程、演算顺序.16 .受汽车保修期内修理费等影响，企业生产汽车的利润与该汽车首次故障的时间有关。 某汽车厂家生产甲、乙两种品牌汽车，保修期均为2年。 目前，从该厂销售的两种品牌汽车中分别随机抽取50辆，统计数据如下品牌甲乙第一次出故障了时间x (年)0x11202小汽车的数量2345545每辆的利润(万元)1231.82.9将频率视为概率并回答以下问题(一)从该厂生产的甲牌轿车中随机抽取一辆，首次计算故障在保修期内发生的概率(2)该工厂生产的轿车可以销售时，将生产甲牌轿车的利润设为X1，将生产乙牌轿车的利润设为X2，分别求出X1、X2的分布列(3)该厂预计今后这两个品牌轿车的销售量将相当大，由于资金限制，只能生产一个品牌轿车。 从经济效益角度来说明你认为应该生产什么牌子的轿车17 .有学生在研究性学习中发现，以下五个公式的值都等于常数sin213 cos217-sin13cos17；sin215 cos215-sin15cos15；sin218 cos212-sin18cos12；sin2(-18) cos248-sin(-18)cos48；sin2(-25) cos255-sin(-25)cos55。(1)从上述5个式子中选择一个，试着求出该常数根据(2)(1)的计算结果，将该同学的发现推广到三角恒等式，证明你的结论18 .如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=AD=1，e是CD中点.(1)求证： B1EAD1(2)棱AA1上存在点p，还是DP平面B1AE？ 如果存在，求AP的长度如果不存在，说明理由(3)在二面角A-B1E-A1的大小为30的情况下，求出AB的长度.19 .如图所示，设椭圆E:(ab0)左焦点为F1、右焦点为F2、离心率为F1时，超过F1的直线与a、b这两点相交，bfb2的周长为8 .(1)求椭圆e的方程式(2)直线l:y=kx m和椭圆e只有一个共同点p，试着设定成直线x=4和点q相交。 坐标平面内是否存在点m，以PQ为直径圆是否使点m一定，如果存在，求出点m的坐标，如果不存在，就说明理由20 .已知函数f(x)=ex ax2-ex，aR(1)如果曲线y=f(x )的交点(1，f(1) )处的切线平行于x轴，则求出函数f(x )的单调区间(2)在曲线y=f(x )上存在唯一的点p，以该点的曲线的切线和曲线只有一个共同点p的方式，试着决定a的值的范围。21. (1)选矿4-2 :矩阵和变换曲线2x2 2xy y2=1通过与矩阵(a0)对应的变换作用得到的曲线设为x2 y2=1。求实数a、b的值求a 2的逆矩阵(2)选矿4-4 :坐标系和参数方程已知在平面正交坐标系中，以坐标原点o为极、以x轴正半轴为极轴确立极坐标系，直线l上的2点m、n的极坐标分别为(2，0 )、圆c的参数方程式为(为参数) .将p作为线段MN的中点，求出直线OP的平面直角坐标方程式判断直线l和圆c的位置关系。(3)选择4-5 :不等式选择已知函数f(x)=m-|x-2|，mR，f(x 2)0的解集为-1，1 .求出m的值如果a，b，cR，并且，求证书： a 2b 3c922.(句子)已知函数f(x)=axsinx-(aR )，在0，中的最大值为.(1)求函数f(x )的解析表达式(2)判定并证明函数f(x )的(0，)内的零点的个数.2012年普通高等学校暑期招生全国统考数学理工农医类(福建卷)的答案详细解说1. A由zi=1-i得到2. B a1 a5=10=2a3因此，d=a4-a3=7-5=2.b10，b10， 从不等式的性质看ab1即，a1，b1ab1.4. D 圆柱的三面图有两个矩形和一个圆该几何体不能是圆柱体5.cx2 12|x|x2-2|x| 10x0时，x2-2|x| 1=x2-2x 1=(x-1)20成立在x0情况下，x2-2|x| 1=x2 2x 1=(x 1)20成立.x2 12|x|(xR )必须成立6 .