定积分的概念

第五章定积分,第一节定积分的概念与性质,第二节微积分基本公式,第三节定积分的换元法和分部积分法,第四节反常积分,主讲人：李源,第一节定积分的概念与性质,三、定积分的性质,一、定积分问题举例,二、定积分的定义,一、定积分问题举例,曲边梯形设函数y=f(x)在区间a,b上非负、连续.由直线x=a、x=b、Y=0及曲线y=f(x)所围成的图形称为曲边梯形,其中曲线弧称为曲边.如何计算其面积？,在初等函数里面，我们只会计算规则图形的面积，如长方形，圆形等。如何计算不规则图形的面积，是我们需要解决的问题。,解决步骤:,1)分割.,在区间a,b中任意插入n1个分点,用直线,将曲边梯形分成n个小曲边梯形;,2)近似.,在第i个窄曲边梯形上任取,作以,为底,为高的小矩形,并以此小,梯形面积近似代替相应,窄曲边梯形面积,得,3)求和.,4)取极限.,令,则曲边梯形面积,元素法,1化整为零,2以直代曲(以常代变),3积零为整,y=f(x),.,.,分法越细，越接近精确值,1.曲边梯形的面积,f(i),.,元素法,4取极限,y=f(x),令分法无限变细,.,.,.,.,分法越细，越接近精确值,1化整为零,2以直代曲(以常代变),3积零为整,f(i),1.曲边梯形的面积,元素法,4取极限,y=f(x),令分法无限变细,.,.,.,.,分法越细，越接近精确值,1化整为零,2以直代曲(以常代变),3积零为整,f(i),S=,.,S,.,1.曲边梯形的面积,2.变速直线运动的路程,已知物体直线运动的速度v=v(t)是时间t的连续函数,且v(t)0,计算物体在时间段T1,T2内所经过的路程S.,(1)分割:,T1=t0t1t2*tn-1tn=T2,Dtititi+1;,(2)近似:,物体在时间段ti1,ti内所经过的路程近似为,Siv(i)Dti(ti1iti);,物体在时间段T1,T2内所经过的路程近似为,(3)求和:,(4)取极限:,记maxDt1,Dt2,Dtn,物体所经过的路程为,上述两个问题的共性:,解决问题的方法步骤相同:,“分割,近似,求和,取极限”,所求量极限结构式相同:,特殊乘积和式的极限,1.曲边梯形的面积,2.变速直线运动的路程,许多问题的解决都可以化为上述特定和式的问题，将其一般化，就得到定积分的概念.,1.定积分的定义,(i1,2,n),作和,maxDx1,Dx2,Dxn;在小区间xi1,xi上任取一点xi,记Dxi=xi-xi1(i1,n),个分点:ax0x1x2xn1xnb;,设函数f(x)在区间a,b上有界.,极限存在,且极限值与区间a,b的分法和xi的取法无关,则称此极限为函数f(x)在区间a,b上的定积分,记为,即,二、定积分的定义,在区间a,b内插入n-1,如果当0时,上述和式的,此时称f(x)在a,b上可积.,定积分仅与被积函数及积分区间有关,而与积分,变量用什么字母表示无关,即,2.函数的可积性,定理1:如果函数f(x)在区间a,b上连续,则函数f(x)在区间a,b上可积.定理2:如果函数f(x)在区间a,b上有界,且只有有限个间断点,则函数f(x)在区间a,b上可积.,1.定积分的定义,二、定积分的定义,3.定积分的几何意义:,曲边梯形面积,曲边梯形面积的负值,各部分面积的代数和,解把区间0,1分成n等份,分点为和小区间长度为,例1.利用定义计算定积分,取,作积分和,解函数y1x在区间0,1上的定积分是以y=1-x为曲边,以区间0,1为底的曲边梯形的面积.,因为以y=1-x为曲边,以区间0,1为底的曲边梯形是一个直角三角形,其底边长及高均为1,所以,例2用定积分的几何意义求,两点规定,三、定积分的性质,性质1,性质2,性质3,注：值得注意的是不论abc的相对位置如何上式总成立,性质4,推论1,如果在区间ab上f(x)g(x)则,如果在区间ab上f(x)0则,性质5,推论2,这是因为|f(x)|f(x)|f(x)|,所以,即,|,.,性质6设M及m分别是函数f(x)在区间ab上的最大值及最小值则,性质7(定积分中值定理)如果函数f(x)在闭区间ab上连续则在积分区间ab上至少存在一个点x,使下式成立,这是因为,由性质6变形得,积分中值公式,由介值定理,至少存在一点xa,b,使,两端乘以ba即得积分中值公式.,注:,可把,故它是有限个数的平均