2014年全国初中数学联合竞赛试题及详解

2014年全国初中数学联合竞赛试题及详解第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1已知为整数，且满足，则的可能的值有（ ）A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个【答】 C.由已知等式得，显然均不为0，所以0或.若，则.又为整数，可求得或所以或.因此，的可能的值有3个.2已知非负实数满足，则的最大值为 （ ）A B C D【答】 A.，易知：当，时，取得最大值.3在中，为的中点，于，交于，已知，则 （ ）A B C D【答】 B.因为，所以四点共圆，所以，又，所以，所以.又易知，所以，从而可得.46张不同的卡片上分别写有数字2，2，4，4，6，6，从中取出3张，则这3张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的概率是 （ ）A B C D【答】 B.若取出的3张卡片上的数字互不相同，有2228种取法；若取出的3张卡片上的数字有相同的，有3412种取法.所以，从6张不同的卡片中取出3张，共有81220种取法.要使得三个数字可以构成三角形的三边长，只可能是：（2，4，4），（4，4，6），（2，6，6），（4，6，6），由于不同的卡片上所写数字有重复，所以，取出的3张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的情况共有428种.因此，所求概率为.5设表示不超过实数的最大整数，令.已知实数满足，则 （ ）A B C D1【答】 D.设，则，所以，因式分解得，所以.由解得，显然，所以1.6在中，在上，在上，使得为等腰直角三角形, ,则的长为 （ ）AB C D【答】 A.过作于，易知，.设，则，故，即.又，故可得.故.二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1已知实数满足，则_【答】 0.由题意知，所以整理得，所以0.2使得不等式对唯一的整数成立的最大正整数为 【答】144.由条件得，由的唯一性，得且，所以，所以.当时，由可得，可取唯一整数值127.故满足条件的正整数的最大值为144.3已知为等腰内一点，为的中点，与交于点，如果点为的内心，则 【答】.由题意可得，而，所以，从而可得.又，所以，从而.所以， ，所以.4已知正整数满足:，则 【答】36.设的最大公约数为，均为正整数且，则，所以，从而，设（为正整数），则有，而，所以均为完全平方数，设，则，均为正整数，且，.又，故，即.注意到，所以或.若，则，验算可知只有满足等式，此时，不符合题意，故舍去.若，则，验算可知只有满足等式，此时，符合题意.因此，所求的.第二试 （A）一、（本题满分20分）设实数满足，求的值解 由已知条件可得，.设，则有， 5分联立解得或. 10分若，即，则是一元二次方程的两根，但这个方程的判别式，没有实数根； 15分若，即，则是一元二次方程的两根，这个方程的判别式，它有实数根.所以. 20分二（本题满分25分）如图，已知为的外心，为的外接圆上一点，过点作直线的垂线，垂足为.若，求.解 延长交于点，延长交于点，由题意得，所以为的平分线. 5分又点在的半径上，点、在上，所以点、关于直线对称，. 10分延长交于点，因为为圆心，所以点、关于直线对称，.因此. 15分又，所以，所以，. 20分因此， ，即，所以. 25分三（本题满分25分）设是整数，如果存在整数满足，则称具有性质.（1）试判断1，2，3是否具有性质；（2）在1，2，3，2013，2014这2014个连续整数中，不具有性质的数有多少个？解 取，可得，所以1具有性质；取，可得，所以2具有性质；5分若3具有性质，则存在整数使得，从而可得，故，于是有，即，这是不可能的，所以3不具有性质. 10分（2）记，则.即 15分不妨设，如果，即，则有；如果，即，则有；如果，即，则有；由此可知，形如或或（为整数）的数都具有性质.20分又若，则，从而，进而可知.综合可知：当且仅当或（为整数）时，整数不具有性质.又201492237，所以，在1，2，3，2013，2014这2014个连续整数中，不具有性质的数共有2242448个. 25分第二试 （B）一（本题满分20分）同（A）卷第一题.二（本题满分25分）如图，在平行四边形中，为对角线上一点，且满足, 的延长线与的外接圆交于点. 证明：证明 由是平行四边形及已知条件知.5分又A、B、F、 D四点共圆，所以，所以， 15分所以. 20分又，所以，故. 25分三（本题满分25分）设是整数，如果存在整数满足，则称具有性质.在1，5，2013，2014这四个数中，哪些数具有性质，哪些数不具有性质？并说明理由.解 取，可得，所以1具有性质.取，可得，所以5具有性质.5分为了一般地判断哪些数具有性质，记，则.即 10分不妨设，如果，即，则有；如果，即，则有；如果，即，则有；由此可知，形如或或（为整数）的数都具有性质.因此，1，5和2014都