清华大学理论力学第七版答案

清华大学理论力学第七版答案 第11章 达朗贝尔原理及其应用 111 均质圆盘作定轴转动，其中图（a），图（c）的转动角速度为常数，而图（b），图（d）的角速度不为常量。试对图示四种情形进行惯性力的简化。 （a） 习题111图 （a） 习题11-1解图 解：设圆盘的质量为m，半径为r，则如习题11-1解图： （a）FI?mr?2，MIO?0 n2t （b）FI?mr?，FI?mr?，MIO?JO? 32 mr? 2 （c）FI?0，MIO?0 （d）FI?0，MIO?JO? 112矩形均质平板尺寸如图，质量27kg，由两个销子 A、B悬挂。若突然撤去销子B，求在撤去的瞬时平板的角加 速度和销子A的约束力。 12 mr? 2 解：如图（a）：设平板的质量为m，长和宽分别为a、b。 FI?m?AC?3.375? 习题112图 1 MIA?JA?m(a2?b2)?m?AC2?0.5625? 12 ?MA(F)?0；MIA?0.1mg?0；?47.04rad/s2 ?Fy?0；FIcos?FAy?mg?0；sin?4?0.8 5 1 （a） ?F x ?0；FIsin?FAx?0；其中：sin?3?0.6 5 FAx?3.375?47.04?0.6?95.26N FAy?27?9.8?3.375?47.04?0.8?137.6N 113在均质直角构件ABC中，AB、BC两部分的质量各为3.0kg，用连杆AD、DE以及绳子AE保持在图示位置。若突然剪断绳子，求此瞬时连杆AD、BE所受的力。连杆的质量忽略不计，已知l = 1.0m， = 30o。 解：如图（a）：设AB、BC两部分的质量各为m = 3.0kg 直角构件ABC作平移，其加速度为a = aA，质心在O处。 FI?2ma 习题113图 ?MO(F)?0； l3ll FBcos?FAcos?(FA?FB)sin?0（1） 444 ?FAD?0； FA?FB?2mgcos?0 （2） 联立式（1）和式（2），得：FB?mg?3FA 1 FA?(?1)mg?5.38N； 4 FB?mg?3?5.38?45.5N 解：1、图（a）： JO?a?Wr mr2?a?Wr 2W ?a? mr 12 FOy （a） 114 两种情形的定滑轮质量均为m，半径均为 r。图a中的绳所受拉力为W；图b中块重力为W。 试分析两种情形下定滑轮的角加速度、绳中拉力和定滑轮轴承处的约束反力是否相同。 FOy FOx MIO ?b FOx （1） （2） （3） （4） （5） （6） ?a 绳中拉力为W ?Fx?0，FOx?0 ?Fy?0，FOy?W 2、图（b）： MIO?mr2?b FI? WW a?r?bgg 1 2 FI a W 习题11-4图 ?MO?0，MIO?FIr?Wr?0 （5）、（6）代入，得 2Wg?b? r(mg?2W) （7） 绳中拉力（图c）： ?Fy?0，Tb?FI?W Wmga?W gmg?2W 轴承反力： ?Fx?0，FOx?0 FI Tb?W? （8） （9） a ?Fy?0，FOy?FI?W?0 FOy mgW? mg?2W (a) （10） 2 由此可见，定滑轮的角加速度?a、?b，绳中拉力，轴承反力均不相同。 115 图示调速器由两个质量各为m1的圆柱状的盘子所构成，两圆盘被偏心地是悬于与调速器转动轴相距a的十字形框架上，而此调速器则以等角速度?绕铅垂直轴转动。圆盘的中心到悬挂点的距离为l，调速器的外壳质量为m2，放在这两个圆盘上并可沿铅垂轴上下滑动。如不计摩擦，试求调速器的角速度?与圆盘偏离铅垂线的角度?之间的关系。 解：取调速器外壳为研究对象，由对称可知壳与圆盘接 触处所受之约束反力为m2g/2。 取左圆盘为研究对象，受力如图（a），惯性力 FI?m1?