2.1解析函数的概念与柯西黎曼方程ppt课件

.,复变函数论,湖南第一师范学院数理系,Functionsofonecomplexvariable,.,第二章解析函数,1.解析函数的概念与柯西黎曼方程,2.初等解析函数,3.初等多值函数,.,1.解析函数的概念与柯西-黎曼方程,1.复变函数的导数与微分,设函数w=f(z)定义域区域D,z0为D中的一点，点z0+z不出D的范围.,那么就称函数w=f(z)在z0可导，这个极限值称为f(z)在z0的导数值.记作,.,在定义中应注意:,即z0+z在区域D内以任何方式趋于z0时，比值,都趋于同一个常数.,如果函数w=f(z)在区域D内处处可导,我们就称f(z)在区域D内可导.,.,例1求函数f(z)=z2的导数.,解,.,解,例2讨论f(z)=Imz的可导性.,.,当点沿不同的方向使z0时，极限值不同.,故f(z)=Imz在复平面上处处不可导.,.,2可导与连续,函数f(z)在z0处可导则在z0处一定连续,但函数f(z)在z0处连续不一定在z0处可导.,证,使得当时有,由在z0处可导的定义，,.,则,因为,所以,即函数f(z)在z0处一定连续.,令,.,3.求导法则:,由于复变函数中导数的定义与一元实变函数中导数的定义在形式上完全一致,并且复变函数中的极限运算法则也和实变函数中一样,因而实变函数中的求导法则都可以不加更改地推广到复变函数中来,且证明方法也是相同的.,(c为复常数).,.,.,4.微分的概念:,复变函数微分的概念在形式上与一元实变函数的微分概念完全一致.,定义设函数f(z)在z0可导，则,线性主要部分叫做f(z)在z0处的微分，记作,.,特别地,当f(z)=z时，,函数w=f(z)在z0可导与在z0可微是等价的.,如果函数w=f(z)在区域D内处处可微,我们就称f(z)在区域D内可微.,.,2.解析函数的概念,定义如果函数f(z)在z0及z0的邻域内处处可导，那么称f(z)在z0解析.点z0叫做f(z)的解析点.,如果函数f(z)在区域D内处处解析,我们就称f(z)在区域D内解析.或称f(z)是区域D内的解析函数(全纯函数、正则函数).,一个解析函数的所有解析点的集合是一个开集.,.,根据定义可知:,函数在区域内解析与在区域内可导是等价的.,但是,函数在一点处解析与在一点处可导是不等价的概念.即函数在一点处可导,不一定在该点处解析.,函数在一点处解析比在该点处可导的要求要高得多.,定义如果函数f(z)在z0不解析，但在z0的任意邻域内总有解析点，那么称点z0为f(z)的奇点.,.,解,由例1和例2知:,例3讨论函数f(z)=z2、g(z)=Imz、h(z)=|z|2的解析性.,函数f(z)=z2在复平面上处处解析.,函数g(z)=Imz在复平面上处处不解析.,.,令z0+z沿直线y-y0=k(x-x0)趋向于z0,时，,时，,.,不趋向于一个固定的常数，,这时不存在，,因此h(z)=|z|2仅在一点z=0处可导，,从而在复平面上处处不解析.,.,解,所以该函数在复平面上除z=0外处处解析，z=0是它的奇点.,.,3.Cauchy-Riemann方程：,.,证明(必要性)：,设f(z)在z=x+iy处可导，记,由导数定义可得,.,证明(充分性):,所以,即f(z)在z=x+iy处可导.,.,和数学分析中的结论不同，此定理表明解析函数(可导函数)的实部和虚部不是完全独立的，它们是柯西-黎曼方程的一组解；,柯西-黎曼条件是复变函数解析的必要条件而非充分条件（见反例）；,解析函数的导数有更简洁的形式：,.,复变函数的解析条件,1.实部u(x,y)和虚部v(x,y)在区域D内处处可微；,定理2.4函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内解析的充要条件为,2.实部u(x,y)和虚部v(x,y)在区域D满足柯西-黎曼方程,.,反例：定义u(x,y)、v(x,y)如下：,令f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，则在点z=0满足:,但u(x,y)与v(x,y)在点z=0不连续，故f(z)在点z=0不连续，从而不可导.,.,.,例1讨论下列函数的可导性和解析性:,所以