学而思-小升初第13讲-计数的方法与原理

学习改变命运，思考成就未来！ 联系电话：小升初名校真题专项测试-计数的方法和原理测试时间：15分钟 姓名_ 测试成绩_1、将一些数字分别填入下列各表中，要求每个小格中填入一个数字，表中的每横行中从左到右数字由小到大，每一竖列中从上到小数字也由小到大排列。(1)将1至4填入表1中，方法有_种；(2)将1至6填入表2中，方法有_种； （03圆明园杯数学竞赛试题）解：2种：如图，1和4是固定的，另外两格随便选，2种；5种：1和6是固定的，其余的不确定；2、小明有8张连在一起的电影票(如下图)，他自己要留下四张连在一起的票，其余的送给别人.他留下的四张票可以有种不同情况. （04试验中学入学测试题）【解】：四张构成正方形的有3种，3张竖的连在一起的有123对4、5、6。456对1、2、3、7、8总共有8种。3张横的连在一起的有368对2、5、7。2、5、7对3、6、8、1、4共8种。所以总共8+8+3=19种。3、用5个12的小长方形去覆盖25的方格网，一共有种不同的覆盖方法。（迎春杯试题）【解】：5个12的小长方形都是竖直的时候有1种，3个竖直的时候剩下的要横着放，这样有4种，1个竖直的时候，有3种，所以总共只有8种。总结：这题我是这样总结的：若用12的小长方形去覆盖2N的方格网，则设方法数为An，那么A1=1，A2=2，N3时。后面的方法数都是前面的两种数目和。这样A3=1+2=3，A4=2+3=5，A5=3+5=8种。4、某小学有一支乒乓球队，有男、女小队员各8名，在进行男女混合双打时，这16名小队员可组成对不同的阵容. （03年三帆中学入学测试题）【解】先把男生排列起来，这就有了顺序的依据，那么有8名女生全排列为8！403205、某校高二年级共有六个班级，现从外地转进4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为多少_。 （04年人大附中分班测试题）【解】：先选学生，这样我们可以从4人中先选2人，这样总共有432=6种，剩下的学生只能在一起；再排学生，这样第一组选出的学生有6种选择，第二组选出的学生有5种，所以总共有665=180种。6、有甲、乙、丙三种商品，买甲3件，乙7件，丙1件，共需32元，买甲4件，乙10件，丙1件，共需43元，则甲、乙、丙各买1件需_元钱？ (05年首师大附中测试题) 【解】：3甲+7乙+丙=32 4甲+10乙+丙=43组合上面式子，可以得到：甲+3乙=11，可见：甲+乙+丙=4甲+10乙+丙-3甲-9乙=43-311=10。7、用19可以组成_个不含重复数字的三位数：如果再要求这三个数字中任何两个的差不能是1，那么可以组成_个满足要求的三位数 （05年人大附中入学测试题）【解】1) 987=504个2）504-（6+5+5+5+5+5+5+6）6-76=210个（减去有2个数字差是1的情况，括号里8个数分别表示这2个数是12，23，34，45，56，67，78，89的情况，6是对3个数字全排列，76是三个数连续的123 234 345 456 567 789这7种情况）第十三讲 小升初专项训练-计数的方法与原理引言：计数方法与原理是组合数学的主要课题之一，本讲介绍一些计数的基本方法及计数的基本原理。【例1】（）一个长方形把平面分成两部分，那么3个长方形最多把平面分成多少部分？思 路：要使增加的部分最多，则增加的正方形的每条边跟原来的每条边的交点要越多越好则增加的长方形的每条边跟原来的每条边的交点要越多越好。解答：（见下图）最多26个。总 结：相关的总结：N个图形 最多可把平面分成部分数直 线： 1+n(n+1) 2 圆： 2+1n(n-1) 三角形： 2+3n(n-1) 长方形： 2+4n(n-1)注意区分，直线是分封闭的图形，其他的都是封闭图形；圆只有一个圆角，三角形有三个圆角，长方形有四个圆角，注意总结中的系数变化。