双曲线与抛物线--高数整理版

课题：双曲线与抛物线 编写人：江南中校区高数组【教学目标】一、 知识目标1、掌握双曲线与抛物线的定义，掌握双曲线与抛物线标准方程并了解其推导过程，掌握运用定义法、待定系统法求双曲线与抛物线的标准方程；2、掌握双曲线与抛物线的性质，能根据性质正确地作出双曲线与抛物线草图；掌握双曲线与抛物线方程中系数的几何意义及关系；3、懂得利用方程解决直线与双曲线、抛物线的位置关系问题；4、能利用双曲线与抛物线的性质解决实际问题。二、能力目标培养学生的观察能力，想象能力，数形结合能力，和逻辑推理能力，以及类比的学习方法。提高学生观察、分析、综合的技能。三、 情感目标培养学生自主学习、积极主动探求知识的习惯和品质、合作交流的意识，改变学习方式，改善数学学习信念，帮助学生建立勇于探索创新的精神和克服困难的信心。【教学重点】1、双曲线与抛物线的定义及标准方程；2、利用双曲线与抛物线的标准方程研究双曲线与抛物线的几何性质。【教学难点】运用数形结合，用代数方法研究双曲线与抛物线的性质。【考点分析】1、考查双曲线与抛物线的概念与方程；2、考查双曲线与抛物线的性质；3、关于直线与圆锥曲线的位置关系的问题.【知识点梳理】（一）定义1双曲线：平面内与两定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数2a（2a|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线。定点F1、F2叫做焦点，定点间的距离叫焦距。定义式：|PF1|-|PF2|=2a, (2a|F1F2|,P的轨迹不存在。2抛物线：平面内与一个定点F和一条定直线l距离相等的点的轨迹叫做抛物线。点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线，其中Fl.（二）标准方程和几何性质1双曲线标准方程几何性质焦点F1（-C,0）,F2(C,0)F1(0,C),F2(0,-C)焦距|F1F2|=2cC2=a2+b2范围x-a,或xa ;yRy-a,或ya ;xR对称性关于x轴、y轴和原点对称顶点（a,0）(0, a)轴实轴长2a,虚轴长2b离心率渐近线2抛物线标准方程图形性质 范围准线方程焦点轴关于x轴对称关于y轴对称顶点O(0,0)离心率e=1【典型例题】题型一 双曲线的标准方程例1：根据下列条件，求双曲线的标准方程。（1）过点，且焦点在坐标轴上。（2），经过点（5，2），且焦点在轴上。（3）与双曲线有相同焦点，且经过点思路分析：1）题意分析：本题从不同的角度考查了对双曲线方程的求解。2）解题思路：过两点的方程我们一般设为，代入点计算。巧设方程，尽可能使系数越少越好。解答过程：解：（1）设双曲线方程为 、两点在双曲线上，解得所求双曲线方程为说明：采取以上“巧设”方法可以避免分两种情况讨论，达到“巧求”的目的。（2）焦点在轴上，设所求双曲线方程为：（其中）双曲线经过点（5，2），或（舍去）所求双曲线方程是（3）设所求双曲线方程为：双曲线过点，或（舍）所求双曲线方程为点评：第（3）题中，注意到了与双曲线有公共焦点的双曲线方程为后，便有了以上巧妙的设法，以上简单易行的方法使我们在解题过程中感到明快、简捷。变式：已知双曲线的焦点在y轴上，并且双曲线上两点P1、P2的坐标分别为（3，）、（），求双曲线的标准方程.解析：因为双曲线的焦点在y轴上，所以设所求双曲线的标准方程为： (a0,b0) 因为点P1、P2在双曲线上，所以点P1、P2的坐标适合方程.将（3，）、（）分别代入方程中，得方程组解得：a2=16,b2=9.故所求双曲线的标准方程为：题型二 双曲线系数之间的关系例2：方程表示双曲线，则的取值范围是（ ） AB C D或答案：D变式1：若，则“”是“方程表示双曲线”的( )（A）充分不必要条件.（B）必要不充分条件.（C）充要条件.（D）既不充分也不必要条件.答案：A变式2：若，双曲线与双曲线有（ ）A相同的虚轴B相同的实轴C相同的渐近线D 相同的焦点答案：D题型三 双曲线的性质例3：双曲线kx2y2=1的一个焦点是，那么它的实轴长是（）A1 B2 C D解析：由题设条件知，k=1，实轴故选B变式1：双曲线4x2+ty24t=0的虚轴长等于（）A B2t C D4解析：双曲线4x2+ty24t=0可化为：双曲线4x2+ty24t=0的虚轴长等于故选C变式2：双曲线mx2y2=m的虚轴长是实轴长的2倍，则实数m=（）A4 B2 C4 D4解析：双曲线mx2y2=m的标准方程为，m=4，故选C题型四 双曲线的渐近线与离心率例4：已知双曲线与椭圆有共同的焦点，且以为渐近线（1）求双曲线方程（2）求双曲线的实轴长虚轴长焦点坐标及离心率解析：（1）由椭圆c=5设双曲线方程为，则故所求双曲线方程为（2）双曲线的实轴长2a=6虚轴长2b=8焦点坐标（5，0），（5，0）离心率e=5/3变式1：设双曲线的虚轴长为2，焦距为，求双曲线的渐近线方程。