八年级数学竞赛辅导讲义

成都市学为先学校初中七年级数学竞赛辅导讲义 全国初中数学联赛 一 全国初中数学联赛简介中国数学会所举办的全国高中数学联赛、全国初中数学联赛，以及小学数学奥林匹克，都是群众性的数学课外活动，是大众化、普及型的数学竞赛，目前，每年有12万名学生参加。竞赛简介奖项名称：全国初中数学联合竞赛创办时间：1984年主办单位：由各省、市、自治区联合举办，轮流做庄竞赛介绍：同时，各地都提出了举行“全国初中数学联赛”的要求。1984年，中国数学会普及工作委员会商定，委托天津市数学会举办一次初中数学邀请赛，有14个省、市、自治区参加，当时条件较简陋，准备时间也较仓促，天津数学会在南开大学数学系和天津师范大学数学系的大力支持下，极其认真负责地把这次活动搞得很成功，为后来举办“全国初中数学联赛”摸索了很多经验。 当年11月，在宁波召开的中国数学会第三次普及工作会议时，一致通过了举办“全国初中数学联赛”的决定，并详细商定了一些具体办法，规定每年四月的第一个星期天举行“全国初中数学联赛”。会上湖北省数学会、山西省数学会、黑龙江省数学会分别主动承担了1985年、1986年、1987年的“全国初中数学联赛”承办单位，从此，“全国初中数学联赛”也形成了制度。“全国初中数学联赛”原来不分一试、二试。为了更好地贯彻“在普及的基础上不断提高”的方针，1989年7月，在济南召开的“数学竞赛命题研讨会”上，各地的代表商定，初中联赛也分两试进行，并对一、二试各种题型的数目，以及评分标准作出明确的规定，使初中联赛的试卷走向规范化。中国数学会所举办的全国高中数学联赛、全国初中数学联赛，以及小学数学奥林匹克，都是群众性的数学课外活动，是大众化、普及型的数学竞赛，目前，每年有12万名学生参加。为了让更多学生都能发挥他们的聪明才智，培养兴趣，充分发掘他们学习上的潜力，调动学习数学的积极性，我们力求让试题能够适合全国多数参赛学生。从1991年起，我们力求降低试题的难度。题目不难，又要有点意思，还要有竞赛气氛，要做到是不容易的。所谓“联赛”，就是各省、市、自治区联合举办，轮流做庄，由各省、市、自治区数学竞赛组织机构具体承办，大家提供试题。为了更好地规范初中数学竞赛的内容、难度，中国数学会制定了“初中数学竞赛大纲”，以“大纲”为准， 命题坚持“大众化、普及型、不超纲、不超前”的原则。二 竞赛的意义全国初中数学联赛是初中生初中阶段最为重要的竞赛之一，方式较为规范，也是许多高中入学考察的对象之一，因此，许多初中生为此而加紧培优，从某种意义上讲，这种为大众认可的竞赛提升了中国初中生的整体数学成绩。在北京，全国数学联赛的获奖成绩常常被作为人大附中、四中等重点高中提前录取的一个重要参考。三 竞赛大纲数学竞赛对于开发学生智力，开拓视野，促进教学改革，提高教学水平，发现和培养数学人才都有着积极的作用。目前我国中学生数学竞赛日趋规范化和正规化，为了使全国数学竞赛活动健康、持久地开展，应广大中学师生和各级数学奥林匹克教练员的要求，特制定初中数学竞赛大纲（修订稿）以适应当前形势的需要。本大纲是在国家教委制定的九年义务教育制“初中数学教学大纲”精神的基础上制定的。教学大纲在教学目的一栏中指出：“要培养学生对数学的兴趣，激励学生为实现四个现代化学好数学的积极性。”具体作法是：“对学有余力的学生，要通过课外活动或开设选修课等多种方式，充分发展他们的数学才能”，“要重视能力的培养，着重培养学生的运算能力、逻辑思维能力和空间想象能力，要使学生逐步学会分析、综合、归纳、演绎、概括、抽象、类比等重要的思想方法。同时，要重视培养学生的独立思考和自学的能力”。四 参赛对象全国在校初中生，采取自愿与学校推荐相结合的办法报名参加。五 联赛题目结构一试 70 分选择6题，填空4题 （每题7分）代数 几何 数论 组合（一般选填压轴）归纳知识点：实数化简；三角形的五心等方面是考察重点。但是其涵盖知识体系相对单一，有时候，选择题、填空题还是要用技巧性搞的；举特殊值；（08年的二次根式一题）二试 70分第一大题 一元二次方程和二次函数的互相转化、根的分布、整数根问题（冲刺奖项的必对大题）第二大题 几何综合题（冲刺一等奖的必对大题）考察点05 、06三线共点、梅涅劳斯、赛瓦、09几何计算 （四点共圆）、07，10 相似三角形.