第10章 期权定价模型与数值方法

第10章期权定价模型与数值方法,10.1期权基础概念,1期权的定义期权分为买入期权（calloption）和卖出期权（putoption）。买入期权:又称看涨期权（或敲入期权），它是赋予期权持有者在给定时间（或在此时间之前任一时刻）按规定价格买入一定数量某种资产的权利的一种法律合同。卖出期权:又称看跌期权（或敲出期权），它是赋予期权持有者在给定时间（或在此时间之前任一时刻）按规定价格卖出一定数量某种资产的权利的一种法律合同。2期权的要素期权的四个要素：行权价（exerciseprice或strikingprice）、到期日（maturingdata）、标的资产（underlyingasset）、期权费（optionpremium）。对于期权的购买者（持有者）而言，付出期权费后，只有权利没有义务；对期权的出售者而言，接受期权费后，只有义务没有权利。,10.1.1期权及其有关概念,3期权的内在价值买入期权在执行日的价值CT为CT=max(STE,0)式中:E表示行权价；ST表示标的资产的市场价。卖出期权在执行日的价值PT为PT=max(EST,0)根据期权的行权价与标的资产市场价之间的关系，期权可分为价内期权（inthemoney）(SE)、平价期权（atthemoney）(S=E)和价外期权（outofthemoney）(SCall=13.70%买入期权Put=6.35%卖出期权,10.2.5影响期权价格的因素分析,期权价格受到当前价格S、执行价格E、期权的期限T、股票价格方差率2及无风险利率r五个因素的影响。下面以欧式看涨期权为例来分析。期权对这五个因素的敏感程度称为期权的Greeks，其计算公式与计算函数如下。,1.德尔塔（Delta）期权是考察期权价格随标的资产价格变化的关系，从数学角度看，是期权价格相对于标的资产价格的偏导数,有,计算函数为blsdelta.m,函数语法如下：,10.2.5影响期权价格的因素分析,CallDelta,PutDelta=blsdelta(Price,Strike,Rate,Time,Volatility,Yield)输入参数：Price：标的资产市场价格；Strike：执行价格；Rate：无风险利率；Time：距离到期时间；Volatility：标的资产价格波动率；Yield：（可选）资产连续贴现利率，默认为0。输出参数：CallDelta:看涨期权的；PutDelta：看跌期权的。,例10.2假设欧式股票期权,三个月后到期,执行价格95元,现价为100元,无股利支付,股价年化波动率为50%,无风险利率为10%,计算期权。代码如下:Price=60:1:100;%标底资产价格Strike=95;%执行价格Rate=0.1;%无风险收益率（年化）Time=(1:1:12)/12;%剩余时间Volatility=0.5;%年化波动率CallDelta,PutDelta=blsdelta(Price,Strike,Rate,Time,Volatility),若要分析期权与标的资产价格、剩余期限的关系，即不同的Price与Time计算不同的三维关系，可以编写如下代码：Price=60:1:100;%标底资产价格Strike=95;%执行价格Rate=0.1;%无风险收益率（年化）Time=(1:1:12)/12;%剩余时间Volatility=0.5;%年化波动率Price,Time=meshgrid(Price,Time);Calldelta,Putdelta=blsdelta(Price,Strike,Rate,Time,Volatility);%mesh(Price,Time,Calldelta);mesh(Price,Time,Putdelta);xlabel(StockPrice);ylabel(Time(year);zlabel(Delta);,10.2.5影响期权价格的因素分析,2.西塔（Theta）表示期权价格对于到期日的敏感度，称为期权的时间损耗。,3.维伽（Vega）表示方差率对期权价格的影响。4.珞（Rho）为期权的价值随利率波动的敏感度，利率增加，使期权价值变大。5.伽玛（Gamma）表示与标的资产价格变动的关系。,10.2.5影响期权价格的因素分析,10.3BS公式隐含波动率计算,BlackScholes期权定价公式，欧式期权理论价格的表达式：,式中：,隐含波动率是将市场上的期权交易价格代入权证理论价格BlackScholes模型反推出来的波动率数值。由于期权定价BS模型给出了期权价格与五个基本参数之间的定量关系，只要将其中前4个基本参数及期权的实际市场价格作为已知量代入定价公式，就可以从中解出惟一的未知量，其大小就是隐含波动率。,10.3.1隐含波动率概念,10.3.2隐含波动率计算方法,隐含波动率是把权证的价格代入BS模型中反算出来的，它反映了投资者对未来标的证券波动率的预期。BlackScholes期权定价公式中已知St(标的资产市场价格)、X(执行价格)、r(无风险利率)、Tt(距离到期时间)、看涨期权ct或者看跌期权pt,根据BS公式计算出与其相应的隐含波动率yin。,数学模型为,式中:,求解方程fc(yin)=0,fp(yin)=0的根。,本质上是非线性方程,10.3.3隐含波动率计算程序,利用fsolve函数计算隐含波动率，fsolve是MATLAB最主要内置的求解方程组的函数，具体fsolve的使用方法可以参看相关函数说明。例10.4假设欧式股票期权，3个月后到期，执行价格95元，现价为100元，无股利支付，股价年化波动率为50%，无风险利率为10%，计算期权价格。