(a?lsin?)?2 由动静法 m2g )lsin?FIlcos?0 ?MA?0，(m1g?2将FI值代入，解出 F 习题11 5图 2m1?m2 ?2?gtan? 2m1(a?lsin?) I (a) 116图示两重物通过无重滑轮用绳连接，滑轮又铰接在无重支架上。已知物G1、G2的质量分别为m1 = 50kg，m2 = 70kg，杆AB长l1 = 120cm，A、C间的距离l2 = 80cm，夹角 = 30?。试求杆CD所受的力。 B a 习题11 6图 （b） （a） 解：取滑轮和物G1、G2如图（a）所示，设物G1、G2的加速度为a，则其惯性力分别为： FI1?m1a；FI2?m2a m2?m120g g?g? m2?m1120610g350F?120g?g ；F?F?F?mg?mg?0F?0B?yBI1I212 33 ?MB(F)?0；(FI1?FI2?m1g?m2g)r?0；a? 取杆AB为研究对象，受力如图（b）所示， ?MA(F)?0；FCDsin?l 2?FB?l1?0；FCD? 2l1350?g?3430N?3.43kN l23 117 直径为1.22m、重890N的匀质圆柱以图示方式装置在卡车的箱板上，为防止运输时圆柱前后滚动，在其底部垫上高10.2cm 习题117图 3 (c) 解：图（c）中 FI?ma ?MA?0 FI(0.61?0.102)?mg0.612?(0.61?0.102)2 ma?0.598?mg0.612?0.5982 amax?a?6.51m/s2 讨论：若a?amax，则惯性力引起的对A点的力矩会大于重力mg对A点的矩，使圆柱向后滚动。原文求amin不合理。 118 两匀质杆焊成图示形状，绕水平轴A在铅垂平面内作等角速转动。在图示位置时，角速度?0.3rad/s。设杆的单位长度重力的大小为100N/m。试求轴承A的约束反力。 解：（1）求A处约束力 重力：P?100?0.3?30N 质量：m?100?0.3/9.8?3.061kg 质心O点位置：r?0.1333m 2 10.133?30.3 =0.122N FIn?mr?3.06? FI?0 (?0) 轴承A的约束反力FAx?0.122N（?Fx?0） FAy?30N（?Fy?0） （2）求B截面弯矩 考虑BD段受力，只有惯性力dFI，在y方向分量对B截面弯矩有贡献。 微段质量：?100N/m ?dm?dx g ? x2?0.22dx dFI?dmx2?0.22?2?0.3h dFIy?dFIcos? 1000.2 ?x2?0.22dx9.8x2?0.22 0.3?0.2?1006?dx?dx 9.89.8?0.3? MA? 习题118图 (a) dFI ? 0.05 xdFIy? 69.8 ? 0.05 xdx? 61 ?0.0529.82 (b) =0.000765Nm=0.765Nmm 119 图示均质圆轮铰接在支架上。已知轮半径r = 0.1m、重力的大小Q = 20kN，重物G重力的大小P = 100N，支架尺寸l = 0.3m，不计支架质量，轮上作用一常力偶，其矩M = 32kNm。试求（1）重物G上升的加速度；（2）支座 B的约束力。 MIFAB （a） 习题119图 4 解：取滑轮和物G1、G2如图（a）所示，设物G1、G2的加速度为a，则其惯性力分别为： FI1?m1a；FI2?m2a m2?m120g g?g? m2?m1120610g350F?120g?g ；F?F?F?mg?mg?0F?0B?yBI1I212 33 ?MB(F)?0；(FI1?FI2?m1g?m2g)r?0；a? 取杆AB为研究对象，受力如图（b）所示， ?MA(F)?0；FCDsin?l2?FB?l1?0；FCD? 2l1350?g?3430N?3.43kN l23 1110图示系统位于铅直面内，由鼓轮C与重物A组成。