圆的基本性质汇总

圆的基本性质一、圆的有关概念1、圆：在同一平面内，到定点的距离等于定长的点的集合。其中，定点为圆心，定长为半径。2、弦：连接圆上任意两点的线段。经过圆心的弦是直径，直径是圆中最长的弦。3、弧：圆上任意两点间的部分叫弧。圆上任一条直径的两个端点把圆分成的两条弧，每一条弧都叫做半圆。大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫劣弧。4、同圆与同心圆：同圆是指同一个圆；同心圆是指圆心相同，半径不等的圆。5、等圆与等弧：能够重合的两个圆叫做等圆，或者说半径相等的两个圆是等圆；等弧是指能够完全重合的弧，等弧必须是同圆或等圆中的弧。（注：长度相等的弧不一定是等弧，度数相等的弧也不一定是等弧。）6、圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。圆心角的度数等于它所对的弧的度数。例1、判断题：（1）半圆是弧，但弧不一定是半圆。（ ）（2）过圆上任意一点只能做一条弦，且这条弦是直径。（ ）（3）弦是直径。（ ）（4）直径是圆中最长的弦。（ ）变式1-1、下列说法中正确的是（ ）。等于半径2倍的线段是直径 过圆心的直线是直径直径是弦 过圆心的线段是直径变式1-2、下列说法中错误的有 。直径是弦，弦是直径；弦是圆上任意两点间的部分；半圆是弧，弧是半圆；过圆内一点有无数条弦，这些弦都相等。例2、已知，为的直径，交于，且，则= 。变式2-1、如图，为的直径，为的弦，的延长线交于，已知，则= 。变式2-2、（2014永州一模）如图，以为直径的半上有两点与的延长线交于点，且有，若，则的度数是 。二、圆的性质1、圆是轴对称图形，对称轴为直径所在的直线，有无数条。圆是中心对称图形，并且无论绕圆心旋转多少度，都可以和原图形重合。2、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系：定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧（同为优弧或同为劣弧）、两条弦、两弦的弦心距中，有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量也分别相等。例3、下列说法中正确的是（ ）。相等的圆心角所对的弧相等 在同圆中，相等的弧所对的圆心角相等相等的弦所对的圆心角相等 若圆心到弦的距离相等，则弦相等变式3-1、在中，是两条相等的弦。下列命题中，属于假命题的是（ ）。的弦心距相等 所对的圆心角相等 所对的弧相等例4、如图所示，是直径，则= 。变式4-1、（2012苏州）如图所示，已知是的直径，点在上，则= 。变式4-2、（2014常州期中）如图，是的直径，点在上，且点在的异侧，连结。若，且，则的度数为 。变式4-3、在中，是两条直径。弦所对的圆心角为，则的度数为 。例5、（2014重庆江北模拟）如图，是的直径，四边形内接于，若，则的周长为 。变式5-1、（2013杭州月考）如图，是半圆，为中点，两点在上，且，连接。若，则的度数为 。例6、如图，已知同心，大圆的半径分别交小圆于，试判断四边形的形状，并说明理由。变式6-1、是的弦，分别交于点，且，请说明。变式6-2、（2013南充高坪期中）如图，以的顶点为圆心，为半径作交于，延长交于，求证：。变式6-3、如图，是的两条直径，弦，则与是否相等？为什么？例7、如图，是的直径，把分成几条相等的线段，以每条线段为直径分别画小圆，设，那么的周长。计算：（1）把分成两条相等的线段，每个小圆的周长；（2）把分成三条相等的线段，每个小圆的周长= ；（3）把分成四条相等的线段，每个小圆的周长= ；（4）把分成条相等的线段，每个小圆的周长= ；结论：把大圆的直径分成条相等的线段，以每条线段为直径分别画小圆，那么每个小圆周长是大圆周长的 。请仿照上面的探索方法和步骤，计算推导出每个小圆面积与大圆面积的关系。例8、如图，直线经过的圆心，与相交于点，点在上，且，点是直线上的一个动点（与不重合），直线与相交于点，问：点在直线的什么位置上时，？这样的点共有几个？并相应地求出的度数。思考：1、在中，则弦与的关系是（ ）。 无法确定2、在中，是弦，分别是圆心到的距离，若，则的大小关系是 。3、在中，弦所对的优弧为圆周的，圆的半径为，求弦的长。4、（2013温州）在中，为锐角，分别以为直径作半圆，过点作，如图所示。若，则的值是 。圆的基本性质习题练习1、下列命题中，其中正确的有 。长度相等的两条弧是等弧；面积相等的两个圆是等圆；劣弧比优弧短；菱形的四个顶点在同一个圆上。2、下列说法中正确的是（ ）。相等的圆心角所对的弧相等 在同圆中，相等的弧所对的圆心角相等相等的弦所对的圆心角相等 若圆心到弦的距离相等，则弦相等3、顺次连接圆内两条相交直径的4个端点，围成的四边形一定是（ ）。梯形 菱形 矩形 正方形4、（2014南京溧水月考）如图，在中，则= 。5、（2015无锡期中）如图，四边形是扇形的内接矩形，顶点在上，且不与重合，当点在上移动时，矩形的形状、大小随之变化，则的值（ ）。逐渐变大 逐渐变小 不变