一、最大值和最小值定理

1 第十节 闭区间上连续函数的性质第十节 闭区间上连续函数的性质 一、最大值和最小值定理 定义:定义: 0 00 0 ( ), , ( )()( ( )() ()( )(). If x xIxI f xf xf xf x f xf xI 对于在区间 上有定义的函数 如果有使得对于任一都有 则称是函数区间最大上在的小 值 如如 ,sgn xy = =,),(上在上在+ + , 2 max = =y ; 1 min = =y ,), 0(上在上在+ + . 1 minmax = = = yy ,sin1xy+ += =,2 , 0上在 上在; 0 min = =y , 1 max = =y 如如 定理1(最大值和最小值定理)定理1(最大值和最小值定理) 在闭区间上连续的函 数在此区间上 在闭区间上连续的函 数在此区间上有界有界且一定有且一定有最大值最大值和和最小值最小值即：即： a b 2 1 x y o )(xfy = = 12 12 ( ) , , , , , , ( )( ) ()( ) f xa ba bxa b ff xff x 若在连续 则使得： 有： 且 。 注:注:1.若区间是若区间是开区间开区间, 定理定理不不一定成立一定成立; 2.若区间内若区间内有间断点有间断点, 定理定理不不一定成立一定成立. x y o )(xfy = = 21 1 x y o 2 )(xfy = = 定理 3( 零点定理)定理 3( 零点定理) 设函数 设函数)(xf在闭区间 在闭区间 ba, 上连续，且 上连续，且)(af与与)(bf异号异号(即(即0)()(bfaf), 那末在开区间 ), 那末在开区间( () )ba,内内至少至少有函数有函数)(xf的的一个零 点 一个零 点,即至少有一点,即至少有一点 )(ba，使，使0)(= =f. . 二、介值定理 定义:定义: 000 ( . )0,( )xf xxf x=如果使则称为数 的零点 函 a b 3 2 1 几何上看几何上看: ( ) , . yf x x x =连续曲线弧的 两个端点位于 轴的不 同侧 则曲线弧与 轴 至少有一个交点 x y o )(xfy = = ( )0( , ) . f xa b=满足定理条件的方程在内至 少存在一个实根 代数上看代数上看: 2 定理 4(介值定理)定理 4(介值定理) 设函数 设函数)(xf在闭区间 在闭区间 ba, 上连续，且在这区间的端点取不同的函数值 上连续，且在这区间的端点取不同的函数值 Aaf= =)( 及 及 Bbf= =)(, 那末，对于 , 那末，对于A与与B之间的任意一个数之间的任意一个数C，在开区间，在开区间 ( () )ba,内至少有一点内至少有一点 ，使得，使得Cf= =)( )(ba fbabbf aafbaxf 使得证明 且上连续在区间设函数 使得证明 且上连续在区间设函数 三、小结 四个定理四个定理 有界性定理有界性定理;最值定理最值定理;介值定理介值定理;根的存在性定理根的存在性定理. 关键词关键词1闭区间闭区间； 2连续连续函数 这两点不满足上述定理 函数 这两点不满足上述定理不一定不一定成立成立 解题思路解题思路 1.1.直接法:直接法:先利用最值定理先利