五年级奥数第13讲-最大公约数与最小公倍数

第13讲 最大公约数与最小公倍数（二）这一讲主要讲最大公约数与最小公倍数的关系，并对最大公约数与最小公倍数的概念加以推广。在求18与12的最大公约数与最小公倍数时，由短除法可知，（18，12）=23=6，18，12=2332=36。如果把18与12的最大公约数与最小公倍数相乘，那么（18，12）18，12=（23）（2332）=（233）（232）=1812。也就是说，18与12的最大公约数与最小公倍数的乘积，等于18与12的乘积。当把18，12换成其它自然数时，依然有类似的结论。从而得出一个重要结论：两个自然数的最大公约数与最小公倍数的乘积，等于这两个自然数的乘积。即，（a，b）a，b=ab。例1 两个自然数的最大公约数是6，最小公倍数是72。已知其中一个自然数是18，求另一个自然数。解：由上面的结论，另一个自然数是（672）18=24。例2 两个自然数的最大公约数是7，最小公倍数是210。这两个自然数的和是77，求这两个自然数。分析与解：如果将两个自然数都除以7，则原题变为：“两个自然数的最大公约数是1，最小公倍数是30。这两个自然数的和是11，求这两个自然数。”改变以后的两个数的乘积是130=30，和是11。30=130=215=310=56，由上式知，两个因数的和是11的只有56，且5与6互质。因此改变后的两个数是5和6，故原来的两个自然数是75=35和76=42。例3 已知a与b，a与c的最大公约数分别是12和15，a，b，c的最小公倍数是120，求a，b，c。分析与解：因为12，15都是a的约数，所以a应当是12与15的公倍数，即是12，15=60的倍数。再由a，b，c=120知， a只能是60或120。a，c=15，说明c没有质因数2，又因为a，b，c=120=2335，所以c=15。因为a是c的倍数，所以求a，b的问题可以简化为：“a是60或120，（a，b）=12，a，b=120，求a，b。”当a=60时，b=（a，b）a，ba =1212060=24；当a=120时，b=（a，b）a，ba =12120120=12。所以a，b，c为60，24，15或120，12，15。要将它们全部分别装入小瓶中，每个小瓶装入液体的重量相同。问：每瓶最多装多少千克？分析与解：如果三种溶液的重量都是整数，那么每瓶装的重量就是三种溶液重量的最大公约数。现在的问题是三种溶液的重量不是整数。要解决这个问题，可以将重量分别乘以某个数，将分数化为整数，求出数值后，再除以这个数。为此，先求几个分母的最小公倍数，6，4，9=36，三种溶液的重量都乘以36后，变为150，135和80，（150，135，80）=5。上式说明，若三种溶液分别重150，135，80千克，则每瓶最多装5千克。可实际重量是150，135，80的1/36，所以每瓶最多装在例4中，出现了与整数的最大公约数类似的分数问题。为此，我们将最大公约数的概念推广到分数中。如果若干个分数（含整数）都是某个分数的整数倍，那么称这个分数是这若干个分数的公约数。在所有公约数中最大的一个公约数，称为这若干个分数的最大公约数。由例4的解答，得到求一组分数的最大公约数的方法：（1）先将各个分数化为假分数；（2）求出各个分数的分母的最小公倍数a；（3）求出各个分数的分子的最大公约数b；类似地，我们也可以将最小公倍数的概念推广到分数中。如果某个分数（或整数）同时是若干个分数（含整数）的整数倍，那么称这个分数是这若干个分数的公倍数。在所有公倍数中最小的一个公倍数，称为这若干个分数的最小公倍数。求一组分数的最小公倍数的方法：（1）先将各个分数化为假分数；（2）求出各个分数的分子的最小公倍数a；（3）求出各个分数的分母的最大公约数b；一个陷井。它们之中谁先掉进陷井？它掉进陷井时另一个跳了多远？同理，黄鼠狼掉进陷井时与起点的距离为所以黄鼠狼掉进陷井时跳了31 1/26 3/10=5（次）。黄鼠狼先掉进陷井，它掉进陷井时，狐狸跳了 练习131.将72和120的乘积写成它们的最大公约数和最最小公倍数的乘积的形式。2.两个自然数的最大公约数是12，最小公倍数是72。满足条件的自然