解析：由已知得到，因为双曲线的焦点在x轴上，故渐近线方程为变式2：焦点为，且与双曲线有相同的渐近线的双曲线方程是( )A B C D解析：已知双曲线的渐近线方程：，所求的双曲线的焦点在y轴上，其标准方程为：，渐近线方程为，故且，选B。变式3：下列各对曲线中，即有相同的离心率又有相同渐近线的是( )(A)-y2=1和-=1 (B)-y2=1和y2-=1(C)y2-=1和x2-=1 (D)-y2=1和-=1【答案】选D变式4：求适合下列条件的双曲线的标准方程：（1）焦点在 x轴上，虚轴长为12，离心率为 ；（2）顶点间的距离为6，渐近线方程为解析：（1）焦点在x轴上，设所求双曲线的方程为=1由题意，得解得a=8，c=10b2=c2a2=10064=36所以焦点在x轴上的双曲线的方程为（2）当焦点在x轴上时，设所求双曲线的方程为=1由题意，得解得a=3，b=2所以焦点在x轴上的双曲线的方程为同理可求当焦点在y轴上双曲线的方程为例5：若双曲线实轴的长度、虚轴的长度和焦距成等差数列，则该双曲线的离心率是（）A B C D解析：由于双曲线实轴的长度、虚轴的长度和焦距成等差数列，则 22b=2a+2c，2=a+c，平方化简可得 3c22ac5a2=0，3e22e5=0，解得 e=，故选C变式：设双曲线=1（a0，b0）的实轴长、虚轴长、焦距成等比数列，则双曲线的离心率为（）A B C D解析：双曲线=1（a0，b0）的实轴长、虚轴长、焦距成等比数列（2b）2=（2a）（2c） b2=ac 又b2=c2a2c2a2=ace2e1=0 e= 又在双曲线中e1 e=故选B变式2：.设双曲线的一个焦点为，虚轴的一个端点为，如果直线与该双曲线的一条渐近线垂直，那么双曲线的离心率是（ ）A B. C. D. 解析：设双曲线方程为，且F为右焦点，端点B为上端点，则直线的斜率为，与FB垂直的渐近线斜率为，又此渐近线方程为，即，解之得。变式3：设和为双曲线()的两个焦点, 若，是正三角形的三个顶点，求双曲线的离心率。解析：由有,则题型四 双曲线的定义例6：如果，分别是双曲线的左、右焦点，AB是双曲线左支上过点的弦，且，则的周长是 .解析：由题意知：a=4，b=3，故c=5由双曲线的定义知，+得：，所以,所以的周长是点评：本题考查双曲线的定义的应用，涉及到双曲线上的点和两焦点构成的三角形问题，一般用定义处理例7：已知、为双曲线C:的左、右焦点，点P在C上，=，则 解析：.由余弦定理得cosP=4题型五 直线与双曲线的位置关系例8：直线与双曲线相交于A、B两点，当为何值时，A、B在双曲线的同一支上？当为何值时，A、B分别在双曲线的两支上？解析：把代入整理得： 当时，。由0得且时，方程组有两解，直线与双曲线有两个交点。若A、B在双曲线的同一支，须0 ，所以或。故当或时，A、B两点在同一支上；当时，A、B两点在双曲线的两支上。点评：与双曲线只有一个公共点的直线有两种。一种是与渐近线平行的两条与双曲线交于一点的直线。另一种是与双曲线相切的直线也有两条。变式：已知双曲线，直线试讨论的取值范围，使直线与双曲线有两个公共点；有且只有一个公共点；没有公共点.解析：把代入双曲线中得到关于的一元二次方程.当时，即，求得直线与双曲线有两个公共点.当或时，直线与双曲线只有一个公共点,解得.当时, 即时，直线与双曲线没有公共点.例9：求直线被双曲线截得的弦长；解析：由得即（*）设方程（*）的解为，则有 得，变式：过双曲线的右焦点,倾斜角为的直线交双曲线与两点，求弦的长.设计意图：运用直线与圆锥曲线的弦长公式，并引导学生学会类比直线与椭圆的相交情况，通过分类讨论，引导学生形成结论：不管直线与双曲线交于同一支还是不同支，弦长公式仍然适用.过中点的双曲线弦的直线方程：解析：联立方程：，消去得：，由弦长公式.题型六 抛物线的方程例10：在平面直角坐标系xOy中，抛物线C的顶点在原点，经过点A(2,2)，其焦点F在x轴上，求抛物线C的标准方程解析：设抛物线y22px(p0)，将点(2,2)代入得p1.y22x为所求抛物线的方程变式：抛物线的顶点在坐标原点，焦点与双曲线1的一个焦点重合，则该抛物线的标准方程可能是()Ax24y Bx24yCy212x Dx212y解析：由题意得c3，抛物线的焦点坐标为(0,3)或(0，3)该抛物线的标准方程为x212y或x212y.