第二类曲线积分

第二类曲线积分,第二节,第十章,一、第二类曲线积分的概念及性质,二、两类曲线积分之间的联系,三、第二类曲线积分的计算,一、第二类曲线积分的概念及性质,1.问题引入,“分割，近似,求和,取极限”,变力沿曲线所作的功.,设一质点受如下变力作用,L:AB,解决办法:,求移动过程中变力,联想：恒力沿直线做功,所作的功W.,2取近似,把L分成n个小弧段,有向小弧段,近似代替,则有,所做的功为,则,用有向线段,在上任取一点,1分割,4取极限,(其中为n个小弧段的最大长度),3求和,变力沿曲线所作的功,设L为xOy平面内从A到B的一条,有向光滑弧,若对L的任意分割和在局部弧段上任意取点,都存在(与分割和取点无关),在L上定义了一个有界向量函数,极限,2.定义10.2,F(x,y)在有向曲线弧L上的第二类曲线积分,或对坐标的曲线积分，记作,则称此极限值为向量值函数,积分曲线,第二类曲线积分的向量形式,第二类曲线积分的坐标形式,对x的曲线积分;,对y的曲线积分.,注,1关于第二类曲线积分的几个术语,2若为空间曲线弧,3如果L是闭曲线,则对坐标的曲线积分记为,4对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向!,5变力沿曲线所作的功,性质,(3)有向性:用L表示L的反向弧,则,这是第一类和第二类曲线积分的一个重要区别,对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向.,二、两类曲线积分之间的联系,起点：Aa，终点：Bb,定理,曲线L的方程的向量形式：,其指向与参数t增大时曲线L上的点移动,的方向一致.,证,沿着L的方向移动时，参数t增加.,于是,另一方面，,一方面,沿着L的方向移动时，参数t减少.,综合(1)、(2)，得,可以推广到空间曲线上,从而,注,将积分,化为对,弧长的积分,解(方法1),其中L沿上半圆周,例1,切向量,与L方向一致.,其方向余弦：,切向量,与L方向相反.,与L同方向的切向量：,其方向余弦：,.,(方法2),(方法3),三、第二类曲线积分的计算,定理10.2设L是一条平面有向光滑曲线弧，,其参数方程为,则有,首先证明：,由两类曲线的关系，得,证,再由第一类曲线积分的计算法，得,同理可证,即可；,代入上式，且同时换限.,注1,a不一定小于b!,即计算定积分：,2如果L的方程为,3对空间光滑曲线弧:,思考,定积分,第二类曲线积分,是！,是否可看作第二类曲线积分的特例?,其中L为沿抛物线,解(方法1)取x为参数,则,从点,的一段.,例2计算,注意积分路径的表示形式,(方法2)取y为参数,则,注意积分路径的表示形式,其中L为,(1)半径为a圆心在原点的,上半圆周,方向为逆时针方向;,(2)从点A(a,0)沿x轴到点B(a,0).,解(1)L:,(2)L:,则,则,例3计算,沿不同的路径积分，其结果不同,其中L为,(1)抛物线,(2)抛物线,(3)有向折线,解(1)原式,(2)原式,(3)原式,例4计算,沿不同的路径积分，所得到结果相同,例5计算,其中是从点,A(3,2,1)到点B(0,0,0)的直线段AB.,解直线AB为:,内容小结,1.定义,2.性质,3.计算,4.对坐标的曲线积分必须注意积分弧段