随机过程-方兆本-第三版-课后习题答案

习题4以下如果没有指明变量的取值范围，一般视为，平稳过程指宽平稳过程。1. 设，这里为上的均匀分布.（a） 若，证明是宽平稳但不是严平稳，（b） 设，证明既不是严平稳也不是宽平稳过程.证明：（a）验证宽平稳的性质(b) 2. 设是平稳序列，定义为，证明：这些序列仍是平稳的.证明：已知， 显然，为平稳过程.同理可证，亦为平稳过程.3.设这里和为正常数，k=1，.n; 是（0,2）上独立均匀分布随机变量。证明是平稳过程。证明：E=，=0Dcos(=1/2-cov)=)=1/2costE=0,D()=.为常数 =只与t有关，与n无关。从而知道.n=0,1,2.为宽平稳的。4.设，k=1,2n是n个实数。试问与之间应满足这样的条件才能使：Solution:,要求 要求5. 设是一列独立同分布随机变量序列，令求的协方差函数和自相关函数，p取何值时，此序列为平稳序列？Solution :协方差函数 自相关函数：当p=时，但协方差函数 始终与n,n+m有关，还是不平稳！6.设是一个平稳过程，对每一个，存在，证明对每个给定的，与不相关，其中.Proof. ，. . ，. 7.设是Gauss过程，均值为0，协方差函数.令， （i） 求和； （ii）求的密度函数及； （iii）求与的联合密度.Solution. （i）. （ii）. . （iii），8.设是一个严平稳过程，为只取有限个值的随机变量.证明仍是一个严平稳过程.Proof. =p(X(-)，X(-)（,，）)=.p(X(- ak，X(- ak)(, )=.p(X(-h- ak),X(-h- ak)（，）)=p(y(-h),y(-h)(,，)=(，）即知为严平稳.9、设是一个严平稳过程，构造随机过程Y如下：Y（t）=1,）若X（t）1，若X（t）0;-1，若X（t）0证明Y（t）是一个平稳过程，如果进一步假定是均值为0的Gauss过程（平稳），证明为证明：P（Y(),Y()）=（，）=P(X()，X（）中有的大于0，有的小于等于0)=P (X(+h)，X（+h）相应于X()，X（）中的符号不变)=P（Y(+h),Y(+h)）=（，）即亦为严平稳的.EX(t)=0,E=,X(t)N(0, )EY(t)=1*P(Y(t)=1)- 1*P(Y(t)=-1)=P(X(t)0)- P(X(t) 0)=- =0=EY(t+)Y(t)=P(X(t+)0, X(t)0)+P(X(t+)0, X(t) 0)- P(X(t+)0, X(t)0)+ P(X(t+)0, X(t) 0) +极坐标变换：令注：验证即可！10.设是一个复值平稳过程，证明：Proof：11.设是零均值的平稳Gauss过程，协方差函数为，证明：，其中为标准正态函数。Proof：12.设x(t)为连续平衡过程,均值m未知，协方差函数=,.对固定的，令=。证明：（即是的无偏估计）以及。Proof: ， = = =13设为平稳过程，以及的n阶导数存在，证明是平稳过程。Proof: 由知 为平稳过程 14证明定理4.1中关于平稳序列均值的遍历性定理。Proof: 为均值遍历性 均值遍历性：即 令, 则由均值遍历，知知 (A)可推出 （B）由（B）很容易推出（A）15、 如果是均值为0的联合正态随机向量，则proof:协方差阵 矩母函数 可知：16、设为随机变量，其概率密度函数为，设在给定下是上的均匀分布，证明的均值遍历性。Proof:,由推论4.2知：是均值遍历的17、设为白噪声序列，令则从而证明为平稳序列。求出该序列的协方差函数，此序列是否具有遍历性？Proof:易知：，因，故为均值遍历的。以下没有特殊声明，所涉及的过程均假定均值函数为零。18我们称一个随机过程X为平稳Gauss-Markov过程，如果X是平稳Gauss Process，并且具有Markov性，即对任意的，任意实数有。试证明：零均值的平稳Gauss-Markov过程的协方差函数具有这种形式，这里c为常数。Proof：19.根据markov性，f（xt3xt1， xt2）=f（xt3 xt2）知R（t3-t1）= R（t2-t1）R（t3-t2）, R(-)=R().即R(0)R(+h)=R()R(h) （0,h0） 可知：R()=Ce-a R(+h)/R(0)= R()/R(0)* R(h)/R(0)即f（x）= R(x)/R(0)= e-atR(0)=2 C=2 R()R(0)20.设X（t）为平稳过程，令y（t）=X（t+a）-X（t-a），分别以Rx、Sx和Ry、Sy记随机过程X和Y的协方差函数和功率谱密度函数，证明。Ry（）= 2Rx（）-Rx（+2a）-Rz（-2a），Sy（）= 4Sx（）sin2awProof Ry（）=Cov（y（t+），y（t）=E（x（t+a）-m）-（x（t+-a）-m）*（x（t+a）-m）-（x（t-a）-m）。其中m=EX（t）=E（X（t+a）-m）（X（t+a）-m）-E（X（t+a）-m）（x（t-a）-m）- E（X（t+-a）-m）（X（t+a）-m）+E（X（t+-a）-m）（x（t-a）-m）= Rx（）-Rx（2a+）-Rx（-2a）+Rx（）=2 Rx（）- Rx（2a+）- Rx（-2a）Sy（）= Ry（）e-jw= （2Rx（）- Rx（+2a）-Rx（-2a）e-jw =2Sx（w）- Rx（k）e-jwk *ej2aw- Rx（）e-jwk *e-j2aw =2Sx（w）-2cos（2aw）Sx（w）=4Sx（w）sin2（aw）21、设平稳过程X的协方差函数，试研究其功率密度函数的性质。Solution: 由Wiener-Khintchine公式知，功率谱密度函数 22、设平稳过程的协方差函数，求功率谱密度函数.Solution: 31. 设为平稳序列，协方差函数为.(1) 求的形如的最小均方误差方差预报，a为待定常数(2) 求的形如的最小均方误差方差预报，a，b为待定(3) 上述两个预报中，哪个预报的均方误差要小些？试用表示它们的差(4) 求的形如,的最小均方误差内插，（a,b为待定）(5) 设，其中N为固定常数，求的形如的最小均方误差预报，其中a,b为待定常数。Solution：(1) , (2) (3) = (4) (5) 差4-1635.设Xn,n=0,1,.为AR（p）模型： n=,-1,0,1,试导出Yule-Walker方程:Proof. 36.考虑AR（p）模型： n=,-1,0,1,假定 的根都在单位圆外，求功率谱密度函数Proof S(w)满足上述式子37.考虑如下AR(2)模型：（1） （2）试用Yule-Walker方程导出协方差函数，证明它们的谱密度函数S(w)在（-，）上的图。Proof （1）类似的， 38. 求下列自回归