题型七 抛物线的定义与性质例11：已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上的点P(m，2)到焦点的距离为4，则m的值为 ()A4 B2 C4或4 D12或2解析：C,设标准方程为x22py(p0)，由定义知P到准线距离为4，故24，p4，方程为x28y，代入P点坐标得m4.点评：联系定义，合理转化到焦点的距离和到准线的距离变式1：点到抛物线的准线的距离为，那么抛物线的方程是（ ）ABC或D或【解析】：选D。分两类a0，a0)的焦点在圆x2y22x30上，则p ()A. B1C2 D3解析：抛物线y22px(p0)的焦点为(，0)在圆x2y22x30上，p30，解得p2或p6(舍去)答案：C3若抛物线y2x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为()A(，) B(，)C(，) D(，)解析：设抛物线的焦点为F，因为点P到准线的距离等于它到顶点的距离，所以点P为线段OF的垂直平分线与抛物线的交点，易求点P的坐标为(，)答案：B4已知双曲线1(a0，b0)的一个顶点与抛物线y220x的焦点重合，该双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线斜率为()A2 BC D解析：由抛物线y220x的焦点坐标为(5,0)，可得双曲线1的顶点坐标为(5,0)，即得a5，又由e，可解得c，则b2c2a2，即b，由此可得双曲线的渐近线的斜率为k.答案：C5设F1、F2是双曲线y21的两个焦点，P在双曲线上，当F1PF2的面积为2时，的值为()A2 B3C4 D6解析：设点P(x0，y0)，依题意得，|F1F2|24，SPF1F2|F1F2|y0|2|y0|2，|y0|1，y1，x3(y1)6，(2x0，y0)(2x0，y0)xy43.6双曲线1的右焦点到渐近线的距离是_解析：由题意得：双曲线1的渐近线为yx.焦点(3,0)到直线yx的距离为.7已知抛物线y24x与直线2xy40相交于A、B两点，抛物线的焦点为F，那么|_.解析：由消去y，得x25x40(*)，方程(*)的两根为A、B两点的横坐标，故x1x25.因为抛物线y24x的焦点为F(1,0)，所以|(x11)(x21)7.【课后作业】双曲线：1到两定点，的距离之差的绝对值等于的点的轨迹（ ）A椭圆B线段C双曲线D两条射线答案D2对于曲线C：，给出下面四个命题：曲线C不可能表示椭圆；当1k4时，曲线C表示椭圆；若曲线C表示双曲线，则k4；若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则1kn0)，且渐近线方程为yx，则双曲线的焦点（ ）A在x轴上B在y轴上C在x轴或y轴上D无法判断是否在坐标轴上答案A10已知双曲线的实轴的一个端点为A1，虚轴的一个端点为B1，且|A1B1|5，则双曲线的方程是（ ）ABC1D1答案A 11过双曲线C：1(a0，b0)的一个焦点作圆x2y2a2的两条切线，切点分别为A，B，若AOB120（O是坐标原点），则双曲线C的离心率为（ ）AB2CD3答案B 12求满足下列条件的双曲线的标准方程。（1）经过点A(4，3)，且a4；（2）经过点A、。解：（1）若所求双曲线方程为1(a0，b0)，则将a4代入，得1，又点A(4，3)在双曲线上，1。解得b29，则1，若所求双曲线方程为1（a0，b0）。同上，解得b20，不合题意，双曲线的方程为1。（2）设双曲线的方程为mx2ny21（mn0)的准线与圆(x3)2y216相切，则p的值为（ ）AB1C2D4答案C 6已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，抛物线上的点到焦点的距离为4，则 的值为（ ）A4B2C4或4D12或2答案C7边长为1的等边三角形AOB，O为原点，ABx轴，以O为顶点且过A、B的抛物线方程是（ ）ABCD答案B【拓展训练】1如图2所示，为双曲线的左焦点，双曲线上的点与关于轴对称，则的值是（ ）A9 B16 C18 D27 解：，选C答案：C2如图，F为抛物线y24x的焦点，A、B、C在抛物线上，若0，则|()A6 B4C3 D2解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，F(1,0)，(x1x2x33，y1y2y3)0，|x1x2x3(其中1)336.答案：A3求直线与双曲线的两个交点和原点构成三角形的面积设直线与双曲线的两个交点分