三角形内切圆的性质及其应用_彭代光VIP

三角形内切圆的性质及其应用 彭代光 ( 四川省成都市郫县犀浦镇实验学校, 611731) 初中数学中内切圆的内容看似简单 , 其 实它有丰富的内涵 , 也是初中几何中一个重 要的知识点 , 三角形内切圆的应用与三角形 的面积 、三角形的全等及相似等知识有着密 切的联系 . 本文旨在对三角形内切圆的性质 及应用作一些分析 . 一 、三角形内切圆的基本性质 三角形内切圆的圆心称为内心 . 由三角 形内切圆的定义可以直接得到下面的结论 : 1. 内心的位置由三角形任意两个角的平 分线的交点确定 , 反过来内心与三角形的每 个顶点的连线平分这个角 . 2. 内心到三角形三边的距离相等 ,这个距 离就是三角形内切圆的半径 . 例 1 如图 1,已知点 O 是 A B C 的内心 , A O C=110 , A O B=130 ,求 A B C 的三 个内角的度数 . 简析 可设 B A C = x , A B C =y , A C B=z . 据上述结论 , 再结合三角形内角和定理 , 可得 : 1 2 x+1 2 y=180 -130, 1 2 x+1 2 z=180 -110. x+y=100, x+z=140. z=80, y=40. x=60, y=40, z=80. 于是三个内角便可求得 . 例 2 如图 2,已知 O 是 R t A B C 的内切 圆, C=90 ,切点分别是点 D , E , F . 连接 A O 并延长交 B C 于点 G . 求证: A F A G=A O A C . 简析 由题设知 O 是内心 ,那么根据结 论 1知 A O 就是 B A C 的平分线 ,连接 O F ,由 格标上数 1或 - 1. 如果能使 60个方格剪成 15 块符合要求的 “四连格 ”, 则每一 “四连格 ” 中 数字之和为 2或 - 2. 设其中数字之和为 2的 有 x 块 ,数字之和为 - 2的有 y 块 ,由于方格中 “1”和 “ -1”的个数是相同的 ,故有 x + y=15, 2x- 2y=0. 解得 x=15 2 , y=15 2 . 这与 x 、y 都为整数相矛盾 . 因此 ,余下的方格不能剪成 15块符合要 求的 “四连格 ”. 请注意 : 倘若按上述推理方法 , 对某一类 似的图形则得 x , y 为整数 .不能断定可以剪成 若干块形如图 1的 “四连格 ”,你能举出这样的 例子吗 ? 7 第 12期 初中数学教与学 切线的性质知 O F A B . 于是 C=A F O , 那么 A F O A C G . 根据相似三角形的性 质以及比例的性质就可得结论 . 二 、三角形内切圆的三个切点到各个顶 点的距离 若已知三角形的三边长 , 则可以求出其 内切圆的三个切点分别到三角形各个顶点的 距离 . 如图 3,已知 : A B C 的三边分别为 a , b , c . O 是内切圆 ,切点分别是点 D , E , F . 设 A D=A E=x , B D=B F=y , C E=C F =z . 运用切线长定理可得 x+y=c , y+z=a , x+z=b . 解得 x=b+c -a 2 , y=a+c-b 2 , z=a+b-c 2 . 为了方便记忆 , 如果我们设三角形三边 和的一半为 q ,即 q=a+b+c 2 . 显然有 x=q-a , y=q-b , z=q-c . 于是得到 A D =A E=q-a , B D=B F =q-b , C F=C E=q-c . 三 、三角形的面积 、三边长与内切圆半径 之间的关系 如图 4,连接 A O , B O , C O , D O , E O , F O , 由 切线的性质以及三角形面积公式得 : S A B C =S B O C+S A O C+S A O B = 1 2 a r +1 2 b r +1 2 c r = 1 2 r ( a+b+c ) . 另海伦公式是重要的三角形面积公式 , 即 : S=q ( q-a ) ( q-b ) ( q-c ) , ( 其中 q=a+b+c 2 ) . 