弦切角定理证明方法

弦切角定理证明方法 弦切角定义 顶点在圆上，一边和圆相交，另 图示 一边和圆相切的角叫做弦切角。(弦切角就是切线与弦所夹的角）如右图所示，直线PT切圆O于点C，BC、AC为圆O的弦，TCB，TCA，PCA，PCB都为弦切角。 弦切角定理弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半. 弦切角定理证明：证明一：设圆心为O，连接OC，OB,。TCB=90-OCBBOC=180-2OCB,BOC=2 TCB（定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角的度数的一半）BOC=2CAB（圆心角等于圆周角的两倍）TCB=CAB（定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆周角）证明已知：AC是O的弦，AB是O的切线，A为切点，弧是弦切角BAC所夹的弧.求证：（弦切角定理）证明：分三种情况： （1） 圆心O在BAC的一边AC上AC为直径，AB切O于A，弧CmA=弧CA为半圆,CAB=90=弦CA所对的圆周角 B点应在A点左侧 （2） 圆心O在BAC的内部.过A作直径AD交O于D,若在优弧m所对的 劣弧上有一点E那么，连接EC、ED、EA则有：CED=CAD、DEA=DAB CEA=CAB （弦切角定理） （3） 圆心O在BAC的外部,过A作直径AD交O于D那么 CDA+CAD=CAB+CAD=90CDA=CAB（弦切角定理） 弦切角推论 推论内容 若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等 应用举例 例1：如图，在RtABC中，C=90，以AB为弦的O与AC相切于点A，CBA=60 , AB=a 求BC长.解：连结OA，OB.在RtABC中, C=90BAC=30BC=1/2a(RT中30角所对边等于斜边的一半） 例2：如图，AD是ABC中BAC的平分线，经过点A的O与BC切于点D，与AB，AC分别相交于E，F.求证：EFBC.证明：连DF.AD是BAC的平分线 BAD=DACEFD=BADEFD=DACO切BC于D FDC=DACEFD=FDCEFBC 例3：如图，ABC内接于O，AB是O直径，CDAB于D，MN切O于C，求 证：AC平分MCD，BC平分NCD.证明：AB是O直径ACB=90CDABACD=B， MN切O于CMCA=B，MCA=ACD，即AC平分MCD，同理：BC平分NCD. 弦切角定理导学案 【学习目标】： 1.理解弦切角的概念，掌握弦切角定理及其推论，能运用它们解决有关问题。 2.通过弦切角定理的证明，了解分情况证明数学命题的思想和方法。 3.体会分类、转化的思想方法。 【学习重点】：弦切角的概念，弦切角定理及其推论。 【学习难点】：弦切角定理的运用。 【自主学习】： 1.弦切角的定义：_. 2.弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的_. 3.下面各图形中的角是弦切角的是（填写正确的序号）. C A A A 4.AB切O于A点，圆周被AC所分成的优弧与劣弧之比为31，则夹劣弧的弦切角?BAC?_. 5.如图，CD是O的直径，AE切O于点B，连接DB， 若?D?20?，则?DBE的大小为() A. 20? B. 40?C. 60? D. 70? 【例题应用】： 例1如图，AC与ABD的外接圆O相切于A.(1)若弦切角BAC=30o ，则AB =_,AOB=_ , ADB=_; (2)若已知 O的半径为 3cm，AB长为 ?cm，求弦切角BAC的度数。 例2.已知如图，?1?2， EF切圆于点D, 求证：EFBC。 例3.已知，如图PA,PB分别与圆O相切于点A,B,AC是圆O的直径， 求证：?APB?2?BAC. 【达标检测】 1.如图1，CD是O的切线，T为切点，A是 上的一点，若TAB100， 则BTD的度数为( ） A20B40C60 D80 （1） （2） 2.如图2，AB是O的直径，EF切O于点C，ADEF于点D，AD2，AB6，则AC的长为( ) A2 B3 C D4 3.如图，O和O相交于A，B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C，D两点，连接DB并延长交O于点E.证明： (1)ACBDADAB；(2)ACAE. 【课堂小结】： 【作业】 课本P16.1 2 切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理 以及与圆有关的比例线段 学习目标 1.切线长概念 切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。（PA长） 2.切线长定理 对于切线长定理，应明确（1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相等；（2）若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径；（3）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形；（4）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补；（5）圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。 3.弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。 直线AB切O于P，PC、PD为弦，图中几个弦切角呢？（四个） 4.弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。 5.弄清和圆有关的角：圆周角，圆心角，弦切角，圆内角，圆外角。 6.遇到圆的切线，可联想“角”弦切角，“线”切线的性质定理及切线长定理。 7.与圆有关的比例线段 定理 图形 已知 结论 证法 相交弦定O中，AB、CD为弦，交PAPBPCPD. 连结AC、BD，证：理 于P. APCDPB. 相交弦定理的推论 O中，AB为直径，CDABPCPAPB. 于P. （特殊情况） 1 2 用相交弦定理. 切割线定理 O中，PT切O于T，PTPAPB 割线PB交O于A 2 连结TA、TB，证：PTBPAT 切割线定理推论 PB、PD为O的两条割线，PAPBPCPD 交O于A、C 过P作PT切O于T，用两次切割线定理 （记忆的方法方法） 圆幂定理 O中，割线PB交O于PCPDr延长PO交O于M，延 2 A，CD为弦 OP 长OP交O于N，用相交 22 PAPBOPr 弦定理证；过P作切线用r为O的半径 切割线定理勾股定理证 2 8.圆幂定理：过一定点P向O作任一直线，交O于两点，则自定点P到两交点的两条线段之积为常数|（R为圆半径），因为叫做点对于O的幂，所以将上述定理统称为圆幂定理。 【典型例题】 例1.如图1，正方形ABCD的边长为1，以BC为直径。在正方形内作半圆O，过A作半圆切线，切点为F，交CD于E，求DE：AE的值。 图1 解：由切线长定理知：AFAB1，EFCE 设CE为x，在RtADE中，由勾股定理 ， ， 2 例2.O中的两条弦AB与CD相交于E，若AE6cm，BE2cm，CD7cm，那么CE_cm。 图2 解：由相交弦定理，得 AEBECEDE AE6cm，BE2cm，CD7cm， ， ， 即 CE3cm或CE4cm。 故应填3或4。 点拨：相交弦定理是较重要定理，结果要注意两种情况的取舍。 例3.已知PA是圆的切线，PCB是圆的割线，则解：PP PACB， PACPBA， ， 。 又PA是圆的切线，PCB是圆的割线，由切割线定理，得 ， 即 ， 故应填PC。 点拨：利用相似得出比例关系式后要注意变形，推出所需结论。 _。 3 例 4.如图3，P是O外一点，PC切O于点C，PAB是O的割线，交O于A、B两点，如果PA：PB1：4，PC12cm，O的半径为10cm，则圆心O到AB的距离是_cm。 图3 解：PC是O的切线，PAB是O的割线，且PA：PB1：4 PB4PA 又PC12cm 由切割线定理，得 ， PB4624（cm） AB24618（cm） 设圆心O到AB距离为d cm， 由勾股定理，得 故应填。 例5.如图4，AB为O的直径，过B点作O的切线BC，OC交O于点E，AE的延长线交BC于点D，（1）求证： ；（2）若ABBC2厘米，求CE、CD的长。 图4 点悟：要证证明：（1）连结BE ，即要证CEDCBE。 4 （2） 。 又 ， 厘