计算结果如下：,假设目前其期权交易价格为Call=15.00元，Put=7.00元，分别计算其相对应的隐含波动率。,Call,Put=blsprice(100,95,0.1,0.25,0.5)Call=13.6953Put=6.3497,步骤1：建立方程函数。看涨期权隐含波动率方程的M文件ImpliedVolatitityCallObj.M，其语法如下：f=ImpliedVolatitityCallObj(Volatility,Price,Strike,Rate,Time,Callprice)程序代码如下:,functionf=ImpliedVolatitityCallObj(Volatility,Price,Strike,Rate,Time,Callprice)%ImpliedVolatitityCallObj%codebyariszheng2009-8-3Call,Put=blsprice(Price,Strike,Rate,Time,Volatility);%存在一个波动率使得下列等式成立%fc(ImpliedVolatitity)=Call-Callprice=0f=Call-Callprice;,10.3.3隐含波动率计算程序,看跌期权隐含波动率方程的M文件为ImpliedVolatitityPutObj.m,其语法如下:f=ImpliedVolatitityPutObj(Volatility,Price,Strike,Rate,Time,Putprice)程序代码如下:,functionf=ImpliedVolatitityPutObj(Volatility,Price,Strike,Rate,Time,Putprice)%ImpliedVolatitityCallObj%codebyariszheng2009-8-3%根据参数，使用blsprice计算期权价格Call,Put=blsprice(Price,Strike,Rate,Time,Volatility);%fp(ImpliedVolatitity)=Put-Putprice=0%目标使得寻找X使得目标函数为0f=Put-Putprice;,10.3.3隐含波动率计算程序,步骤2：求解方程函数。求解方程函数的M文件为ImpliedVolatility.m,其语法如下：Vc,Vp,Cfval,Pfval=ImpliedVolatility(Price,Strike,Rate,Time,CallPrice,PutPrice),functionVc,Vp,Cfval,Pfval=ImpliedVolatility(Price,Strike,Rate,Time,CallPrice,PutPrice)%ImpliedVolatility%codebyariszheng2009-8-3Volatility0=1.0;%优化算法初始迭代点;%CallPrice对应的隐含波动率Vc,Cfval=fsolve(Volatility)ImpliedVolatitityCallObj(Volatility,Price,Strike,Rate,Time,CallPrice),Volatility0);%CallPrice对应的隐含波动率Vp,Pfval=fsolve(Volatility)ImpliedVolatitityPutObj(Volatility,Price,Strike,Rate,Time,PutPrice),Volatility0);,10.3.3隐含波动率计算程序,步骤3：函数求解。M文件TestImpliedVolatility.M代码如下：,%TestImpliedVolatility%市场价格Price=100;%执行价格Strike=95;%无风险利率Rate=0.10;%时间（年）Time=0.25;CallPrice=15.0;%看涨期权交易价格PutPrice=7.0;%看跌期权交易价格%调用ImpliedVolatility函数Vc,Vp,Cfval,Pfval=ImpliedVolatility(Price,Strike,Rate,Time,CallPrice,PutPrice),10.3.3隐含波动率计算程序,隐含波动率与期权价格关系图,Price=100;Strike=95;Rate=0.10;Time=1.0;Volatility=0:0.1:2.0;n=length(Volatility);Call=zeros(n,1);Put=zeros(n,1);fori=1:nCall(i),Put(i)=blsprice(Price,Strike,Rate,Time,Volatility(i);endsubplot(2,1,1)plot(Volatility,Call,-*);legend(CallPrice)subplot(2,1,2)plot(Volatility,Put,-o);legend(PutPrice),知识脉络图,期权定价理论,数值实现,期权定价函数blsprice.m,影响期权价格因素的计算函数blsdelta.mblsgamma.mblslambda.mblsrho.mblstheta.mblsvega.m,隐含波动率计算,10.4期权二叉树模型,二叉树期权定价模型是由J.C.Cox、S.A.Ross和M.Rubinstein于1979年首先提出的，已经成为金融界最基本的期权定价方法之一。二叉树模型的优点在于其比较简单直观，不需要太多的数学知识就可以应用。,10.4.1二叉树模型的基本理论,二叉树模型首先把期权的有效期分为很多很小的时间间隔t，并假设在每一个时间间隔t内证券价格只有两种运动的