这样若知道三角形的三条边的长度 , 就 可以求出内切圆的半径与面积 . 例 3 如图 4,已知 A B C 的三边为 a , b , c ,并且 a=14c m , b=13c m , c=15c m . 求这个 三角形的内切圆的面积 . 解 a 2 +b 2 c 2, A B C 显然不是直角三角形 . q=13 +14 +15 2 =21, 由 S= 1 2 r ( a+b+c ) r=q r , 则21( 21 -14) ( 21 -13) ( 21 -15) =21r , 得 r=84 21 =4. A B C 的内切圆面积为 : r 2 = 4 2 =16( c m 2 ) . 四 、直角三角形的内切圆半径 如图 5, O 是 R t A B C 的内切圆 , A C B =90 ,三边分别是 a , b , c . 切点分别是点 D , E , F . 连接 O E , O F ,显然 C=O E C=O F C =90 ,则四边形 O E C F 是矩形 . 又 O E=O F= 8 初中数学教与学 2010年 r ,所以四边形 O E C F 是正方形 . 并且由勾股定 理 a 2 +b 2 =c 2,及直角三角形面积 S=1 2 a b , 我们可进一步推导发现新的规律 . 由上述结论可得 1 2 a b= 1 2 r ( a+b+c ) , 容易得 r= a b a+b+c . 于是我们就得到直角三 角形的内切圆半径为 : r=a+b-c 2 = a b a+b+c . 通过对以上这个等式的变形 , 很容易就 得到 a 2 +b 2 =c 2 . 这也是证明勾股定理的一种 方法 . 掌握好内切圆的上述几个知识点 , 并能 够灵活应用 ,就能解决较为复杂的数学问题 . 例 4 如图 6, 已知 A D是 R t A B C 斜边 B C 上的高 . B A C=90 , O 1, O2, O分 别是 R t A B D , R t A D C , R t A B C 的内切圆 . 圆心分别是 O 1, O2, O ,求证 : ( 1) A B O 1 C A O2; ( 2) S O1 S O2 =B D C D ; ( 3) S O =S O1 +S O2. 提示 ( 1) 在此条件中容易得到 B A D =A C D , A B D =D A C , 可运用结论 1知 A O 1平分 B A D , B O1平分 A B D , A O2平分 D A C , C O 2平分 A C D ,可得结论 . ( 2) S O1 S O2 =r 2 1 r 2 2 = r 1 r 2 2 =A B 2 A C 2. ( 3) 直接应用 ( 2) 的结论 ,有 : S O1 S O +S O2 S O =A B 2 B C 2 +A C 2 B C 2 =1. 例 5 抛物线 y=x 2 -4x+k +2与 x 轴 有两个不同的交点 . ( 1) 求 k 的取值范围 . ( 2) 当两个交点的横坐标的平方和等于 10时 ,求这个抛物线的解析式 . ( 3) 在 ( 2) 的条件下 ,设抛物线的顶点为 M,它与 x 轴的两个交点从左到右依次为 A , B , 与 y 轴的交点为 P ,求 P MB 的内切圆与外接 圆半径之比 . ( 成都市中考题 ) 略解 ( 1) k2; ( 2) y=x 2 -4x+3; ( 3) P B=3 2 +3 2 =3 2, P M =2 2 +( 3 +1) 2 =2 5, MB=1 2 +1 2 = 2. 根据勾股定理逆定理 , 可判断 P MB 为 直角三角形 , P M为斜边 . 设 P MB 的外接圆 半径为 R , 内切圆半径为 r , 则 R = P M 2 = 5. 由上述结论知 : S P M B = 1 2 ( P B+MB+P M) r . 于是 1 2 2 3 2 = 1 2 ( 32 + 2 +2 5) r . 整理得 r=2 2 - 5. r R =2 2 - 5