几何方面应该多下功夫，争取能够拿下第三大题 二试最后一题25分 以数论为基础和其他结合，思路清楚的话简单5分能拿下来六 竞赛题型 全国初中数学联赛每年4月举行，分为一试和二试。成绩公布的时间各省市不尽相同，北京市公布时间大约在五月底至六月。 第一试着重基础知识和基本技能，题型为选择题6题、填空题4题，共70分。第二试着重分析问题和解决问题的能力，题型为三道解答题，内容分为代数题、几何题、几何代数综合题或杂题，共70分，两试合计共140分。教学大纲中所列出的内容，是教学的要求，也是竞赛的要求。除教学大纲所列内容外，本大纲补充列出以下内容。这些课外讲授的内容必须充分考虑学生的实际情况，分阶段、分层次让学生逐步地去掌握，并且要贯彻“少而精”的原则，处理好普及与提高的关系，这样才能加强基础，不断提高。第一讲 实数的概念及性质一.知识链接:1、实数的分类 正有理数 有理数 零 有限小数和无限循环小数( , 这里、是互质的整数，且)实数 负有理数 正无理数 无理数 无限不循环小数 负无理数2、无理数在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一特点，归纳起来有四类：（1）开方开不尽的数，如等；（2）有特定意义的数，如圆周率，或化简后含有的数，如+8等；（3）有特定结构的数，如0.等；（4）某些三角函数，如sin60o等3有理数和无理数对加、减、乘、除的封闭的特性： 有理数对加、减、乘、除是封闭的，即任何两个有理数的和、差、积、商还是有理数； 无理数对加、减、乘、除不具有封闭性，即两个无理数的和、差、积、商不一定是无理数二经典例题【例1】解答以下各选择题:(1). (99年武汉市选拔赛试题) 设是一个无理数，且a、b满足abab+1=0，则b是一个( ) A小于0的有理数 B大于0的有理数 C小于0的无理数 D大于0的无理数（2）.（93年河北初中数学联赛）若都是有理数，则的值是（ ）.A.二者均为有理数 B.二者均 为无理数C. 一个为有理数，另一个为无理数 D.以上三种情况均有可能（3）.(95年湖北初中数学竞赛)今有四个命题：若两实数的和与积都是奇数，则这两数都是奇数；若两实数的和与积都是偶数，则这两数都是偶数；若两实数的和与积都是有理数，这两数都是有理数；若两实数的和与积都是无理数，这两数都是无理数.其中正确命题的个数为（ ）.A. 0 B. 1 C. 2 D.3.( 9 9年全国初中数学联赛) 有下列三个命题：若是不相等的无理数，则是无理数；若是不相等的无理数，则是无理数；若是不相等的无理数，则是无理数。其中正确命题的个数是( ).（A）0； （B）1； （C）2； （D）3。【例2】(全国初中数学联赛试题) 若a、b满足=7，则S的取值范围是 【例3】已知a 、b是有理数，且，求a、b的值 【例4】 解答以下两题：(1) (南昌市竞赛题)已知a、b为有理数，x，y分别表示的整数部分和小数部分，且满足axy+by21，求a+b的值(2) (江苏省竞赛题)设x为一实数，x表示不大于x的最大整数，求满足77.66x=77.66x+1的整数x的值注： 设x为一实数，则x表示不大于x的最大整数，x又叫做实数x的整数部分，有以下基本性质：(1)x1xx ； (2)若y x，则yx； (3)若x为实数，a为整数，则x+a= x+ a【例5】( 第十三届“希望杯”试题) 已知在等式中，a、b、c、d都是有理数，x是无理数，解答：(1)当a、b、c、d满足什么条件时，s是有理数；(2) 当a、b、c、d满足什么条件时，s是无理数 三经典练习1已知x、y是实数， ，若，则a= 2. (2002年全国初中联赛题) 一个数的平方根是和，那么这个数是 3方程的解是 4(济南市中考题) 请你观察思考下列计算过程：112121，；同样1112=12321，；由此猜想 