已知鼓轮质量为m，小半径为r，大半径R = 2r，对过C且垂直于鼓轮平面的轴的回转半径 = 1.5r，重物A质量为2m。试求（1）鼓轮中心C的加速度；（2）AB段绳与DE段绳的张力。 解：设鼓轮的角加速度为?， 在系统上加惯性力如图（a）所示， MI则其惯性力分别为： FIC?mr?；FIA?2m?r? IA g A MIC?JC?m?2?1.52mr2? ?M D (F)?0； 习题1110图 （b） (mg ?FIC?FIA?2mg)r?MIC?0g4 aC?r?g 2 3?1 .521 ?Fy?0；FDE?FIC?FIA?mg?2mg?0；FDE?3mg?mr? 取重物A为研究对象，受力如图（b）所示， 59 mg 21 ?Fy?0；FAB?F IA?2 mg?0；FAB?2mg?2mr?2(1? 434)mg?mg 2121 1111 凸轮导板机构中，偏心轮的偏心距OA?e。偏心轮绕O轴以匀角速度?转动。当导板CD在最 低位置时弹簧的压缩为b。导板质量为m。为使导板在运动过程中始终不离开偏心轮，试求弹簧刚度系数的最小值。 解：本题结果与?转向无关，因讨论加速度。 1、图（a），导板上点B的运动代表导板运动 yB?esin?t?r ?B?e?2sin?t a?y 当?t?时，a取极值 22 a?e?，方向向下。 2、导板受力： ?时，导板上受惯性力FI 2FI?me?2，方向向上。 此力力图使导板与凸轮脱开， 为使不脱开，应使弹簧力F与板重 力mg之和大于FI： mg?F?FI mg?k(2e?b)?me?2 5 (a) (b) 第一章 静力学基本概念 1-1 考虑力对物体作用的运动效应，力是（ A ）。 A.滑动矢量B.自由矢量C.定位矢量 1-2 如图1-18所示，作用在物体A上的两个大小不等的力F1和F2，沿同一直线但方向相反，则其合力可表为（ C ）。 A.F1F2B.F2- F1C.F1+F 2 图118图1191-3 F=100N，方向如图1-19所示。若将F沿图示x，y方向分解，则x方向分力的大小 Fx= N，y方向分力的大小Fy N。 A. 86.6B. 70.0C. 136.6 D.25.9 1-4 力的可传性只适用于 。 A. 刚体 B. 变形体 1-5加减平衡力系公理适用于。 A. 刚体； B. 变形体； C. 刚体和变形体。 1-6 如图1-20所示，已知一正方体，各边长a，沿对角线BH作用一个力F，则该力在x1轴上的投影为 A。 A. 0B. F/2C. F/6 D.F/3 1-7如图1-20所示，已知F=100N，则其在三个坐标轴上的投影分别为： Fx= 402N ，Fy= 302N ，Fz= 502 N 。 图120 图121 第二章力系的简化 2-1通过A（3，0，0），B（0，4，5）两点（长度单位为米），且由A指向B的力F，在z轴上投影为 ，对z轴的矩的大小为 。 答：F/；62F/5。 2-2已知力F的大小，角度和，以及长方体的边长a，b，c，则力F在轴z和y上的投影：Fz= ；Fy=；F对轴x的矩Mx(F 答：Fz=Fsin；Fy=Fcoscos；Mx（F）=F（bsin+ccoscos） 图240图241 2-3力通过A（3，4、0），B（0，4，4）两点（长度单位为米），若F=100N，则该力在x轴上的投影为，对x轴的矩为。 答：60N；320N.m 2-4正三棱柱的底面为等腰三角形，已知OA=OB=a，在平面ABED内有沿对角线AE的一个力F，图中=30，则此力对各坐标轴之矩为： Mx（F）= ；MY（F）= ；Mz（F）=。 