倒易点阵与衍射

倒易点阵与衍射西安交通大学材料物理系宋晓平2008.07一、倒易点阵基础z 倒易点阵是一种数学方法z 利用这一概念，可使晶体几何的问题大为简化。z 对于一般的衍射现象其解释变得更加简单理解亦可更加深入。z 对于复杂的衍射效应，它可以提供必要的门径。一、倒易点阵基础z 晶体由质点按一定的规律排列而成，如果将这种周期排列规律抽象出来，就是空间点阵。z 将空间点阵（真实点阵或实点阵）经过倒易变换，就得到倒易点阵。z 倒易点阵的外形也很像点阵，但其上的结点并不代表质点，而是对应着真点阵的一组晶面。YZN(hkl)X（hklPhklO图1.晶体点阵中的晶面与倒易点一、倒易点阵基础z 真点阵中的一组晶面），在倒易空间中将用一个点Phkl表示z 点子与晶面有倒易关系，这种关系表现为：点子取在（hkl）的法线H上，且Phkl点到倒易点阵原点的距离与晶面间距成反比。阵中倒易矢量的关系(hkl)XNPhklO图1.晶体点阵中的晶面与倒易点一、倒易点阵基础z 从原点到Phkl点的Z矢量称为倒易矢量，其大小为：Hhkl=k/dhklz 式中k位比例系数，在多H数场合下取作1，但很多时候亦可令之等于X射线的波长。阵中倒易矢量的关系倒易矢量的数学定义z 设真点阵的基本平移矢量为abcz 设倒易点阵的基本平移矢量为a*b*c*z a*b=a*c=b*a=b*c=c*a=c*b=0不同文字的倒易矢量与正矢量的数量积为零，其涵义为a*b及c; c* a及b; b*a及c。z a*a=c*c=b*b=1同文字的倒易矢量与正矢量的数量积为1.b*c*cb(001)a倒易矢量的数学定义z a*a=c*c=b*b=1同文字的倒易矢量与正矢量的数量积为1的图形解释见图2.z 从图2可知，c cos是（001）面的面间距d001，因此：c*c=c* c cos=c*d001=1可得c*=1/d001Oa*图2.晶体点阵基矢与倒易点阵基矢的关系倒易矢量的数学定义z 从以上定义可知：（1）如果正点阵晶轴相互垂直，则倒易轴亦相互垂直且平行于晶轴。（2）倒易矢量可以表征真点阵（hkl）晶面的方位，而H（hkl）的长度可以表示（hkl）的晶面间距dhkl. 图3是用平面图像表明立方110H210b*ca(010)020120220(100)210(210)a*H，且图3. a=4埃 的立方晶体及其倒易点阵的两倍。 可以看出，H矢量的长度b(110)110 必须指出，像nh,nk,nl(nc100200220110110系倒易点阵的图形表示z系晶体与其倒易点阵的关4埃0.25埃-1z等于其对应晶面的间距的倒数，且与晶面相垂直。010z为整数)这样的倒易阵点，000对应着与（hkl）平行且间距为其1/n的点阵面。如图3中的H平行于是Hb*ac*cb(001)Oa*点阵基矢的关系倒易点阵的应用举例z 1、单胞体积z 单胞体积等于底面积乘高。z 底面积为 a b sin =abz 高是（001）面的面间距，为 c cos故体积：V= a b sin c cos=（ab） c=（bc） a 图2.晶体点阵基矢与倒易=（ca） b倒易点阵的应用举例2、晶面间距z Hhkl=1/dhkl，两边平方得：z H2=1/d2=H H=（ha*+kb*+lc*）（ha*+kb*+lc*）=h2a*2+k2b*2+l2c*2+2hk(a* b*)+2kl(b* c*)+2kl(b* c*)对立方晶系 a*2=b*2=c*2 ，(a* b*)=(b* c*)=(b* c*)=0代入上式得：1/d2=h2a*2+k2a*2+l2a*2=(h2+k2+l2)a*2= =(h2+k2+l2) / a2故:d= a / h2+k2+l2z 对其他晶系，把参数带入公式中，可求出晶面间距。倒易点阵的应用举例3、晶带与晶带轴z 若干个晶面族同时平行于某一轴向时，则这些晶面族属于同一晶带，而这个轴向就称为晶带轴。设晶带轴矢量= u a+v b+w c晶面族的任一个晶面的倒易矢量= h a*+k b*+l c*z 若两个矢量互相垂直，则其数量积必为零，故（u a+v b+w c）（h