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文档简介

第四章 线性系统的根轨迹法,主讲：师玉宝,Email：,Tel青海大学化工学院,第四章 线性系统的根轨迹法,根轨迹的基本概念 根轨迹的绘制方法,本章主要内容,4-1 根轨迹法的基本概念,我们知道，闭环系统的稳定性取决于闭环系统的极点分布，其它性能取决于其零极点分布。因此，可以用系统的零极点分布来间接地研究控制系统的性能。W.R.伊文思提出了一种在复平面上由开环零极点确定闭环零极点的图解方法根轨迹法。将系统的某一个参数（比如开环放大系数）的全部值与闭环特征根的关系表示在一张图上。,利用根轨迹法，可以： 分析系统的性能 确定系统的结构和参数 校正装置的综合,若闭环系统不存在零点与极点相消，闭环特征方程的根与闭环传递函数的极点是一一对应的。,1.根轨迹 开环系统（传递函数）的某一参数从零变化到无穷大时，闭环系统特征方程根在 s 平面上的轨迹称为根轨迹。,例 如图二阶系统,特征方程为：,闭环传递函数：,系统开环传递函数为：,特征根为：,特征根为：,讨论： 当K=0时，s1=0,s2=-2, 是开环传递函数的极点, 当K=0.32时，s1=-0.4,s2=-1.6, 当K=0.5时，s1=-1,s2=-1, 当K=1时，s1=-1+j,s2=-1-j, 当K=5时，s1=-1+3j,s2=-1-3j, 当K=时，s1=-1+j,s2=-1-j,可见,开环增益K从零变到无穷，可以用解析方法求出闭环极点的全部数值。,2.根轨迹与系统性能稳定性 考察根轨迹是否进入右半 s 平面。稳态性能 开环传递函数在坐标原点有一个极点，系统为1型系统，根轨迹上的K值就是静态误差系数。但是由开环传递函数绘制根轨迹，K是根轨迹增益，根轨迹增益与开环增益之间有一个转换关系。动态性能 由K值变化所对应的闭环极点分布来估计。,对于高阶系统，不能用特征方程求根的解析方法得到根轨迹。根轨迹法 图解法求根轨迹。 从开环传递函数着手，通过图解法来求闭环系统根轨迹。,3.闭环零、极点与开环零、极点之间的关系,设 控制系统如图所示,和,：前向通路增益 ：前向通道根轨迹增益 ：反馈通道根轨迹增益,结论：（1）闭环系统的根轨迹增益 = 开环前向通道系统根轨迹增益。（2）闭环系统的零点由开环前向通道传递函数的零点和反馈通道传递函数的极点所组成。（3）闭环极点与开环零点、开环极点、根轨迹增益 均有关。,根轨迹法的任务由已知的开环零极点和根轨迹增益，用图解方法确定闭环极点。,由闭环传递函数,当,求出相应的根，就可以在s平面上绘制出根轨迹。,根轨迹方程,4.根轨迹方程,根轨迹方程可以进一步表示为,相角条件（幅角条件）：,模值条件（幅值条件）：,例、设系统开环传递函数为,解：将上式改写为零极点形式:,S1,0,在复平面上画出开环的零极点。一般用 X 表示开环极点的位置，此系统有三个开环极点 0 、P1 、P2 ;用小圆圈 表示开环零点的位置,此系统有一个开环零点 Z
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