5(江西省中考题)如图，数轴上表示1、的对应点分别为A、B，点B关于点A的对称点为C，则点C所表示的数是( )A B C D6( “希望杯”邀请赛试题) 已知x是实数， 则的值是( ) A B C D无法确定的7( “希望杯”邀请赛试题) 代数式的最小值是( ) A0 B C1 D不存在的8(山西省中考题) 若实数a、b满足，求2b+a1的值9(烟台市中考题) 细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题，；，；，； (1)请用含有n(n是正整数)的等式表示上述变化规律； (2)推算出A10的长； (3)求出Sl2+S22+S32+S210的值 10已知实数 a、b、c满足，则a(b+c)= 11( “希望杯邀请赛试题) 设x、y都是有理数，且满足方程，那么,xy的值是 12(黄冈市竞赛题) 已知正数a、b有下列命题： 若a=1，b1，则； 若，则； 若a2，b=3，则； 若a=1，b=5，则 根据以上几个命题所提供的信息，请猜想，若a=6，b=7，则 13. (重庆市竞赛题) 已知：，那么代数式的值为( )A B C D14(“五羊杯”邀请赛试题) 设x表示最接近x的整数(xn+0.5，n为整数)，则+的值为( ) A5151 B5150 C5050 D504915. (全国初中数学竞赛题) 设ab0，a1，N0)，则b叫做以a为底的N的对数，记作b=logaN 例如：因为23=8，所以log28=3；因为2-3=，所以log2=3 (1)根据定义计算: log3 81= ； log33= ； log3l= ； 如果logx 16=4，那么x= (2)设ax=M，ayN，则logaM=x；logaNy(a0，a1，N0，M，N均为正数)用logAM，logAN的代数式分别表示logaMN及loga，并说明理由 第二讲 二次根式的运算一.知识链接1.二次根式的定义和运算法则式子 (0)叫二次根式，二次根式的运算是以下列运算法则为基础 (1) (0)； (2) ()； (3) ()； (4) ,(0)2.二次根式有如下重要性质： (1)， (2) (0)， (3) ， (4) (5) 同类二次根式，有理化是二次根式中重要概念，它们贯穿于二次根式运算的始终，因为二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，二次根式除法、混合运算常用到有理化概念二次根式的运算是在有理式(整式、分式)运算的基础上发展起来的，常常用到有理式运算的方法与技巧，如换元、字母化、拆项相消、分解相约等二.经典例题【例1】(重庆竞赛题) 已知，则= 【例2】(武汉选拔赛试题) 化简，所得的结果为（ ） A B C D 【例3】计算： （1）； （2）； （3）； (4) 【例4】解答以下各题:(1) (北京竞赛题) 化简； (2) (“希望杯”试题) 计算 (3) (湖北“英才杯”竞赛题) 计算 【例5】(山东竞赛题) 已知，求的值三.经典练习1(四川竞赛题) 如果，那么= 2(成都中考题) 已知，那么的值为 3(天津选拔赛试题) 计算= 4(淄博中考题) 若 ab0，则等式成立的条件是 5(徐州中考题) 如果式子 化简的结果为，则x的取值范围是( ) Ax1 Bx2 C1x2 Dx 0 6如果式子 根号外的因式移入根号内，化简的结果为（ ） A B C D7已知，则的值为( ) A B C D8已知，那么的值等于（ ）A B C D3 9计算以下各题： (1)； （2）(北京数学竞赛题) ；（3） ；（4）(“希望杯”试题) 10(1)已知与的小数部分分别是a和b，求ab3a+4b+8的值； (2)设，n为自然数，如果成立，求n11(T1杯全国初中联赛题) 已知，那么= 12. (北京竞赛题) 若有理数x、y、z满足，则= 13.