答：Mx（F）=0，My（F）=Fa/2；Mz（F）=6Fa/4 2-5已知力F的大小为60（N），则力F对x轴的矩为；对z轴的矩为。 答：Mx（F）=160 Ncm；Mz（F）=100 N cm 图242图243 2-6试求图示中力F对O点的矩。 解：a: MO(F)=Flsin b: MO(F)=Flsin c: MO(F)=F(l1+l3)sin+ Fl2cos d: 2 Mo?F?Fsin?l12?l2 2-7图示力F=1000N，求对于z轴的力矩Mz。 题27图题28图 2-8在图示平面力系中，已知：F1=10N，F2=40N，F3=40N，M=30Nm。试求其合力，并画在图上（图中长度单位为米）。 解：将力系向O点简化 RX=F2F1=30N RV=F3=40N R=50N 主矩：Mo=（F1+F2+F3）3+M=300Nm 合力的作用线至O点的矩离 d=Mo/R=6m 合力的方向：cos（R，i）=0.6，cos（R，i）=0.8 （，）=5308 （，i）=14308 2-9在图示正方体的表面ABFE内作用一力偶，其矩M=50KNm，转向如图；又沿GA，BH作用两力R、R?,R=R?=502KN；=1m。试求该力系向C点简化结果。 解：主矢：R=i=0 主矩： c=+（，?） 又由Mcx=m（，?）cos45=50KNm McY=0 Mcz=Mm（，?）sin45=0 c的大小为 Mc=（Mcx2+McY2+Mcz2）1/2 =50KNm c方向： Cos（c，）=cos=Mcx/Mc=1， =180 Cos（Mc，j）=cos=McY/Mc=0， =90 Cos（Mc，）=cos=McZ/Mc=0， =90 即Mc沿X轴负向 题29图题210图 2-10一个力系如图示，已知：F1=F2=F3，M=Fa，OA=OD=OE=a，OB=OC=2a。试求此力系的简化结果。 解：向O点简化，主矢R?投影 Rx?=F1 2 6章 刚体的平面运动分析 61 图示半径为r的齿轮由曲柄OA带动，沿半径为R的固定齿轮滚动。曲柄OA以等角加速度?绕轴O转动，当运动开始时，角速度?0= 0，转角?0= 0。试求动齿轮以圆心A为基点的平面运动方程。 s 解：xA?(R?r)co? yA?(R?r)sin? ?为常数，当t = 0时，?0=?0= 0 （1） （2） ? 12?t 2 （3） 起始位置，P与P0重合，即起始位置AP水平，记?OAP?，则AP从起始水平位置至图示AP位置转过 ?A? 因动齿轮纯滚，故有CP0?CP，即R?r? ? RR?r?，?A? rr ? ? 习题6-1图 （4） 将（3）代入（1）、（2）、（4）得动齿轮以A为基点的平面运动方程为： ?2? x?(R?r)costA?2? ?2 ?yA?(R?r)sint 2? ?1R?r2?A?2r?t? 62 杆AB斜靠于高为h的台阶角C处，一端A以匀速v0沿水平向右运动，如图所示。试以杆与铅垂线的夹角? 表示杆的角速度。 解：杆AB作平面运动，点C的速度vC沿杆AB如图所示。作速度vC和v0的垂线交于点P，点P即为杆AB的速度瞬心。则角速度杆AB为 ?AB vvcos?v0cos?0?0?APACh 2 习题62图 习题62解图 63 图示拖车的车轮A与垫滚B的半径均为r。试问当拖车以速度v前进时，轮A与垫滚B的角速度?A与?B有什么关系？设轮A和垫滚B与地面之间以及垫滚B与拖车之间无滑动。 vAv? RRvv ?B?B? 2R2?A?2?B 解：?A? vB = v ?B ?A 习题6-3图 习题6-3解图 vA = v 64 直径为3mm的滚子在水平面上作纯滚动，杆BC一端与滚子铰接，另一端与滑块C铰接。设杆BC在水平位置时，滚子的角速度?12 rad/s，?30?，?60?，BC270mm。