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第二章一阶微分方程的初等解法,2.1变量分离方程与变量变换,先看例子：,.,定义1,形如,方程,称为变量分离方程.,.,一、变量分离方程的求解,这样变量就“分离”开了.,.,例：,分离变量:,两边积分:,.,注:,解:,积分得:,.,故方程的所有解为:,.,解:,分离变量后得,两边积分得:,整理后得通解为:,.,解:,将变量分离后得,两边积分得:,由对数的定义有,.,即,故方程的通解为,.,例4,解:,两边积分得:,因而通解为:,再求初值问题的通解,所以所求的特解为:,.,.,二、可化为变量分离方程类型,（I）齐次方程,.,(I)形如,方程称为齐次方程,求解方法:,.,解:,方程变形为,这是齐次方程,即,将变量分离后得,.,两边积分得:,即,代入原来变量,得原方程的通解为,.,解:,方程变形为,这是齐次方程,将变量分离后得,.,两边积分得:,整理后得,变量还原得,故初值问题的解为,.,(II)形如,的方程可经过变量变换化为变量分离方程.,分三种情况讨论,为齐次方程,由(I)可化为变量分离方程.,.,这就是变量分离方程,.,作变量代换(坐标变换),则方程化为,为(1)的情形,可化为变量分离方程求解.,.,解的步骤:,.,解:,解方程组,.,将变量分离后得,两边积分得:,变量还原并整理后得原方程的通解为,.,注:上述解题方法和步骤适用于更一般的方程类型.,此外,诸如,.,以及,.,解:,代入方程并整理得,即,分离变量后得,两边积分得,变量还原得通解为,.,三、应用举例,例8、雪球的融化设雪球在融化时体积的变化率与表面积成比例，且在融化过程中它始终为球体，该雪球在开始时的半径为6cm，经过2小时后，其半径缩小为3cm，求雪球的体积随时间变化的关系。,解:,根据球体的体积和表面积的关系得,.,分离变量并积分得方程的通解为,由初始条件得,代入得雪球的体积
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