“钟面角”问题

数学实验钟面角摘要：“钟面角”是指时针与分针在某一时刻所成的夹角，通常情况下特指的那个角.日常生活中，我们几乎每天都要看钟表，然而随着电子表的流行，我们对钟表表面上的时针、分针、秒针之间的夹角问题可能并没有在意.其实钟面角中蕴含着丰富的数学知识，我们一起来探究一下“钟面角”问题吧.关键字：钟面角公式 求法 追及问题一、与钟面有关的知识我们通常把研究时钟上时针与分针的问题称为时钟问题，其中包括时钟的快慢、时钟的周期、时钟上时针与分针所成的角度等等，这里我们重点探究“钟面角”问题.要分析钟面角，我们首先要结合其图形特点，寻找并发现它们的变化规律.（1）钟表的表面特点：大多数的钟表表面是一个圆，共有12格，每个大格间又有5个小格.圆形的表面恰好对应着一个360的周角，每个大格对应30角，而每个小格对应6角.时钟表面一般有时针、分针、秒针三根指针.（2）钟表时针、分针、秒针的转动情况：时针每12小时转1周，每小时转1大格，每12分钟转1小格；分针每小时转1周，每5分钟转1大格，每1分钟转1小格；秒针每1分钟转1周，每5秒转1大格，每1秒转1小格.(3)时针、分针、秒针的转速：时针的转速为：30/小时或0.5/分钟；分针的转速为：6/分钟或0.1/秒；秒针的转速为 ：6/秒.二、建立求“钟面角”的数学模型1.计算从某一时刻到另一时刻，时针（分针）转过的度数（1）公式法：指针转过的度数=指针转动的时间指针的速度；（2）观察法：从某一时刻指针转过了大格小格，则指针转过的度数为：.例1.从2点10分到2点20分，时针转过_度，分针转过_度？分析：从2点10分到2点20分，经过的时间为10分钟.用公式法：时针转过的角度为：100.5=5，分针转过的角度为：106=60.或用观察法：时针转过格数不易观察，可知分针转过了10小格，分针转过的角度为：106=60.2.计算某一时刻时针与分针之间的夹角（钟面角）为了研究“时分”（指用12时计时法）时针与分针所成的角，不妨规定：“时分”时针所转动的角度，是指时针从“0时到时分”所转动的角度，为：，且有；“时分”分针所转动的角度，是指分针从“时到时分”所转动的角度，为：，且有.所求的“钟面角”是指不超过180的角，则时针与分针的夹角为： 当时，则； 当时，则.钟面角（时分）的几种求法：例2.分别求：（1）2点10分 （2）2点20分 （3）2点45分时钟面角的度数.方法一：运用钟面角公式：解：（1）2点10分时，故钟面角为5（2）2点20分时，故钟面角为50.（3）2点45分时，故钟面角为.方法二：观察法：解：（1）2点10分时（图1），分针指向整时点2，此时时针与分针的夹角度数，即为时针从2点整到2点10分转过的度数，为：100.5=5，故钟面角为5.（2）2点20分时（图2），此时时针与分针间隔1个大格和若干个小格.可知1大格为30，若干小格的度数=1大格度数时针从2点整到2点20分转过的度数，即为：，故钟面角的度数为：.图3图2图1（3）2点45分时（图3），此时时针与分针间隔6个大格和若干个小格.可知1大格为30，若干小格的度数=1大格度数时针从2点整到2点45分转过的度数，即为：，夹角度数为：，故钟面角为. 3.求时针、分针成特殊角时所对应的时间时钟问题可以看作是一个特殊的圆形轨道上2个人的同向而行的追及问题，不过这里的2个“人”分别是时钟的分针和时针.方程思想：时针、分针成特殊角时对应的时间问题，通常以整点时为基准将时针、分针所转过的角度看成一个追及问题，从而借助方程进行求解.等量关系：整点后分针转过的角度整点后时针转过的角度=整点时分针、时针的夹角（分针需追赶的角度）+时分分针与时针的夹角（分针应多转的角度）.例3.你能利用一元一次方程解决下列问题吗？在3时和4时之间的哪一个时刻，时钟的时针与分针：（1）重合；（2）成直角；（3）成平角.分析一：不妨设“这个时刻”为“3时分”，当3时的时候，时针与分针的夹角为.利用方程中追及问题的思想，可知：（1）如图4，当3时分“时针与分针”重合，即“分针追上了时针”，实质上是在相同的时间分钟内，分针比时针多走了90.等量关系：分针分钟转过的角度时针分钟转过的角度=90.（2）如图5，当3时分“时针与分针”成直角时，分针在分钟内不但追上了时针，而且比时针多走了90，所以等量关系为：分针分钟转过的角度时针分钟转过的角度=.（3）如图6，当3时分“时针与分针”成平角时，分针在分钟内不但追上了时针，而且比时针多走了180，所以等量关系为：分针分钟转过的角度时针分钟转过的角度=.可知分钟分针转过，时针转过，解决例3问题.图6图5图4解法一：（1）如图4，设3时分，“时针与分针”重合，由等量关系，可得方程解得.