试求该瞬时杆BC的角速度和点C的速度。 1 解：杆BC的瞬心在点P，滚子O的瞬心在点D vB?BD ?BC? vB?BD ?BPBP 12?603cos30? ? 270sin30?8rad/s vC?BC?PC ?8?0.27cos30?1.87m/s 习题6-4图 习题6-4解图 65 在下列机构中，那些构件做平面运动，画出它们图示位置的速度瞬心。 习题6-5图 解：图（a）中平面运动的瞬心在点O，杆BC的瞬心在点C。 图（b）中平面运动的杆BC的瞬心在点P，杆AD做瞬时平移。 习题6-5解图 (a) 66 图示的四连杆机械OABO1中，OA = O1B = 1 AB，曲柄OA的角速度?= 3rad/s。试求当示。?= 902 ?而曲柄O1B重合于OO1的延长线上时，杆AB和曲柄O1B的角速度。 解：杆AB的瞬心在O ?AB v ?A?3rad/s OA v ?B?3? ?5.2rad/s l 习题6-6图 vB?l? ?O1B 习题6-6解图 2 67 绕电话线的卷轴在水平地面上作纯滚动，线上的点A有向右的速度vA= 0.8m/s，试求卷轴中心O的速度与卷轴的角速度，并问此时卷轴是向左，还是向右方滚动？ 解：如图 vA0.8 ?1.333rad/s 0.9?0.30.6 8 vO?0.9?O?0.9?1.2m/s 6 ?O? 卷轴向右滚动。 习题6-7图 68 图示两齿条以速度v1和v2作同方向运动，在两齿条间夹一齿轮，其半径为r，求齿轮的角速度及其中心O的速度。 解：如图，以O为基点：v1?vO?Or v2?vO?Or 解得： v1?v2 2v?v?O?12 2rvO? 习题68图 习题68解图 Av 习题69图 解：OA定轴转动；AB、CD平面运动，DE平移。 1当?= 90，270时，OA处于铅垂位置，图（a）表示?= 90情形，此时AB瞬时平移，vC水平，而vD只能沿铅垂， D为CD之瞬心vDE = 0 同理，?= 270时，vDE = 0 2?= 180，0时，杆AB的瞬心在B?= 0时，图（b），vC? vA（） 此时CD杆瞬时平移 vDE?vD?vC?vA?4m/s（） 同理?= 180时，vDE = 4m/s（） 12 (a) 12 (b) 习题69解图 610 杆AB长为l = 1.5 m，一端铰接在半径为r = 0.5 m的轮缘上，另一端放在水平面上，如图所示。轮沿地面作纯滚动，已知轮心O 速度的大小为vO = 20 m/s。试求图示瞬时（OA水平）B点的速度以及轮和杆的角速度。 3 解：轮O的速度瞬心为点C ，杆AB的速度瞬心为点P ?O? vO20?40rad/s r0.5 A vA?O2r?2m/s ?AB? vA2sin45? ?AP1.5cos?2=14.1 rad/s 习题610图 vBcos?vAcos(45?) vB?2(cos45?sin45?tan?)?12.9m/s 611 图示滑轮组中，绳索以速度vC = 0.12m/s下降，各轮半径已知，如图示。假设绳在轮上不打滑，试求轮B的角速度与重物D的速度。 解：轮B瞬心在F点vE = vC ?B? vE 60?2?10?3 11 vD?vB?vE?vC?0.06m/s 22 ? 0.12 ?1rad/s 0.12 F 习题611图 612 链杆式摆动传动机构如图所示，DCEA为一摇杆，且CADE。曲柄OA = 200mm，CO = CE = 250mm，曲柄转速n = 70r/min，CO = 200mm。试求当?= 90时（这时OA与CA成60角）F、G两点的速度的大小和方向。 ?F 习题612图 习题612解图 解：动点：OA上A；动系：DCEA；绝对运动：圆周；相对运动：直线；牵连运动：定轴转动。 n1.410.7 ?m/s ve?vA?m/s 3