随机变量及其概率分布

第二章 随机变量及其概率分布【内容提要】一、随机变量及其分布函数设是定义于随机试验的样本空间上的实值函数，且，是随机事件，则称为随机变量，而称为其概率分布函数。随机变量的概率分布函数具有如下性质:非负性: ，有；规范性: ；单调性: 若，则；右连续性: ，有。二、离散型随机变量1离散型随机变量及其概率分布律 若随机变量只取一些离散值，且取到这些值的概率满足，则称为离散型随机变量，而称为其概率分布律，记为，也可用下表来表示: 而其概率分布函数是单增、右连续的阶梯形函数。2常用离散型分布单点分布: 为常数；二项分布: ； 特别当时，二项分布退化为两点分布；超几何分布: ；分布: ； 特别当时，分布退化为几何分布；分布: 。三、连续型随机变量1连续型随机变量及其概率密度函数 若随机变量的一切可能取值充满了某一区间，且存在一个实值函数，使其概率分布函数，且，则称为连续型随机变量，而称为其概率密度函数，记为。连续型随机变量的密度函数与分布函数之间有满足。2常用连续型分布分布:设为常数，则分布的密度函数为:,特别当时，分布即均匀: ；分布:设为常数，则分布的密度函数为:,特别当时，分布即指数分布: ；正态分布: 。四、随机变量函数的分布设为随机变量，而为连续的确定型函数。若为离散型随机变量，且，则也是离散型随机变量，其概率分布律为:；若为连续型随机变量，且，则也是连续型随机变量，其概率密度函数为: 。【第二章作业】1、从的自然数中随机地取出个数，用表示所取的个数中的最大值，求其概率分布。解:发生所取的个数中有一个是，其余个是从中取到的，故，即2、将一枚均匀的硬币连掷次，用表示出现的正、反面次数之差，求其概率分布。解:用表示将一枚均匀的硬币连掷次时，正面出现了次，则，即3、设随机变量的概率分布如下，求:012345解:由题设知所求概率为:，。4、设随机变量的概率分布为，求常数。解:由得。5、设一辆汽车在开往目的地的道路上需经过盏信号灯，每盏信号灯以的概率允许或禁止汽车通过，用表示汽车首次停下时，它已通过的信号灯的数目，求其概率分布。解:由题意知，即012346、设一张考卷上有5道选择题，每道题列出4个可能的答案，其中只有一个答案是正确的，某学生靠猜测至少能答对4道题的概率是多少?解:。7、对同一目标进行次独立射击，每次射击的命中率为，问这次射击中最可能命中多少次?其相应的概率是多少?解:，其中，由于，即在内是单调递增的，而在内是单调递减的，故的最大值点为:。 对于本题，由于，故的最大值点为， 即次射击中最可能命中132次，且相应的概率为: 。注:当时，有斯特林公式 。8、设随机变量服从参数为的分布，且，求。解:由知，而。9、对同一目标进行独立射击，每次射击的命中率为，直到命中目标为止，用表示命中首次目标时的射击次数，求其概率分布，并计算至少需射击2次才能命中目标的概率。解: ，而。10、袋中有5个同样大小的球，分别给其编号为，从中同时取出3个球，用表示所取的3个球上号码的最大值，求其概率分布及分布函数。解:发生所取的3个球中有一个的号码是，其余2个的号码是从中取到的，故，即345 其分布函数及其图形如下： ，11、设随机变量的分布函数为，求常数。解:由分布函数的性质得: ，解之得，即。12、设随机变量的概率密度函数为，求常数及。解:由概率密度函数的性质得: ，故，而。13、设某电子元件寿命的概率密度函数为，求5个同类型的电子元件在使用的前150小时内恰有2个需要更换的概率。解: ，。14、设随机变量的分布函数为，求其概率密度函数。解: 。15、设随机变量的概率密度函数为，求其概率分布函数。解: 。16、设公共汽车站从上午7:00点到晚上8:00点间，每隔15分钟来一辆班车，若某乘客到达车站的时间在上午7:00点到7:30内均匀分布，求其候车时间不超过5分钟的概率。解: 由题设知该乘客的到站时间、候车时间之间的关系为:，而，故。17、设随机变量，求方程有实根的概率。解: 由题设知，故方程有实根的概率为:。18、设打一次电话所用的时间服从的指数分布，若某人刚好在你前面走进公用电话间，求你需要等待分钟的概率。解: 由题设知，故所求的概率为:。19、设，求。解: ，。20、设，求。解: 由于，故，从而，。21、设某地区的月降雨量服从的正态分布，求从某月起连续10个的降雨量都不超过的概率。解: 由于，故，从而所求概率为:。22、设随机变量的概率分布律如下，求的概率分布律。0269191523、设随机变量的概率分布律如下，求的概率分布律。012解:由题意知的概率分布律为:01424、设随机变量的概率分布律为，求的概率分布律。解:由题意知的概率分布律为: , 。25、设随机变量的概率密度函数为，求的概率密度函数。解: 由题意知的概率分布函数及其概率密度函数分别为: ， 。26、设随机变量的概率密度函数为，求的概率密度函数。解: 由题意知的概率分布函数及其概率密度函数分别为: ， 。27、设随机变量的概率密度函数为，求的概率密度函数。解: 由题意知的概率分布函数及