2015-2016学年贵州省贵阳市高一(下)期末数学试卷

2015-2016学年贵州省贵阳市高一（下）期末数学试卷一、选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题有四个选项，其中只有一个选项正确，请将你认为正确的选项填在答题卷相应的位置上）1（4分）过点A（2，1）且斜率为1的直线方程是（）Axy1=0Bxy3=0Cx+y3=0Dx+y1=02（4分）观察下列数列的特点：1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，其中第20项是（）A5B6C7D103（4分）在空间直角坐标系中，点（2，1，4）关于xOy平面对称点的坐标为（）A（2，1，4）B（2，1，4）C（2，1，4）D（2，1，4）4（4分）下列命题中正确的是（）A若ab，则ac2bc2B若ab，则a2b2C若ab，cd，则acbdD若ab，cd，则acbd5（4分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（）A1B2C3D66（4分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A=60，a=4，b=4，则B等于（）A30B45C60D1357（4分）某工厂近5年内生产总值从a元开始以每年比上年产值增加10%，则这个厂近5年内的总产值为（）A1.14aB1.15aC10a（1.161）D10a（1.151）8（4分）设a0，b0若是3a与3b的等比中项，则+的最小值为（）A4B6C2D29（4分）已知m，n是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A若m，n，则mnB若，则C若m，m，则D若m，n，则mn10（4分）设mR，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mxym+3=0交于点P（x，y），则|PA|PB|的最大值是（）A4B5C6D8二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分）11（4分）不等式x2+x20的解集为 12（4分）一个棱长为2cm的正方体的顶点都在球面上，则该球的表面积是 13（4分）已知公差不为0的等差数列an满足：a1=2，且a1、a2、a5成等比数列，则数列an的通项公式是 14（4分）已知直线l经过点（1，3），且与圆x2+y2=1相切，直线l的方程为 15（4分）将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角ABDC，有如下四个结论：ACBD； ACD是等边三角形；AB与平面BCD成60的角；AB与CD所成的角为60；其中正确结论是 （写出所有正确结论的序号）三、解答题（本大题共5小题，每小题8分，满分40分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16（8分）已知在等差数列an中，a4=7，a2+a7=16（1）求数列an的通项公式；（2）设bn=+n，求数列bn的前n项和Tn的表达式17（8分）在锐角ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且c=2asinC，（1）求角A；（2）若a=2，且ABC的面积等于，求b，c18（8分）一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲、乙两种肥料所需要的主要原料磷酸盐、硝酸盐如表，已知现库存磷酸盐10t、硝酸盐66t，在此基础上生产这两种混合肥料，设x，y分别为计划生产甲、乙两种混合肥料的车皮数 磷酸盐（t）硝酸盐（t）生产1车皮甲种肥料418生产1车皮乙种肥料115（1）列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；（2）若生产1车皮甲种肥料，产生的利润为1万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为0.5万，那么分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？最大利润是多少？