设，其中a为正整数，b在0，1之间，则= 14. (北京竞赛题) 正数m、n满足，则= 15. (全国初中联赛题) 化简等于( ) A54 B4一1 C 5 D1 16(武汉市选拔赛试题) 若，则等于( ) A B C1 D117计算以下各题：（1）（“希望杯”竞赛题） ； （2）（山东竞赛题） ； （3）（四川赛题） ； (4)； (5) (新加坡中学生数学竞赛题) 18（“祖冲之杯”邀请赛试题）(1)求证 ； (2) 计算 19(上海竞赛题 )(1)定义，求的值；(2)设x、y都是正整数，且使，求y的最大值 第三讲 勾股定理及其应用一.知识链接1、勾股定理: 直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即2、勾股定理的逆定理: 如果三角形的三边长a，b，c有关系，那么这个三角形是直角三角形。3、勾股数：满足不定方程的三个正整数a，b，c，称为勾股数。如果勾股数a、b、c满足（a, b, c）=1,则a、b、c叫做基本勾股数组。性质1.如果a、b、c是一组勾股数，则ka、kb、kc(k是正整数)也是一组勾股数。性质2.若a、b、c是一个基本勾股数组，则a、b、c不能同是奇数，也不能同是偶数，c不能为偶数。性质3.不定方程的基本勾股数组解a、b、c且a是偶数的公式为其中 m和n中一奇一偶。（罗士琳法则）性质4.如果k是大于1的奇数，那么k， ，是一组勾股数性质5. 如果k是大于2的偶数，那么k， ，是一组勾股数常见的勾股数有：（6,8,10）（3,4,5）（5, ，12，,13）（9,12,15）（7,24,25）（9,40,41）规律：（1）短直角边为奇数，另一条直角边与斜边是两个连续的自然数，两边之和是短直角边的平方。即当a为奇数且ab时，如果b+c=a2那么a,b,c就是一组勾股数.如 （ 3, 4, 5）,（5,12，,13）（7,24,25）（9,40,41）（2）大于2的任意偶数，2n(n1)都可构成一组勾股数分别是：2n,n2-1,n2+1 。如：（6,8,10）（8,15,17）等。4、常见题型应用：（1）已知任意两条边的长度，求第三边/斜边上的高线/周长/面积（2）已知任意一条的边长以及另外两条边长之间的关系，求各边的长度/斜边上的高线/周长/面积（3）判定三角形形状： a2 +b2c2锐角，a2 +b2=c2直角，a2 +b2c2钝角直角三角形判定方法：.找最长边； .比较长边的平方与另两条较短边的平方和之间的大小关系；.确定形状 （4）构建直角三角形解题二.经典例题【例1】(山东省中考题) 2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的勾股圆方图，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形(如图所示)如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b，那么(a+b)2的值为( ) A13 B 19 C25 D169 例1图 例2图 例3图【例2】(重庆市中考题) 如图，以等腰直角三角形ABC的斜边AB为边向内作等边ABD，连结DC，以DC为边作等边DCE，B、E在CD的同侧，若AB=，则BE= 【例3】(“祖冲之杯”邀请赛试题) 如图，P为ABC边BC上的一点，且PC2PB， 已知ABC45，APC60，则ACB的度数= 【例4】 如图，在RtABC中，ACB=90，CDAB于D，设ACb，BCa，AB=c，CD=h求证：（1） ；（2） ；（3） 以、为边的三角形，是直角三角形【例5】.（1） （90年全国初中联赛试题）中，边有100个不同的点，记 ( 1，2，100) 则 = 第(1)题图 第(2)题图 第(3)题图（2）（97年全国初中联赛试题）如图：已知A=B，AA1，PP1，BB1均垂直于A1B1，AA1=17，PP1=16，BB1=20，A1B1=12，则APPB等于（ ）A12 B13 C14 D15（3）(第七届希望杯初二试题).如图,P是等边三角形ABC中的一个点,PA=2,PB= ,PC=4,则三角形ABC的边长为 三.经典练习1(山西省中考题). 