中学代数研究与教学(部分习题答案)

中学代数研究与教学习题中学代数研究与教学习题 第一章第一章 数与式数与式 第一节第一节 数系的扩展数系的扩展 1.举例说明数集扩充的原则和方法？ 以 四元数1.i.j.k 为例 方法：添加元素的方法（二元四元）有两种： (1).把新的元素加入到已经建立的数系中而得到。 （添加元素法） (2).用近代数学观点，在原有数系的基础上理论性的构造一个集 合， 再对此集合通过定义关系 运算 划分等价类来建立新数系， 然后证明新数系的一真子集与原数系同构。 （构造法） 原则： (1).二元四元 (2).四元数满足加法交换律 还有乘法减法等性质，而不破坏二元 数的元素间的关系及运算。 (3).二元数满足代数封闭性，故其 n 次方程有 n 个根。而在四元 数中，n 次方程有无穷多个根，故不满足代数封闭性。 (4).四元数是二元数的所有具有上述三个性质的扩展的唯一最小 扩展。因为数集到数集的扩充是有一定条件的。如：四元数是 由二元数舍去乘法交换律扩充得到的。而目前尚未找到通过破 坏二元数的其它性质得到新的数集，故四元数是二元数的最小 扩充。 第五章第五章 中学代数典型解题方法中学代数典型解题方法 第一节第一节 主元法主元法 1. 分解因式： （1）ab-bc+ca-ac+ba+cb-2abc; （2）2x-7xy+3y+5xz-5yz+2z; （3） 4 x +x+2ax-a+1. 解： （1） ：原式=(b-c)a+(c+b-2bc)a-bc(b-c) =(b-c)a+(b-c) a-(b-c)bc =(b-c)(a+ba-ca-bc) =(b-c)(a+b)(a-c) （2） ：原式=3y-(7x+5z)y+2x+5xz+2z =3y-(7x+5z)y+(2x+z)(x+2z) =(3y-x-2z)(y-2x-z) （3） ：原式=-a+2ax+ 4 x +x+1 =(a-x+x+1)(-a+x+x+1) 2. 证明恒等式： （1） ()()()()()() 1 ()()()()()() mb mcmc mama mb ab acbc baca cb += ； （2） 222 111 4()()() 111 ()()()abababab abab abab +=+ + 。 证明： （1）假设（1）为关于 m 的一元二次方程，当 m=a，b，c，时等式都成立， 这与一元二次方程至多有两个根矛盾，故（1）为恒等式。 （2）假设（2）为关于 a 的一元二次方程，当 a=1，-1,2 时等式都成立与一 元二次方程至多有两个根矛盾，故（2）为恒等式。 3 解关于 X 的方程 (1)x-(m+3)x+(m-1)x-(m+2m-3)=0 解：以 m 为主元，原方程可化为： m+(x-x+2)m+(3-x)(x-1)=0 m+(3-x) m+(x-1)=0 m+3-x=0m+x-1=0 x=m+3或 x=m1或x=-m1 (2)x=xaa+ 解：原式平方得：x=xaa+ a+x=(a-x) 以 为主元方程可化为： a-（2+1）a+x(x-1)=0 a-x(x-1)a-(x+x+1)=0 a-x+x=0或x+x+1- a=0 2, 1 x =2 411a+ 4, 3 x =2 341a 解方程（用常元法） x+23x+3x+3-1=0 解：令3=y原方程可化为： x+2yx)+yx+y-1=0 以 y 为主元方程可化为： xy +(2x+1) y+(x-1)(x+x+1)=0 y+(x-1)xy+(x+x+1) =0 3=y 3+x-1=0或3x+x+x+1=0 1 x =1-3 3, 2 x = 2 32)31(+ 4 x- 2 x+6x-9=0 解：令 3=y原方程可化为： 4 x - 2 x+ 2 2yxy =0 以 y 为主元方程可化为： y-2xy+(x-x)(x+x)=0 (y-x-x)(y+x-x)=0 3=y (3-x-x)(3+x-x)=0 3-x-x=0或3+x-x=0 2, 1 x = 2 111 4, 3 x = 2 131 设不等式 2x-1m(x-1)对满足|m|2 的一切 m 的值都成立，求 x 的取值 范围。 2 31 x 2 71 x 2 31 x 2 31 2 1x 1x2 ,2m0)3( 2 1 x, 01x20m)2( 2 31 x 2 71 x 2 31 x 2 31 x, 2 71 x 2 71 x ) 1x(21x2x 21-x2- 2 1-x 1-x2 2m 1-x 1-x2 m0m2-1 012mx1)-m(x 1-2x 2 22 22 22 + + + = + + + + + + 或由取并集得 得时当 由取并集得 即时则又当 或 取交集得或或 得利用二元函数的性质解 ）（此时有： ，则，时，）当（ 得解：由mx 设集合 A=(x,y)|y=x+ax+2,B=x,y|y=x+1(0x2)，且 AB 空集，求实数 a 的范围。 解：AB空集,则对立面 AB=空集 联立方程组 += += )20( 1 2 2 xxy axxy 整理得:x+1=x+ax+2，要让此方程无解则0 若以为 x 主元方程可化为：x+(a-1)x+1=0 既（a-1）-40 a3 AB空集时实数 a 的范围为 a3. 