整式乘除与因式分解复习课件

整式乘除与因式分解复习课件 整式乘除与因式分解讲义 一、知识要点： 1.乘方公式： ?am?n?am?an?ab?am?na0?a?0) n m n 2.单项式与单项式相乘的法则：。 3. 乘法公式： 单?多：m(a?b?c)?反过来am?bm?cm? 提公因式 计算22 化平方差：(a?b)(a?b)? 反过来：a?b?简 多?多：(x?p)(x?q)= 反过来x2?(p?q)x?pq? 十字相乘 因式分解 完全平方：(a?b)2=反过来：a2?2ab?b2=(a?b)2a2?2ab?b24.把一个多项式化为的形式，这样的变形叫因式分解（或分解因式）。 5.因为(?x)2?x2所以(m?n)2?(n?m)2；因为(?x)3?x3所以(m?n)3?； 6. 单项式?单项式的法则： 。 7. 多项式?单项式公式：(am?bm?cm)?m? 。 二、重点题型巩固练习： 1幂的运算 （1）同底数幂相乘，底数不变，指数相加。am?an?am?n（m、n为正整数） 2522 1）计算 a?a5(-1)(-1)=-a(-a)= 1? ? ? ?1?1?3?3?3? m 436 ?x?y?y?x?y?x? 2 3 2 （2）若5?2,5 n ?3,求5 m?n?3 = .。若2n?2?64，则n= .?3?3?xx?3?2?5 （3）用简便方法计算?4?2?4?10（4）?m-n?4, 2 4? （5）a?a ? ?m?n?3?8，则?m?n? 。 ? ? ?a? 3 ?a?5?a? ?a 12 n (2)幂的乘方:幂的乘方，底数不变，指数相乘。?am?amn（m、n为正整数） 1）计算?102?x5?an?2? ?x?y? 3 2 3 ? 34 ? ?（2）若a 2n?1 ?5,求a 6n?3 的值。（3）已知n为正整数，且x 2n ?3,求9x ? 3n 2 的值。 3 （4）计算 ?2? ?3? 2 2?x3?x4?x4?x5?x7= 4 2 （5）如果2?8n?16n?2222，求n的值。（6）已知3m?6，9n?2，求32m?4n?1的值。 (3)积的乘方:积的乘方，等于把积中每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 ?ab?n nn ?ab（n为正整数） 12?1）计算 ? ?ab? ?2 ? 4 ?1? ? ?2ab? ? 3 xx ?2? ?2 xx ? xx xx 0.125 20 ?4 20 ?2 20 ?6x ? 2 ? 2 ?3x? 3 2? ?x?0.5?3? 3?3? ?2? 11? ?（2）若?anbmb?a9b15,求2m?n的值。 3 （3）比较375与2100的大小（4）已知P=?ab3?,那么?P2=（5）33? 2? 2 6?15 (4)同底数幂的除法:同底数幂相除，底数不变，指数相减。 （m、n为正整数，mn，a?0） 1）计算?x?x?xy?xy?a10?a6?8 3 4 2 ?a?b?a?b?a?b?a3?a4?a2?a3?8 4? 333 （2）已知am?6,an?5,ap?2,则am?n?p?3x?5,3y?2,求32x?3y 。 （3）计算（1）27m?9m?3?x?2y? a b c ? 33 ?2y?x? 24 ?（4）已知2a-3b-4c=4,求4?8?16?4的值。 2.整式的乘法（1）单项式与单项式相乘 将它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式中出现的字母，则连同它的指数一起作为积的一个因式。 例题：（1）计算?2xy练习：（1）? 2 ?3xy?5xy? 22 3 ?x?y?2?10 4 3 n ? 2 ?15?10?6 ?2a ?4ab ?2x?2? 2 ? 2 ?12xy 3 13?（2）先化简，在求值?ab?2abc ?2? ? 3 ?1?1? ?a?bc?，其中a=-1,b=1,c=-1 ?2?8? 如果单项式?3x2a?by2与1 3x 3a?b y 5a?8b 是同类项，那么这两个单项式的积为。 （2）单项式与多项式相乘 将单项式分别乘以多项式的每一项，再将所得的积相加。 1）计算2xy?x?xy?y 2 2 ? a 3 ?2a?3a?4b?5c? （2）已知3a?2a?5?2a?1?3a?26，则a= 。 （4）已知?2x?3x2?ax?6?3x3?x2中不含有x的三次项，试确定a的值。 2 （5）当，x? 16 求代数式xx?6x?8?xx?8x?10?2x?3?x?的值。 2 2 ? （7）解方程：2x?x?1?x?2x?5?12 （8）解不等式：2x(x?1)?x(3x?2)?2x2?x2?1 （3）多项式与多项式相乘 先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 （a+b）(m+n)=am+bm+an+bn 1）计算 （2x-3y）(4x+5y)= 2(2a-5)(3a2?2a?1)= （2）化简?a?4?a?3?a?1?a?3?，并计算当a? 13 时的值。 （3）如果a2?a?1，那么（a-5）。 （4）如果x+q与x+0.2的积中不含有x项，则q的值为 。 （5）若使x?x2?a?3x?2b?x3?5x?4恒成立，则 （6）已知x=(a+3)(a-4)，y=(2a-5)(a+2)，比较x,y的大小。 3.乘法公式(1)平方差公式： 两数和乘以这两数的差，等于这两个数的平方差。?a?b?a?b? ?a2?b2 1）计算(4x+5y)(4x-5y)(-4x-5y)(-4x+5y) (m+n+p)(m+n-p) m+n-p)(m-n+p)?a2?b2?a2?b2? ?a?b?a?b?a2?b2?a4?b4? 23 13 （2）用简便方法计算10397 14?15 xx 2 xx?xx?1 112108 （3）计算 ?1? ? ? 1?1?1?1?1? 1?1?1?1? 22222 2?3?4?9?10? y x （4）已知x?y?12，x+y=6,求x?y的值。 (2)完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和加上（或减去）这两数积的2倍。 22 ?a?b?2?a?2ab?b ?a?b?a?2ab?b 2 2 2 2 2 2 2 2 1）计算 ?3x?2y? ?3a?2b? ?a?b?c? ?a?b?a?b? （2）用简便方法计算299 101 （3）填空?a?b?a?b? 2 2 22 ? ?a?b?2 2 ?a?b? 2? a? 2 1a 2 1? ?a? a? 2 ? 1? ?a? a? ? 112214 ?1）?n?mn?_?mn?_? 949?3? 2 （2）如果4x2?kx?25是一个完全平方式，那么。 （3）已知a2?b2?13,ab?6，则?a?b? _, 2 2 2 ?a?b?2 ?_ 。 （4）已知?a?b?7,?a?b?4，则a2?b2?_,ab?_. （5）已知x? 1x ?3,则x? 2 1x 2 ?_. 2 （6）已知a,b,c为ABC的三边，试确定?a2?b2?c2?4a2b2的符号。 4整式的除法（1）单项式除以单项式 把系数、同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式中出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。 ?5 1）计算?axy?axy ?6 2 4 3 2 ?45 ? ?32abc?16ab? ? 2 ?332?ab? ?8? 2 ?2?103?2?103? ?a?b?a?b? 2 5 2 （2）化简x18?x3? ? 23 ? ?x 2 ?x?3 ?x ? 2 ? 2 （3）已知有四个单项式：?2x2y,2x3y2,? 4xy2,3xy，请你用加减乘除四种运算中的一种或几种，使它们的结果为x2，请你写出算式。 （2）多项式除以单项式 先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。 1）计算?8x2y?4x4y3?6x2y? ?a2?2ab?b2?a?b? ?x?y?x?y? 2 ? 2 ?2xy ? 3 3 2 2 （2）化简求值?x?y?x?y?x?y?2x，其中x=3,y=1.5。 2 ? （3）若多项式M与? xy2 的乘积为?4xy?3xy? 2 xy2 ，则M为 （4）长方形的面积为4x?6xy?2x，若它的一条边为2x，则它的周长是。 （5）已知多项式3x?ax?bx?1能被x?1整除，且商式为3x+1，求?a?的值。 3 2 2 b 5因式分解() am+bm-1=m(a+b)-1 x2?5x?4?x?x?5? ? 4? ?x? 2 2 ?x?4?x?4?x?16 a2abb 22 (a+b)x2?x?6?x?2?x?3? （2）公因式：多项式ma+mb+mc中的每一项都含有一个相同的因式m，我们称之为公因式。 3xy,2xy,?5xyz的公因式。 2 3 2 3 2 （3）提取公因式法：把公因式提出来，多项式ma+mb+mc就可以分解成两个因式m和（a+b+c）的乘积，这种因式分解的方法，叫做提取公因式法。 1）用提取公因式法分解因式 ?4a3?16a2?26?x?m?x?y?m?x?m2(a2?b2)?mn(a2?b2)?mp(a2?b2) （2）用简便方法计算 999（3）如果3x2?mxy 2 2 ?999 13.7913.7111.3720 ?2? 2 xx ?2? xx ?3xx?4y13 ?，那么m的值为x 32 xyz?3xyz? 2 2 n?2 ?3x n?1 （4）当x?2y?3z?,xyz?2，求 92 xyz 2 的值。 （4）公式法：将乘法公式反过来用，对多项式进行因式分解的，这种因式分解的方法成为公式法。 1）用平方差公式分解因式 49 a?0.01b ?x?y?9y 2 2 2 2 （2）用简便方法计算 535 2 ?465 9.910.1 2 1000252 2 2 2 ?248 2 （1）分解因式 ?x?a?x?b? 16?x?y?9?x?y? 2 2 2 1）用完全平方公式分解因式 x?x?（2）用简便方法计算： 202 2 2 14 ?x2?4x?8?x2?4x?16 2 2 ?98?202?196 99?101? 