如图，AD是ABC的中线，ADC=45，把ACD沿AD对折，点C落在点C的位置，则BC与BC之间的数量关系是 第1题图 第2题图 第3题图2如上图，ABC是直角三角形，BC是斜边，将ABP绕点A逆时针旋转后，能与ACP重合，若AP3，则PP的长等于 3(武汉市选拔赛试题)如上图，已知AB=13，BC=14，AC=15，ADBC于D，则AD= 4.如下图在四边形ABCD中，A=60，B=D90，BC=2，CD=3，则AB=( ) A4 B5 C2 D 第4题图 第5题图5(北京市竞赛题如上图)在由单位正方形组成的网格图中标出了AB，CD，EF，GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是( ) ACD，EF，GH BAB，CD，EF CAB，CD，GH DAB，EF，GH6(湖北省预赛试题)如下图，在ABC中，AB=5，AC=13，边BC上的中线AD=6，则BC的长为 第6题图 第7题图 第8题图7(天津市竞赛题)如上图，用3个边长为l的正方形组成一个对称图形，则能将其完全覆盖的圆的最小半径为( )A B C D 8如上图，RtABC中，ACB90，CDAB于D，AF平分CAB交CD于E，交CB于F，且EGAB交CB于G，则CF与GB的大小关系是( ) A CFGB B CFGB CGFGB D无法确定9(“祖冲之杯”邀请赛试题)在锐角ABC中，已知某两边a=1，b=3，那么第三边的变化范围是( )A2c4 B2 c3 C 2 c D. c 10(武汉市选拔赛试题)ABC三边BC、CA、AB的长分别为a、b、c，这三边的高依次为、，若，则这个三角形为( )A等边三角形 B等腰非直角三角形 C直角非等腰三角形 D等腰直角三角形11如图，在RtABC中，A=90，D为斜边BC中点，DEDF，求证：12如图，已知ABC是等腰直角三角形，ABAC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DEDF，若BE=12，CF=5，求DEF的面积13如图，在ABC中，AB=AC，(1)若P是BC边上的中点，连结AP，求证：BPCP=AB2一AP2；(2)若P是BC边上任意一点，上面的结论还成立吗? 若成立，请证明，若不成立，请说明理由；(3)若P是BC边延长线上一点，线段AB、AP、BP、CP之间有什么样的关系?请证明你的结论14(河南省竞赛题)如图，ACB=90，AD是CAB的平分线，BC=4，CD=，求AC的长 15(烟台市中考题) (1)四年一度的国际数学家大会于2002年8月20日在北京召开大会会标如图甲它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形若大正方形的面积为13，每个直角三角形两直角边的和是5，求中间小正方形的面积(2)现有一张长为6.5cm宽为2的纸片，如图乙，请你将它分割成6块，再拼合成一个正方形(要求：先在图乙中画出分割线，再画出拼成的正方形并标明相应数据) 16(北京市竞赛题)如图，在四边形ABCD中，ABC=30，ADC=60，AD=CD，求证：BD2=AB2+BC2第四讲 位置与坐标一.知识链接1.平面直角坐标系及各象限内点的坐标符号:在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系y轴（纵轴）x轴（横轴）原点Oxy12345-4-3-2-131425-2-4-1-3第一象限第二象限第三象限第四象限注意:坐标轴上的点不属于任何象限。(,)(,)(,)(,)2. 点关于x轴、y轴或原点等对称点坐标的特征：.关于x轴的对称点为； .关于y轴的对称点为；.关于原点的对称点为； 关于的对称点为；.关于的对称点为； .关于点的对称点为。3.点到坐标轴、原点和直线的距离：（1）到x轴的距离等于； （2）到y轴的距离等于； （3）到原点的距离等于； （4）到直线的距离是.4.两点间的距离公式: 已知两点，则 .特别地，.