【例2】（） 一个正方形的内部有1996个点，以正方形的4个顶点和内部的1996个点为顶点，将它剪成一些三角形。问：一共可以剪成多少个三角形？如果沿上述这些点中某两点之间所连的线段剪开算作一刀，那么共需剪多少刀？解答：方法一：解：我们前面经常用到的找规律的方法，当四边形内放置一个点时，它与4个定点相连，可以得到4个三角形；增加一个点，这个点必定落在某一个三角形内，那么它与三角形的三个定点相连，构成三个新的三角形，三角形总数增加3-1=2个；以后每增加一个点，它同样都必定落在某一个三角形内，也都是增加2个三角形。所以，三角形的总数为 4+（1996-1）2=3994个。第一个点连接四边形的四个顶点，代表4刀；从第二个点开始，因为每一个都是落在三角形内，连接是3点，即需要3刀；所以，总共需要剪4+（1996-1）3=5989刀。方法二：解：一个点就是360度，1996个点就是1996360；四边形本身内角和是360度，所以，度数总和是1996360+360=1997360度；每一个三角形内角和是180，所以有三角形1997360180=3994个。第一个点连接四边形的四个顶点，代表4刀；从第二个点开始，因为每一个都是落在三角形内，连接是3点，即需要3刀；所以，总共需要剪4+（1996-1）3=5989刀。【例3】、（）10只无差别的橘子放到3个不同的盘子里，允许有的盘子空着。请问一共有多少种不同的放法？方法一：题型转换和隔板法的应用思 路：解数学题的一种重要方法是转化，不断地转化，把你不熟悉的问题转化为你熟悉的问题从10个有差别的橘子中选出3个橘子有多少种选法，这是我们熟悉的问题我们希望能把原来的问题转化为这种问题解：把10只无差别的橘子放到3个不同的盘子里，允许有的盘子空着，然后在每个盘子里再另加一个橘子，这就变成了把13只无差别的橘子放到3个不同的盘子里，不允许任何一个盘子空着反过来也是一样，把13只橘子放到3个盘子里，不允许任何一个盘子空着，再从每一个盘子中取出一个橘子，这就变回题目中的放法所以把10只无差别的橘子放到3个不同的盘子里且允许有的盘子空着的放法数目，和把13只无差别的橘子放到3个不同的盘子里且不允许任何一个盘子空着的放法数目相同我们现在来计算把13只无差别的橘子放到3个不同的盘子里且不允许任何一个盘子空着的放法数目这时我们用隔板地方法，把这13只橘子排成一列，则这13只橘子之间有12个空隙我们只要选定这12个空隙中的2个空隙，再这两个空隙中分别放一块隔板，这样就分成了3组，就相当于把这13只橘子分成了3堆，如下图所以只要求出从12个空隙中选出2个空隙有多少种方法就可以了这种题目同学们是熟悉的，就是 C12 2 =12112=66所以题目中所求的不同的放法有66种方法二：思 路：分步骤考虑解：1个盘子装：不妨把10个看成1个桔子，有3个不同的盘子：13=32个盘子装：3个盘子取出2个装桔子共3种选择，对于每一种选择都有9种装法（1+9、2+8、9+1），共93=273个盘子装：982=36总计：3+27+36=66种不同的方法。总 结：这是一道非常典型的题目，同学们应该反复体会这种解法拓 展：20个苹果分给3个小朋友，要求每个小朋友至少分一个，请问总共有多少种分法？【例4】（）数3可以用4种方法表示为1个或几个正整数的和，如3，12，2+1，1+11。问：1999表示为1个或几个正整数的和的方法有多少种？【解】：我们将1999个1写成一行，它们之间留有1998个空隙，在这些空隙处，或者什么都不填，或者填上“”号。例如对于数3，上述4种和的表达方法对应：111，111，111，111。