根据c -图像可知阴影部分的面积，是因为求出的概率为7. C D(x )是最小正周期不确定的周期函数D(x )不是周期函数而是错误的8 .由于a双曲线的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重叠，c2=9=4 b2，b2=5，因此该双曲线的渐近线的方程式即从该双曲线的焦点到该渐近线的距离为9 .图中显示了b约束所创建的其可能域由图可知，直线x=m通过函数y=2x图像与直线x y-3=0的交点p时，取最大值，即2x=3-x，即x=1=m .10. D 如图1所示图1区间 1，3 中f(x )具有性质p，但由于是间断的，所以是错误的。可以设为f(x)=|x-2|(图2 )，在x 1，3 时容易理解具有性质p，但没有f(x2)=|x2-2|=性质p (图3 ) .事故错误图2图3任意取x0 1，3 ，则为4-x0 1，3 1=f(2)=f(x0) f(4-x0)。f(x0)=1，f(4-x0)1f (x0) f (4- x0) 1 .f(x0)=f(4-x0)=1.因此是正确的因为f (x1) f (x2) f (x3) f (x4)，所以是正确.11 .答案： 2分析：Tr 1=arx4-r， 4-r=3，即r=1时，T2=ax3=4ax3=8x3.因此a=212 .答案：-3分析： (1) k=1，1 4，s=21-1=1；(2) k=2，2 4，s=21-2=0；(3) k=3，3 0)，其馀两边长为2a，因此最大角的馀弦值为14 .答案：3 018分析：函数的周期可用的组加法：a1 a5 a2 009=；a2a 6a 2010=(-21) (-61)(-20101)=-1-5 - 2009=-5031005；a3 a7 a 2 011=；a4a 8a 2012=(4-1) (8-1)(2012-1 )=5031009；因此S2 012=503-5031 005 503 5031 009=503(1-1 005 1 1 009)=3 018。15 .答案：(，0 )分析：从已知如果生成了这个图像，如果合并了这个图像，m的可能值的范围是00，则-x2 x=m，即x2-x m=0x1x2=m。xE(X2 )，必须生产甲牌轿车17 .解：方法1 :选择(1)式，计算如下sin 215 cos 215-sin 15 cos 15=1- sin 30=(2)三角常数式为sin2 cos2(30-)-sincos(30-)=证书如下：sin2 cos2(30-)-sincos(30-)=sin 2(cos 30 cossin 30 sin)2- sin(cos 30 cossin 30 sin)=sin 2cos 2sincossin 2- sincos- sin 2=sin2 cos2=.方法2:(1)同样的方法1(2)三角常数式为sin2 cos2(30-)-sincos(30-)=证书如下：sin2 cos2(30-)-sincos(30-)=-sin(cos30cos sin30sin)=-cos2(COC s60 cos 2sin 60s in 2)-sincos- sin 2=-cos2cos2 sin2-sin2-(1-cos2)=.18 .解： (1)将以a为原点的方向分别作为x轴、y轴、z轴的正方向，制作空间正交坐标系(参照图).若设AB=a，则a (0，0，0 )、d (0，1，0 )、d1(0，1，1 )、e (，1，0 )、B1(a，0，1 )，因此=(0，1，1 )，=(，1，-1)，=(a，0，1 )，=(，1，0 ) .=0 11 (-1)1=0B1EAD1 .(2)假设棱AA1上存在点p (0，0，z0)设为DP平面B1AE .此时=(0，-1，z0)设平面B1AE法线向量n=(x，y，z )。n平面B1AEn、n、得到如果x=1，则得到平面B1AE的一个法线向量n=(1，-a ) .要设为DP平面B1AE，需要n、有-az0=0、解另外，在不存在DP平面B1AE、|点p而满足DP平面B1AE情况下(3)连接a1d、B1C，从长方