上海交大学附中2013-2014学年高一下学期期末考试数学试题

上海交通大学附属中学2013-2014学年度第二学期高一数学期末试卷（满分100分，90分钟完成。答案一律写在答题纸上）一、填空题（本大题共12题，每题3分，满分36分）1. 数列的一个通项公式为 【答案】试题分析：因为数列可看做因此该数列一个通项公式为.2. 若三个数成等比数列，则m=_3. 数列为等差数列，为等比数列，则 试题分析：设公差为，由已知，解得，所以，4. 设是等差数列的前项和，已知，则等于 49【解析】在等差数列中，.5. 数列的前n项和为，若，则_ 【解析】因为an13Sn，所以an3Sn1(n2)，两式相减得：an1an3an，即4(n2)，所以数列a2，a3，a4，构成以a23S13a13为首项，公比为4的等比数列，所以a6a2443446. _（用反三角函数符号表示）.【答案】7. 方程= 的实数解的个数是_40298. 函数 的值域是 试题分析：且,所以,根据正切函数的图像可知值域为或.9. 函数f(x)-2sin(3x)表示振动时，请写出在内的初相_f(x)-2sin(3x)=2sin(3x)，所以在内的初相为。10. 观察下列等式，若类似上面各式方法将分拆得到的等式右边最后一个数是，则正整数等于_试题分析：依题意可得分拆得到的等式右边最后一个数5,11,19,29， .所以第n项的通项为.所以.所以.11. 已知数列满足：（m为正整数），若，则m所有可能的取值为_。【答案】4 5 3212. 设数列an为等差数列，数列bn为等比数列若，且，则数列bn的公比为 试题分析：设分别为，因为，所以，又，所以，则或 （舍），则若，则，舍去；若，则方法二：由题意可知，则若，易知，舍去；若，则且，则，所以，则，又，且，所以二、选择题（本大题共4题，每题4分，满分16分）13. 将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移个单位，得到的图象对应的僻析式是( )A B C D试题分析：将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得函数，再将所得的图象向左平移个单位，得函数，即故选C考点：函数y=Asin（x+）的图象变换14. 函数f(x)( )A在 、上递增，在、上递减B在、上递增，在、上递减C在、上递增，在、 上递减D在、上递增，在、上递减试题分析：，在 、上递增，在、上，递减，故选A15. 数列满足表示前n项之积，则的值为( )A. -3 B. C. 3 D. 【解析】由得，所以，所以是以3为周期的周期数列，且，又，所以，选A.16. 已知正项等比数列满足：，若存在两项使得，则的最小值为( )A. B. C. D. 不存在【解析】因为，所以，即，解得。若存在两项，有，即，即，所以，即。所以，当且仅当即取等号，此时，所以时取最小值，所以最小值为，选A.三、解答题(本大题共4题，满分48分8+12 +12+16=48)17. 已知，求的最大值【解】由已知条件有且（结合）得，而=令则原式=根据二次函数配方得：当即时，原式取得最大值。18. 已知函数f(x)sin 2xcos2x，xR(1)求函数f(x)的最小值和最小正周期；(2)设ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且c，f(C)0，若sin B2sin A，求a，b的值【答案】（1）2 （2）a1且b2【解析】(1)f(x)sin 2xsin(2x)1，则f(x)的最小值是112，且f(x)的最小正周期T(2)f(C)sin(2C)10，则sin(2C)10C，2C，因此2C，Csin B2sin A及正弦定理，得b2a由余弦定理，得c2a2b22abcos ，且c，a2b2ab3，由联立，得a1且b219. 在等差数列中，令，数列的前项和为.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和；（3）是否存在正整数，（）,使得，成等比数列？若存在，求出所有的，的值；若不存在，请说明理由.试题解析：（1）设数列的公差为，由得解得， （2） （3）由（1）知，假设存在正整数、 ，使得、成等比数列，则 ， 即 经化简，得 （*） 当时，（*）式可化为 ，所以 当时，又，（*）式可化为 ，所以此时无正整数解. 综上可知，存在满足条件的正整数、，此时，.20. 已知函数，数列满足对于一切有，且数列满足，设（1）求证：数列为等比数列，并指出公比；（2）若，求数列的通项公式；（3）若（为常数），求数列从第几项起，后面的项都满足解（1