降落伞的选择.ppt

降落伞的选择,海南大学信息学院数学系舒兴明13648694787117562750,问题：为了向灾区空投一批救灾物资，共2000kg，需要选购一些降落伞，已知空投的高度为500m，要求降落伞落地时的速度不能超过20米/秒，降落伞的伞面为半径为r的半球面，用每根长L共16根绳子连接的重m位于球心正下方球面处，如下图：,每个降落伞的价格由三部分组成，伞面费用为C1由半径r决定；见下表；绳索费用C2由绳索总长度及单价4元/米决定；固定费用为C3为200元。,降落伞在降落过程中除了受到重力外，受到空气的阻力，可以认为与降落伞的速度和伞面积的乘积成正比，为了确定阻力系数，用半径r=3m，载重m=300kg的降落伞从500m高空作降落试验，测得各个时刻的高度，见下表,试确定降落伞的选购方案，即共需要多少个伞，每个伞的半径多大？在满足空投要求下，使费用最低。,问题分析：每种降落伞的价格一定，选择不同半径的降落伞，需要满足空投条件，那么就与每种降落伞的最大载重能力有关，要求选择方案，必须先求出空气阻力系数k,然后根据运动方程，得出最大载重量，然后利用线性规划的方法求解最优方案。,基本假设：,（1）救灾物资可以任意分割；（2）降落伞落地时的速度不超过20米/秒；（3）降落伞以及绳子质量可以忽略的；（4）降落伞在降落过程中，只受到重力和一个非重力因素的空气阻力；,（5）空气阻力系数k是定值，与其它因素无关。,变量设置：,M(r)：表示半径为r的伞在满足空投条件下的最大载重量；f：空气阻力；k：空气阻力系数；t：降落伞开始下降开始计时的时间；H(t)：降落伞下降到t时刻时的时间；m：降落伞负重重量；g：重力加速度；s：降落伞伞面面积；n(r)：选购半径为r的降落伞的个数。,模型建立：,（一）确定空气阻力系数k,降落伞在下降过程中，受到重力和空气阻力的作用，且初速度为0。,（I）,1、确定降落伞的高度与时间的关系式,此微分方程为一阶可分离变量的方程，求解得到,（II）,设降落伞从降落位置到t时刻的下降距离为H(t),则,（III),即,(IV),高度x与时间的关系式为,2、由已知数据拟合阻力系数k,已知，r=3，降落伞是半个球面，其面积为,重力加速度g=9.8,m=300。另一方面，落地速度不超过20m/s，故有,于是求得k满足,通过观测值的拟合，得到K=2.9377。(附拟合的lingo程序),sets:shuju/1.11/:t,x0,x,y;endsetsmin=sum(shuju(i):y(i);for(shuju(i):x(i)=500-m*g*t(i)/k/s-m2*g*exp(-k*s*t(i)/m)/k2/s2+m2*g/k2/s2);s=2*pi*r2;for(shuju(i):y(i)=(x(i)-x0(i)2);data:r=3;g=9.8;pi=3.1416;m=300;t=036912151821242730;x0=500470425372317264215160108551;enddata,这里也可以用matlab中的非线性拟合函数,先编写拟合表达式的M文件,functionx=jiangluosan(k,t)r=3;s=2*pi*r2;m=300;g=9.8;x=500-m*g*t/k/s-m2*g/k2/s2*exp(-k*s*t/m)+m2*g/k2/s2;,再调用拟合函数,t;xans=036912151821242730500470425372317264215160108551beta,r=nlinfit(t,x,jiangluosan,2.8)beta=2.9377r=0-2.79770.3783-0.4628-2.5475-2.48861.5977-0.31100.78140.8740-0.0334,两种拟合的计算结果一样,3、拟合程度的F检验,cleary=500472.7977424.6217372.4628319.5475266.4885213.4023160.3109107.218544.12981.03334;y1=500470425372317264215160108551;,p=kruskalwallis(y,y1)p=0.9476,由此可知，拟合显著。,（二）求半径为r的降落伞满足空投条件的最大载重量M(r),由方程（II),由于,所以当其它参数不变时，v是m的单调增函数，当v达到最大时，m也达到最大。,降落伞下降的最大速度v(t)与载重量M（r)的关系可以看出，在g,k,r,s给定情况下，v是M的函数，M也是v的函数。v(t)是m的增函数。,证明过程说明，载重M(r)越大，降落伞的下降速度越大，当下降的极限速度达到最大值20m/s时，降落伞就达到最大载重量M（r）。则由(II)和（IV)可以得到联合方程组,消去t，得到,(V),将H=500,v=20,s=2*pi*r2，g=9.8，K=2.9377，带入(V)，得到,（三）计算每种降落伞的单价（元）,记c1i表示规格i的降落伞的伞面费，c2i为绳索费，c3i为固定费用。则,将ri分别带入上方程，得到各规格的成本,（四）求解降落伞的选购最佳方案,利用lingo来求解：,sets:banjing/1.5/:c,n,m;endsetsmin=sum(banjing:c*n);,sum(banjing:m*n)=2000;for(banjing:gin(n);data:c=446596.3821.51176.81562;m=150.6769235.4326339.0230461.4470602.7075;enddata,Globaloptimalsolutionfoundatiteration:33Objectivevalue:4929.000,N(3)6.000000,模型结果的解释：即选用半径为3的降落伞6把，最小费用为4929元。,模型的检验和推广：,对不同半径的降落伞在满足空投条件下的最大载重量的求解验证:,=5.99525.99525.99525.99525.9952,（1）可以看出Mr/s为常量，而k,g为常量，故降落伞后期运动是匀速运动的充要条件是mg=f=kvs，即m/s=kv/g，所以降落伞后期作匀速运动。（2）v=mg/s/k，这样看来，后期匀速运动速度大小只与载重量和伞面积有关，与高度无关。（3）对于其他的空投重量，可以用类似的规划模型求解。（4）在气象条件理想，降落伞面半径一定时，能够研究最低空投高度与载重量的关系？（5）最好去掉整数要求，作灵敏度分析，以和假设检验呼应。,附件，计算的lingo程序,sets:shuju/1.11/:t,x0,x,y;endsetsmin=sum(shuju(i):y(i);for(shuju(i):x(i)=500-m*g*t(i)/k/s-m2*g*exp(-k*s*t(i)/m)/k2/s2+m2*g/k2/s2);s=2*pi*r2;for(shuju(i):y(i)=(x(i)-x0(i)2);data:r=3;g=9.8;pi=3.1416;m=300;t=036912151821242730;x0=500470425372317264215160108551;enddata,min=f12+f22;s=2*3.1416*r2;h=500;v=20;g=9.8;r=3;k=2.9377;y1=exp(-k*s*t/m);f1=v-m*g/k/s-m*g/s/k*y1;f2=h-m*t*g/k/s+m2*g*y1/k2/s2-m2*g/k2/s2;,sets:banj