19（8分）如图，在四棱锥PABCD中，底图ABCD是正方形，PD平面ABCD，E是PC的中点（1）证明：PA平面BDE；（2）若PD=DC=2，求三棱锥PEDB的体积20（8分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在x轴上、半径为2的圆C位于y轴右侧，且与直线相切（1）求圆C的方程；（2）在圆C上，是否存在点M（m，n），使得直线l：mx+ny=1与圆O：x2+y2=1相交于不同的两点A，B，且OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的OAB的面积；若不存在，请说明理由2015-2016学年贵州省贵阳市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题有四个选项，其中只有一个选项正确，请将你认为正确的选项填在答题卷相应的位置上）1（4分）过点A（2，1）且斜率为1的直线方程是（）Axy1=0Bxy3=0Cx+y3=0Dx+y1=0【解答】解：过点（2，1）且斜率为1的直线方程为：y1=x2，整理，得xy1=0，故选：A2（4分）观察下列数列的特点：1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，其中第20项是（）A5B6C7D10【解答】解：数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，的特点是1有1个，2有2个，3有3个，n有n个则数列一共有项，20，解得n5当n=5时，数列一共有15项，而当n=6时，有6项，则第20项为6，故选：B3（4分）在空间直角坐标系中，点（2，1，4）关于xOy平面对称点的坐标为（）A（2，1，4）B（2，1，4）C（2，1，4）D（2，1，4）【解答】解：点关于xOy平面对称点的坐标满足x，y不变，z相反，即点（2，1，4）关于xOy平面对称点的坐标为（2，1，4），故选：C4（4分）下列命题中正确的是（）A若ab，则ac2bc2B若ab，则a2b2C若ab，cd，则acbdD若ab，cd，则acbd【解答】解：对与A，当c=0时，不成立，对于B：当a=1，b=2时不成立，对于C：当a0，b，c，d0时，不成立，对于D：若ab，cd，则cd，则acbd，故成立，故选：D5（4分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（）A1B2C3D6【解答】解：根据三视图可知几何体是以左视图为底面，高为3的直三棱柱，该多面体的体积为=3，故选：C6（4分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A=60，a=4，b=4，则B等于（）A30B45C60D135【解答】解：由正弦定理可得：=，解得sinB=，ba，B为锐角，B=45故选：B7（4分）某工厂近5年内生产总值从a元开始以每年比上年产值增加10%，则这个厂近5年内的总产值为（）A1.14aB1.15aC10a（1.161）D10a（1.151）【解答】解：某工厂近5年内生产总值从a元开始以每年比上年产值增加10%，这个厂近5年内年产值构成一个首项为a，公比为1.1的等比数列，这个厂近5年内的总产值为：S=10a（1.151）故选：D8（4分）设a0，b0若是3a与3b的等比中项，则+的最小值为（）A4B6C2D2【解答】解：a0，b0，是3a与3b的等比中项，3=3a3b=3a+b，a+b=1，+=（+）（a+b）=2+2+2=4，当且仅当=即a=b=时取等号，故选：A9（4分）已知m，n是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A若m，n，则mnB若，则C若m，m，则D若m，n，则mn【解答】解：A、m，n平行于同一个平面，故m，n可能相交，可能平行，也可能是异面直线，故A错误；B、， 垂直于同一个平面，故， 可能相交，可能平行，故B错误；C、，平行与同一条直线m，故， 可能相交，可能平行，故C错误；D、垂直于同一个平面的两条直线平行，故D正确故选：D10（4分）设mR，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mxym+3=0交于点P（x，y），则|PA|PB|的最大值是（）A4B5C6D8【解答】解：由题意可知，动直线x+my=0经过定点A（0，0），动直线mxym+3=0即 m（x1）y+3=0，经过点定点B（1，3），注意到动直线x+my=0和动直线mxym+3=0始终垂直，P又是两条直线的交点，则有PAPB，|PA|2+|PB|2=|AB|2=10故|PA|PB|=5（当且仅当|PA|=|PB|=时取“=”）故选：B二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分）11（4分）不等式x2+x20的解集为（2，1）【解答】解：方程x2+x2=0的两根为2，1，且函数y=x2+x2的图象开口向上，所以不等式x2+x20的解集为（2，1）故答案为：（2，1）12（4分）一个棱长为2cm的正方体的顶点都在球面上，则该球的表面积是12cm2【解答】解：正方体的棱长为：2cm，正方体的体对角线的长为：2cm，就是球的直径，球的表面积为：S2=4（）2=12cm2故答案为：12cm213（4分）已知公差不为0的等差数列an满足：a1=2，且a1、a2、a5成等比数列，则数列an的通项公式是an=4n2【解答】解：设等差数列an的公差为d0，a1=2，且a1、a2、a5成等比数列，则=a1a5，（2+d）2=2（2+4d），