显然，将1999表示成和的形式与填写1998个空隙处的方式之间一对一，而每一个空隙处都有填“”号和不填“”号2种可能，因此1999可以表示为正整数之和的不同方法有【例5】：（）把13拆成三个数的和，请问有几种拆法？【解】：隔板法：13写成13个1，这样有12个空，我们可以拿2块板，可以把1分成3堆，所以总共有=66【例6】、（）若一个自然数中至少有两个数字，且每个数字小于其右边的所有数字，则称这个数是“上升的”。问一共有多少“上升的”自然数？方 法：整体和极端考虑 思 路：我们先举几个例子来看看“上升的”自然数是什么样的1 2、l23、l234、12345些都是“上升的”自然数初看之下似乎没什么规律，连位数都是不确定的但如果我们再举一个极端的例子：，我们就可以发现其中的奥妙解: 很明显地可以看出，每个“上升的”自然数都可以由这个数划掉若干个数码得到反过来，由从这个数中划掉若干个数码得到的至少两位的数都是“上升的”自然数所以只要算出从中划掉若干个数码所能得到的至少两位的数有多少个就可以了因为每个数码都有划掉和保留这两种可能，而且得到的一位及零位数只有10个，所以所能得到的至少两位的数有 22222222210=502(个) 所以一共有502个“上升的”自然数【例7】、（）有一批规格相同的均匀圆棒，每根划分成相同的5节，每节用红、黄、蓝3种颜色中的一种来涂。问可以得到多少种着色方式不同的圆棒？方法一：思 路：组合问题考虑，但是由于圆棒部分左右但是由于圆棒不分左右，因此旋转后相同的只能算作一种。为此，可以从中间一节着手。解： 5节颜色一样是有：3种；左右对称时有：323+312=24种；左右不对称时有：1、5节或2、4节不同有3332=54种；1、5节和2、4节同时不同有3323=54种；所以，全部有3+24+54+54=135种。方法二：思 路：组合问题考虑，但是由于圆棒部分左右但是由于圆棒不分左右，因此旋转后相同的只能算作一种，先考虑全部情况，再减去重复的情况。解：所有情况总共有 33333=243种着色方式,其中有333种是对称的.所以这27种必需算2次。但因为圆棒可以反过来使用,因此左边和右边看的情况时相同的,共有 (243+27)2=135种【例8】、（）如下图，八面体有12条棱，6个顶点。一只蚂蚁从顶点A出发，沿棱爬行，要求恰好经过每一个顶点一次。问共有多少种不同的走法？思 路：从A出发，要走过所有的顶点，我们只要考虑第几次经过对顶点C解：走完6个顶点，有5个过程分两大类：第二次走C点：就是意味着从A点出发，我们要先走F，D，E，B中间的一点，再经过C点，但之后只能走D，B点，最后选择后面两点。412（从F到C的话，是不能到E的）11=8种；第二次不走C：42（同理，F不能到E) 221=32种；共计：8+32=40种【例9】、（）有8个队参加比赛，采用如下图所示的淘汰制方式。问在比赛前抽签时，可以得到多少种实质不同的比赛安排表？方法一：思 路：现选先选4人，再考虑组合的方法解： 8选4有C（8，4）=70种组合，其中实质不同的有一半，即702=35种；对每一边的4个人，共有实质性不同的C（4，2）2=3种，所以，可以得到3533=315种实质不同的比赛安排表。方法二：思 路：先考虑所有情况，再考虑重复情况解：首先是8！=87654321考虑到实质相同：1、2；3、4；5、6；7、8；一、二；三、四；A、B以上每组均可交换，即27答案：8！/27=315【例10】、（）游乐园的门票1元1张，每人限购1张。现在有10个小朋友排队购票，其中5个小朋友只有1元的钞票，另外5个小朋友只有2元的钞票，售票员没有准备零钱。问有多少种排队方法，使售票员总能找得开零钱？思 路：找规律解：找规律：假设2n个小朋友，n个小朋友只有1元的钞票，另外n个小朋友只有2元的钞票，种数S，当n=1时，S=（21）！