一元三次多项式因式分解的两种方法

初中数学教与学 2 0 0 7玺 一 元三次多项式因式分解的两种方法 张育波 ( 广东省汕头市林百欣科技中专， 5 1 5 0 4 1 ) 一 、分 组分 解 法 此方法 是通 过 加项 、 减项 或 者拆 项 把一 元三 次多项 式 分解 成二 组 ， 然 后 分别 进 行 因 式 分 解 ， 再 提 取 公 因式 ， 整 理 后 再 进 行 分 解 1 可 以分 解 成 三 个 一 次 因式 的 乘 积 例 l 一4 x + +6 解 原 式 = ( 一2 x 一3 x)+ ( 一2 +4 +6 ) = ( 一2 x一 3) 一2( 一2 x一 3) = ( 一2 ) ( 一2 x一3 ) = ( 一2) ( +1 ) ( 一3) 1 歹 0 2 2 x 一3 x 一8 x一3 解 原式= ( 2 x 一2 x )一3 ( +2 x+1 ) = 2 x ( +1 ) ( 1 )一3 ( +1 ) = ( +1 ) 2 x ( 一1 )一3 ( +1 ) = ( +1 ) ( 2 x 一5 x一3 ) = ( +1 ) ( 2 x+1 ) ( 一3) 2 分 解 成 二 个 因式 的 乘 积 1 歹 0 3 2 x 一 一1 解 原 式： ( 一 )+ ( 一 1 ) = ( 1 )+( 1 ) ( + +1 ) = ( 一1 ) ( 2 x + +1 ) 例 4 +2 x +2 x+1 解 原 式= ( + 1 )+ ( 2 +2 ) = ( +1 ) ( 一 +1 )+2 X ( +1 ) = ( +1 ) ( + +1 ) 二 、 赋 1 0还 原 法 这 种 方 法 实 质 是 一 种 探 索 性 猜 想 与 演 绎 我们猜 想 此 多项 式 的分解 式 可能 是三 个 一 次因式 的乘 积 ， 也 可能 是一 个 一 次 因式 与 一 个二次因式 的乘 积 ， 再 通 过取 特 例来 进 行 演绎 以验证猜想的合理 性 这里 令 =1 0代入 计算出结果 ， 再将 其 分解 成 各 个质 因 数 的乘 积 ， 经试探 之后 ， 合理组 合成 曼个 因数或 者二 个因数的乘积 ， 然后把它拆 成 1 0 ( 或者 1 0的倍 4 0 数 )与其余 数的和或者 差 ， 再把 l O还 原成 ， 经多次探索 、 验证之后可得 到答案 1 可 以分 解 成三 个一 次 因 式 的 乘积 例 5 一4 x + +6 解 设 ) = 一4 x + +6 贝 U ， ( 1 0 ) = 1 0 一41 0 +1 O+6 ： 6l 6 = 2 7 1 1 注 意到 的系数 为 1 ， 可将 ， ( 1 0)重新组 合 成 ： 厂 ( 1 0 ) = 8 7-1 1 = ( 1 02 ) ( 1 03) ( 1 0+1 ) ， 猜 想 ) = ( 一2) ( 一3 ) ( +1 ) 经 验 证 可 知 ， 此 分 解 是 正 确 的 1 歹 0 6 2 x 一3 x 一8 x一3 解 设 ， ( ) =2 x 一3 一8 一3， 贝 U ， ( 1 0 ) =21 0 一3 1 0 一8l O一3 ： 1 61 7 ： 3 -7 1 1 注意到 的系数为 2， 可将 ， ( 1 0 )重新组 合 成 ： ， ( 1 0) =2 1 7 1 1 = ( 21 0+1 ) ( 1 03 ) ( 1 0+1 ) ， 猜 想 ) = ( 2 x+1 ) ( 一3 ) ( +1 ) 经 验证 可 知 ， 此 分 解是 正 确 的 2 只 能 分 解 成 二 个 因式 的 乘 积 1 歹 q 7 2 x 一 一1 解 设 ， ( )= 2 x 一 一 1 ， 则， ( 1 0)=21 0 一1 0 一1 = 1 89 9 ： 3 21 1 因为 2 1 1是质数 ， 不 能再 分解 经探 索 可 知 ， 原多项 式不 可 能分 解 成 三个 一 次 因式 的 乘积 ， 可将， ( 1 0)适 当重新组 合成 ， ( 1 0) =9 2 1 1