解得d=4an=2+4（n1）=4n2故答案为：an=4n214（4分）已知直线l经过点（1，3），且与圆x2+y2=1相切，直线l的方程为x=1或4x3y+5=0【解答】解：设切线方程为y3=k（x1），即kxy+3k=0由于直线与圆相切，故圆心到直线的距离等于半径，即=1，解得k=，其方程为4x3y+5=0又当斜率不存在时，切线方程为x=1，综上所述，直线l的方程为x=1或4x3y+5=0故答案为：x=1或4x3y+5=015（4分）将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角ABDC，有如下四个结论：ACBD； ACD是等边三角形；AB与平面BCD成60的角； AB与CD所成的角为60；其中正确结论是（写出所有正确结论的序号）【解答】解：作出如图的图象，其中ABDC=90，E是BD的中点，可以证明出AED=90即为此直二面角的平面角对于命题，由于BD面AEC，故ACBD，此命题正确；对于命题，在等腰直角三角形AEC中可以解出AC等于正方形的边长，故ACD是等边三角形，此命题正确；对于命题AB与平面BCD所成的线面角的平面角是ABE=45，故AB与平面BCD成60的角不正确；对于命题可取AD中点F，AC的中点H，连接EF，EH，FH，由于EF，FH是中位线，可证得其长度为正方形边长的一半，而EH是直角三角形的中线，其长度是AC的一半即正方形边长的一半，故EFH是等边三角形，由此即可证得AB与CD所成的角为60；综上知是正确的故答案为三、解答题（本大题共5小题，每小题8分，满分40分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16（8分）已知在等差数列an中，a4=7，a2+a7=16（1）求数列an的通项公式；（2）设bn=+n，求数列bn的前n项和Tn的表达式【解答】解：（1）设等差数列an的首项为a1，公差为d，由a4=7，a2+a7=16得，得a1=1，d=2，则an=1+2（n1）=2n1（2）bn=+n=22n1+n，则数列bn的前n项和Tn=（21+23+22n1）+（1+2+n）=+=（4n1）+17（8分）在锐角ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且c=2asinC，（1）求角A；（2）若a=2，且ABC的面积等于，求b，c【解答】（本题满分为12分）解：（1）在ABC中，c=2asinC由正弦定理可得：sinC=2sinAsinC，（3分）又sinC0，sinA=，A为锐角，可得A=，（6分）（2）由余弦定理a2=b2+c22bccosA，又a=2，A=，可得：4=b2+c2bc=（b+c）23bc，又ABC的面积=bcsinA=bc，解得：bc=4，由可解得：b=c=2（12分）18（8分）一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲、乙两种肥料所需要的主要原料磷酸盐、硝酸盐如表，已知现库存磷酸盐10t、硝酸盐66t，在此基础上生产这两种混合肥料，设x，y分别为计划生产甲、乙两种混合肥料的车皮数 磷酸盐（t）硝酸盐（t）生产1车皮甲种肥料418生产1车皮乙种肥料115（1）列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；（2）若生产1车皮甲种肥料，产生的利润为1万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为0.5万，那么分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？最大利润是多少？【解答】解：（1）x，y满足的线性约束条件为，可行域如图（2）设生产甲肥料x车皮，乙种肥料y车皮，能够产生最大的利润，则目标函数为z=x+y，即y=2x+2z平移直线y=2x+2z由图可知当直线y=2x+2z经过可行域上的点M时，截距z最大，解方程组，此时z=2+2=2+1=3，所以zmx=3答：分别生产甲、乙两种肥料各2车皮，能够产生最大的利润，最大的利润为3万元19（8分）如图，在四棱锥PABCD中，底图ABCD是正方形，PD平面ABCD，E是PC的中点（1）证明：PA平面BDE；（2）若PD=DC=2，求三棱锥PEDB的体积【解答】证明：（1）连接AC，设AC，BD的交点为O，连OE，由O，E分别为AC，CP中点，OEPA又OE平面EDB，PA平面EDB，PA平面EDB（2）PD平面ABCD，CD平面平面ABCD，PDDC，E是PC的中点，且PD=DC=2，SPDE=SPDC=，PD平面ABCD，AD平面平面ABCD，PDAD，ADCD，PDCD=D，AD平面PDC，BCADBC平面PDC，则VPEDB=VBPDE=SPDE|BC|=20（8分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在x轴上、半径为2的圆C位于y轴右侧，且与直线相切（1）求圆C的方