10001 1）分解因式 x2?y2?6x?9 ?x2?4y2?16x2y2 2 （2）已知a,b,c是ABC的三条边，判断?a?c?b2的值的正负。若a,b,c满足 2 a?c?2b?b?a?c?0，判断ABC的形状。 2 2 （5）十字相乘法：x?(a?b)x?ab=(x?a)(x?b)（a、b是常数） a1a2x?a1c2?a2c1?c1c2?a1x?c1?a2?c2? 2 2 6x?x?2 5x?6xy?8y 2?a?b?7?a?b?3 2 222 整式乘除复习题 练习一：同底数幂的乘法 1、a?a=_ ； 2、10?10?10=_ ；3、?m?m?=_； 2 3 2 6 5 4、a 2n ?a n?1 5、8?2?26、?x?y?y?x?x?y?=_ _ 3 5 5 2 整式的乘除与因式分解全章复习与巩固 要点一、幂的运算 1. 同底数幂的乘法：加. 2. 幂的乘方：3. 积的乘方：4 .同底数幂的除法： ( 为正整数)；幂的乘方，底数不变，指数相乘. ( 为正整数)；同底数幂相乘，底数不变，指数相 (为正整数)；积的乘方，等于各因数乘方的积. (0, 为正整数，并且 ). 同底数幂相除，底数不变，指数相减. 5. 零指数幂： 即任何不等于零的数的零次方等于1. 要点诠释：公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式，还可以表示多项式；灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁 要点二、整式的乘法和除法 1. 单项式乘以单项式 单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式. 2. 单项式乘以多项式 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即 ( 都是单项式). 3. 多项式乘以多项式多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即 . 要点诠释：运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项前面的“”“”号是性质符号，单项式乘以多项式各项的结果，要用“”连结，最后写成省略加号的代数和的形式根据多项式的乘法，能得出一个应用比较广泛的公式： . 4. 单项式相除 把系数、相同字母的幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式 要点三、乘法公式 1. 平方差公式： 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.要点诠释：在这里， 既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方. 2. 完全平方公式： ； 两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍. 要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍 要点四、因式分解 把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式. 因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项法等. 要点诠释： 落实好方法的综合运用： 首先提取公因式，然后考虑用公式；两项平方或立方，三项完全或十字；四项以上想分组，分组分得要合适；几种方法反复试，最后须是连乘式； 因式分解要 _，一次一次又一次 类型一、幂的运算 1、计算下列各题：（1） （3） （2） （4） 【思路点拨】按顺序进行计算，先算积的乘方，再算幂的乘方，最后算同底数的幂相乘.【与解析】解：（1 ） （2 ） （3） （ 4 ） 【总结升华】在进行幂的运算时，应注意符号问题，尤其要注意系数为1时“”号、括号里的“”号及其与括号外的“”号的区别 【变式】当【】 ，4时，求代数式的值 解： 类型二、整式的乘除法运算 2、解下列不等式 （1） （2） 【答案与解析】 3、已知 ， 解：（1） （2） ， ， ， 【升华】利用乘法法则进行去括号、合并同类项，按照解一元一次不等式的方法求解求的值 【思路点拨】利用除法与乘法的互逆关系，通过计算比较系数和相同字母的指数得到 的值即可代入求值 【答案与解析】解：由已知 即 解得 所以 ， ， 的值 ，得， ， 【升华】也可以直接做除法，然后比较系数和相同字母的指数得到类型三、乘法公式 4、对任意整数，整式 是否是10的倍数？为什么？ 【变式】解下列方程(组 )： 【答案】 解：原方程组化简得 5、已知 ， ，解得 ，求： (1) ；(2) 的关系. 【思路点拨】在公式 【答案与解析】解：（1 ） （2） ， ， 中能找到 整式乘除与因式分解复习经典题 例1（在下列运算中，计算正确的是（ ） 235326(a)?aa?a?a（A） （B） （C）a?a?a （D）(