若ABX轴,则; .若ABY轴,则.5. 分点坐标公式：已知，若点分线段为,则点的坐标为.（定比分点坐标公式）特别地，当点为线段的中点时，P点坐标为（中点坐标公式）.6.三角形重心坐标公式: ABC三顶点坐标为,则ABC的重心坐标为:.7.坐标变化与图形变化的规律：坐标（ x ， y ）的变化 图形的变化 或 被横向或纵向拉长（压缩）为原来的 a倍， 放大（缩小）为原来的 a倍 或 关于 y 轴或 x 轴对称 ， 关于原点成中心对称或沿 x 轴或 y 轴平移 a个单位， 沿 x 轴平移 a个单位，再沿 y 轴平移 a个单位二.经典例题例1. 解答以下各题：第1题图（2013年绵阳市中考）如图，把“QQ”笑脸放在直角坐标系中，已知左眼A的坐标是（-2，3），嘴唇C点的坐标为（-1，1），则将此“QQ”笑脸向右平移3个单位后，右眼B的坐标是 。 第2题图 第2题图如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，每移动一个单位，得到点A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0），那么点A4n+1（n为自然数）的坐标为 （用n表示）. 如图，动点P从（0，3）出发，沿所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第2013次碰到矩形的边时，点P的坐标为（）A（1，4）B（5，0）C（6，4）D（8，3） 第（3）题图 第（4）题图.在直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点且规定，正方形的内部不包含边界上的点观察如图所示的中心在原点、一边平行于x轴的正方形：边长为1的正方形内部有1个整点，边长为2的正方形内部有1个整点，边长为3的正方形内部有9个整点，则边长为8的正方形内部的整点的个数为（ ） A64 B49 C36 D25 例2. 解答下列竞赛试题：.(第二十三届“希望杯”) 如下图，在平面直角坐标系内，A、B、C三点的坐标分别是（0，0），（4，0），（3，-2），以A、B、C三点为顶点画平行四边形，则第四个顶点不可能在（ ）（A）第一象限 （B）第二象限（C）第三象限 （D）第四象限FEMGDACB 第题图.（2013年全国初中数学联赛初二组) 如图，已知正方形ABCD的边长为4，M点为CD边上的中点，若M点是A点关于线段EF的对称点，则等于（ ）A、 B、 C、2 D、(第二十四届“希望杯”)点和点都在直线上，则和的大小关系是（ ）（A） （B） （C） （D）不能确定的.(四川省竞赛题) 若关于的方程组的解为坐标的点在第二象限，则符合条件的实数m的范围是（ ）.A. B. C. D. (澳洲数学竞赛题) 设平面直角坐标系的轴以1cm作为长度单位，PQR的顶点坐标为P(0，3),Q(4,0),R(k,5),其中0k0)；（2）沿y轴向上（下）平移h个单位，则 (h0).（3）关于x轴对称的函数是：；（4）关于y轴对称的函数是：；（5）关于原点对称的函数是：。6.一次函数的保号性：由于一次函数y随x增大而一直地增大（或减小），所以当时： ，或。二.经典例题例1.（2006年“信利杯”数学竞赛题）已知直线经过(2，0)和(0，4)，把直线沿轴的反方向向左平移2个单位，得到直线，则直线的解析式为 .例2.（2006年全国初中联赛决赛试题）设0k1，关于x的一次函数，当1x2时的最大值是（ ）（A）k （B） （C） （D）例3（2005年辽宁省初中数学竞赛题）为鼓励用户节约用电，某市电力公司制定新的民用电收费标准，每月用电量x(度)与应付电费y(元)的关系如图所示(1)根据图象，分别求出当0x50和x50时，y与x的函数关系式；(2)当每月用电量不超过50度时，收费标准是怎样的?当每月用电量超过50度时，收费标准是怎样的?例4（2013年四川省初中数学联赛试题）已知：为三个非负实数，且满足，设，则的最大值是（ ）（A） （