/2=1；当n=2时，S=（22）！/3=8；当n=3时，S=（23）！/4=180；当n=4时，S=（24）！/5=；.一般规律为S=（2n）！/（n+1），所以，当n=5时，S=（25）！/6=10！/6=种【例11】、（）有一只表没有秒针，时针和分针无法辨别。在多数情况下可根据两针所指的位置判断出正确的时间，但有时也会出现两种可能，使你判断不出正确时间。请问从中午12时到夜里12时这段时间会遇到多少次无法判断的情况？思 路：找出一小时里面出现多少种情况，这样就能很快求出解.解：从12时到1时这段时间里，分针在0分到5分时恰有1次判断不出，分针在5分到10分时恰有1次判断不出所以在12时到1时这段时间里恰有11次判断不出同理，在其余每一个小时里都恰有11次判断不出所以一共有1211=132次无法判断的情况拓 展：一根木棍长100米，从左边起每6米画一条线，从右边起每5米画一条线，请问有多少线之间的距离为4米？小升初专项模拟测试题-计数的方法与原理（二）1（）一只青蛙在A，B，C三点之间跳动，若青蛙从A点跳起，跳4次仍回到A点，则这只青蛙一共有多少种不同的跳法？【解】：如下图，第1步跳到B，4步回到A有3种方法；同样第1步到C的也有3种方法。共有6种方法。2（）有黑白两种棋子共300枚，按每堆3枚分成100堆.其中只有1枚白子的共27堆；有2枚或3枚黑子的共42堆；有3枚白子的与有3枚黑子的堆数相等.那么在全部棋子中，白子共有_枚.【来源】北京市第十届“迎春杯”决赛第二题第5题【解】按每堆所含白子的枚数分四类讨论.已知“只有1枚白子的共27堆”，又“有2枚或3枚黑子的共42堆”，即有1枚或0枚白子的共42堆，于是有0枚白子的有42-27=15（堆）.再因为“有3枚白子的与有3枚黑子（即有0枚白子）的堆数相等”，故有3枚白子的堆数也是15堆；最后，因为总堆数是100，所以有2枚白子的堆数是100-（15+27+15）=43所以，在全部棋子中，白子共有015+127+243+315=158（枚）3（）在88的棋盘上可以找到多少个形如右图所示的“凸”字形图形？ 【解】：在每个23的长方形中可以找到2个“凸”字形图形，88方格棋盘中共有84个23的长方形，所以可以找到842=168（个）。4（）线段AB上有1998个点（包括A，B两点），将点A染成红色，点B染成蓝色，其余各点染成红色或蓝色。这时，图中共有1997条互不重叠的线段。问：两个端点颜色相异的小线段的条数是奇数还是偶数？为什么？【解】：从最简单的情况考虑：如果中间的1996个点全部染成红色，这时异色线段只有1条，是一个奇数。然后我们对这种染色方式进行调整：将某些红点改成蓝点并注意到颜色调整时，异色线段的条数随之有哪些变化。由于颜色的调整是任意的，因此与条件中染色的任意性就一致了。如果中间的1996个点全部染成红色，这时异色线段仅有1条，是一个奇数。将任意一个红点染成蓝色时，这个改变颜色的点的左右两侧相邻的两个点若同色，则异色小线段的条数或者增加2条（相邻的两个点同为红色），或者减少2条（相邻的两个点同为蓝色）；这个改变颜色的点的左右两侧相邻的两个点若异色，则异色小线段的条数不变。综上所述，改变任意个点的颜色，异色线段的条数的改变总是一个偶数，从而异色线段的条数是一个奇数。 5（）平面上有7个不在同一直线上的点，以这7个点作为顶点做三角形，使得任何两个三角形至多只有一个公共顶点。最多可做出多少个满足条件的三角形？2个三角形至多有1个公共顶点，从而任意2个三角形没有公共边，故至多另一方面，7个是可以达到的。设7个点依次为A1，A2，A7。如右图，A1A2A3，A1A4A5，A1A6A7，A2A4A6，A2A5A7，A3A4A7，A3A5A6这7个三角形两两没有公共边。故最多可以做7个三角形。6（）下图是一个道路