f---第六章-定积分的应用-郭长河

第六章 定积分应用第二节 定积分在几何学上的应用1 填空题。（1）由曲线y=与y=x+2所围平面图形的面积为 。（2） 由曲线y=x, x=2与x轴所围平面图形的面积为 。（3）由双纽线所围平面图形的面积为 1 。（4）由摆线的一拱与x轴所围平面图形的面积为 。（5）抛物线及其点和处的切线所围平面图形的面积为 。（6）求心形线的全长为 。2 求曲线在区间(2,6)内的一条切线，使得该切线与x=2和x=6及曲线所围成的平面图形的面积最小，并求此最小面积。解：设切点为切线 由 得 ： .3求由曲线绕y=2旋转一周所成旋转体的体积。 解： 综合练习题1 过点P(1,0)作抛物线的切线，该切线与上述抛物线及x轴所围成一平面图形，求此图形的面积及绕x轴旋转一周所成旋转体的体积。2 设有一底半径为R的圆柱，被一与圆柱的底交成角且过底的直径的平面所截，求截下的几何体的体积。3 在摆线上求分摆线第一拱弧长成1：3的点的坐标。4 证明：由平面图形绕y轴旋转一周所成旋转体的体积为，并利用此公式求由 与x轴所围平面图形绕y轴旋转一周所成旋转体的体积。答案：1解：设切点为 切线为：2解：=3解：设分点为，对应的参数为, , 4证明：第三节 定积分在物理上的应用1一物体按规律作直线运动，媒质的阻与速度的平方成正比（比例系数为），计算物体由移至时，克服媒质阻力所作的功。解 速度为 3,阻力为而，所以，功元素 所求的功为 .2.在一倒立的等腰三角形水槽（）内装满水,若将水槽内的水全部吸尽, 问要做多少功？解 由水槽的可得高为2. 取坐标系如图，A、B两点的坐标分别为（）、（0，1），过A、B两点的直线方程为），功元素，所求的功为 3有一半径为1m的圆形薄板,垂直放在水中,圆板的圆心与水平面的距离为2m,求圆板一侧所受的水压力.解 取坐标系如图，压力元素为 所求的压力为 4.设有线密度为常数,半径为R的小圆环,一质量为m的质点P位于过圆环中心的垂直线上,且离中心的距离为a,求圆环对质点的引力. 解 取坐标系如图，由对称性可知, 引力在轴方向、轴方向上的分量为零,引力元素为 ,在轴方向上的分量为 ， . 综 合 练 习 题 1用铁锤将一铁钉击入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉击入木板的深度成正比，在击打第一次时，将铁钉击入木板1cm，如果铁锤每次打击铁钉时所做的功相等，问铁锤击打第二次时，铁钉又击入多少？解 设木板对铁钉的阻力为R，则铁钉击入木板的深度为时的阻力为R=，其中为常数.铁锤击第一次时所做的功为，设铁锤击第二次时，铁钉又击入，则铁锤击第二次所做的功为，由第六章 测试题1 填空题（1）由与直线x=2及y=x所围图形的面积为 。（2）由所围图形绕y轴旋转一周所成旋转体的体积 。（3）曲线上相应于的一段弧的长度为 。（4）函数在0，2上的平均值为 。2 星形线方程为 ，求：（1）它所围图形面积；（2）它的周长；（3）它所围平面图形绕x轴旋转一周所成旋转体的体积。解：（1） （2） （3） 3 已知曲线与曲线在点处有公共切线，求：（1）常数及切点；（2）两曲线与x轴所围平面图形绕x轴旋转一周所成旋转体的体积V。解：（1） (2) 交点 4有一立体,它的下底是xOy平面上由曲线和直线所围成的区域,它的每个垂直于x轴的横截面是直径在下底上的半圆,试求该立体的体积。 解： 5 腰三角形薄片，垂直的沉入水中，其底与水面齐，已知薄片的底为2b,高为h.。试求：（1）计算薄片的一侧所受的水压力；（2）如果翻转薄片，使得其顶点与水面齐，而底平行与水面，问水压力又如何？解：（1）BC方程：（2）OB方程： 6 有一长为的细