答：3时分时，时钟的时针与分针重合.（2）如图5，设3时分，“时针与分针”成直角，由等量关系，可得方程解得.答：3时分时，时钟的时针与分针成直角.（3）如图6，设3时分，“时针与分针”成平角，由等量关系，可得方程解得.答：3时分时，时钟的时针与分针成平角.分析二：不妨设“这个时刻”为“3时分”，利用钟面角公式计算.（1）如图4，当时针与分针重合时，此时钟面角为0；（2）如图5，当时针与分针成直角时，此时钟面角为90；（3）如图6，当时针与分针成平角时，此时钟面角为180.解法二：（1）如图4，设3时分，“时针与分针”重合，列方程，解得.答：3时分时，时钟的时针与分针重合.（2）如图5，设3时分，“时针与分针”成直角，列方程，解得，其中不合题意，舍去；或者列方程，解得（不合题意，舍去）.答：3时分时，时钟的时针与分针成直角.（3）如图6，设3时分，“时针与分针”成平角，列方程，解得，其中不合题意，舍去.答：3时分时，时钟的时针与分针成平角.例4.小明在晚上6点多钟出门办事，出门时看了一下钟表，此时时针与分针成90；他于当天晚上7点钟之前回家，进门时又看见时针与分针成90.问他出去了多长时间？分析一：不妨设时刻为“6时分”，时针与分针成直角.如图7、8，利用钟面角公式，此时钟面角为90.解法一：如图7、8，设6时分，“时针与分针”成直角，列方程，解得，可知出门时为6时分，回家时为6时分，故他外出时间为：分钟.图7图8答：他外出时间为分钟.分析二：设他外出时间为分钟，从图7到图8，分针不但追上了时针，而且比时针多走了90.等量关系为：分针分钟转过的角度时针分钟转过的角度=90+90=180.解法二：设他外出时间为分钟，可列方程，解得.答：他外出时间为分钟.4.钟面角的其他应用例5.在一个圆形时钟的表面，表示秒针，表示分针（为两针的旋转中心）.若现在时间恰好是12点整，经过多少秒后，的面积第一次达到最大？（设、的长度均为）图9分析：设秒针与分针所成的角为，应有，即为秒针与分针所成的钟面角.可知，当的面积达到最大时，应有.12点整，分针、秒针重合，设经过秒，分针与秒针第一次垂直（如图9），的面积第一次达到最大.等量关系为：秒针秒转过的度数分针秒转过的度数=90.秒针速度为6/秒，分针速度为0.1/秒.解：设经过秒，分针与秒针第一次垂直.可列方程：，解得.答：经过秒后，的面积第一次达到最大.5.钟面角的综合与实践 活动探究：活动1：（1）在3点整的时刻，钟面上的时针与分针所成的角度为多少度？（如图10）（2）在3点整后，经过多少时间两针所成的角首次等于90？(如图11)（3）在问题（2）后，经过多少时间两针所成的角第二次等于90？(如图12)（4）请你计算一下：问题（2）、（3）中的答案各是多少？解：设经过分，时针与分针成直角，由等量关系，可得方程解得.答：经过分，时钟的时针与分针成直角.我们发现问题（2）、（3）的答案都是分钟，这一结论是必然的还是偶然的？换句话问：如果时针与分针开始所成的角不是直角，那么间隔的时间还相同吗？图14图13图12图11图10这一理性的思考，自然引出了下面的话题：（5）如果两针所成的角为任意锐角，那么是否也有类似的结论呢？（如图13、图14）（6）如果两针所成的角为任意钝角，或者=0，结论又是如何的？活动2：根据以上活动，你能得到什么一般性的结论吗？设在某一时刻，时针与分针所成的角为（其中）如果时针在分针的前面，设经过分，时针与分针第一次夹角为，可得方程解得，即经过分钟，两针所成的角再一次为； 如果分针在时针的前面，设经过分，时针与分针第一次夹角为，可得方程解得，即经过分钟，两针所成的角再一次为.由这一结论不难解释问题（4）中的疑惑：（2）、（3）的答案之所以那么巧合，仅仅是因为当且仅当时，.也就是说，“间隔相同时间”的结论对于其他情形并不成立.活动3：利用我们得出的结论，你还可以解决哪些与钟面角有关的问题？面对熟悉的对象，学生兴趣倍增，通过对中钟表的操作和思考，可以提出并解决更多有价值的问题，比如：一昼夜，时钟面上时针与分针共垂直多少次？时钟面上的时针与分针每隔多长时间重叠一次？在同一天内的3:00到4:00之间，时钟的时针与分针何时在同一条直线上？三、文章小结通过对“钟面角”问题的简单探索，掌握关于“钟面角”的知识固然重要，但有一些关系值得我们关注.缺乏概念的直观是空虚的，缺乏直观的概念是盲目的.课堂上，一味地套用公式计算钟面角，而缺乏学生实质性的智力活动，学生只能沦为做题的机器；在明白原理的基础上，寻求简便的解题思路，更值得我们表彰.俗话说：“授人以鱼”不如“授人以渔”，“结论”的真正理解、掌握必须以“过程”为前提，重视“过程”的教学，真正实现教学的价值.课堂上，作为教学主导的教师，重在展示知识的