第二节第二节 集合法集合法 9 解不等式 2 320 xx+ 解：设全集 I=x| 2 320 xx+= x| x12或x 由于 2 325xxx+ 2 2 50 320 325 x xx xxx + + + 5 21 2727 x xx x + 或 |27127xxx+或2 于是不等式的解集为： |2727x xx+或 10 已知关于 x 的方程： 2 22 2 4430 (1)0 220 xmxm xmxm xmxm += += += 它们中至少有一个方程有实数根，求实数 m 的取值范围. 解：由题意可知， 2 1 22 2 2 3 (4 )4(34 )0 (1)40 (2 )80 mm mm mm = = = + 31 22 1 3 1 20 m mm m 或 3 2 1m0, 则 (x-1) +(y-1) 1, (x-2) +(y+2) 1. 可构造集合 A=（x,y）|(x-1) +(y-1) 1 B=（x,y）|(x-2) +(y+2) 1, 从而得 A 中元素全属于 B，于是命题得证。 13. 有 A,B,C 三部新电影，某班学生看过其中一部的有 17 人，看过 A, B,C 的分别有 11 人，9 人，10 人同时看过 A,C 的有 4 人，看过 B,C 的 有 6 人，A,B,C 都看过的有 3 人，问同时看过 A,B 的有多少人？ 解：由集合法知识可知： ABC=17,A=11,B=9,C=10，AC=4,BC=6 ABC=3 又由 ABC =A+B+C- AC - BC -AB+ABC 则 AB=A+B+C- AC - BC+ABC-ABC 代入数据得 AB=6 第三节第三节整体思维法整体思维法 15.已知 a、b、cR R R R，且 a0，给出 i x（i=1,2,n）的方程组 2 112 axbxcx+= 2 223 axbxcx+= 2 11nnn axbxcx += 2 1nn axbxcx+= 设=() 2 14bac求证， （1）当0 时，方程组有多于一组的实数解。 解：原方程组等价于 2 1121 (1)axbxcxx+= 2 2232 (1)axbxcxx+= . 2 111 (1) nnnn axbxcxx += 2 1 (1) nnn axbxcxx+= 即方程组右端有形如( ) 2 (1)f xaxbxc=+的式子= 2 (1)4bac（1）若0 则有两个x对应y即 12 xx=， 12 xx=， 23 xx=， 23 xx=，即存在多组解。 16.已知复数 1 z、 2 z， 满足 1 z= 2 z=1， 且 1 z+ 2 z= 17 55 i+， 求 1 z和 2 z 的值。 解：设 1 zabi=+ 则 2 17 () 55 zab i= + 由 22 1ab+= 22 17 ()()1 55 ab+= 则 22 124914 1 255255 abab+= 即有 75ab=+ 则 1 75zbbi= + 由 22 (75)1bb+= 即 2 5070240bB+= 则 1 3 5 b= 2 4 5 b= 代入 75ab= 得 1 1 4 5 3 5 a b = = 2 2 3 5 4 5 a b = = 即 1 2 43 55 34 55 zi zi = + =+ 或 1 2 34 55 43 55 z zi =+ = + 112 ,1. 339 2 2 9 29 9 1212 3933 1212 3933 12 33 12 33 2 1,1. 9 ababab a b ab b a aa b bb a a a ababa bab =+ =+=+ 17.已知求证 解：由 得 由 即 即 所以有 由曲线在下方，如图,且只能取直线上的点即 18.已知 100299100 01299100 (74 3 ).xaa xa xa xax=+ ，求 22 02410013599 (.)(.)aaaaaaaa+ 的值。 解：将 x=1 或-1 分别代入已知式可得 100 01299100 (74 3).aaaaa=+ （1） 100 01299100 (74 3).()aaaaa+=+ + （2） （1）+（2）得 100 (74 3)+ 100 (74 3)+= 024100 2(.)aaaa+ （1）-（2）得 100 (743) 100 (743)+= 13599 2(.)aaaa+ 则 22 02410013599 (.)(.)aaaaaaaa+ = 22 1 0 01 0 01 0 01 0 0 (743 )(743 )(743 )(743 ) 22 + 100100100100 (743)(743)(743)(743) 22 + = 100100100100 (743)(743)(743)(743) 22 + + =1 2222 22222222 2222 22222222 2222 22222222 2222 22222222 222 1 21232527 1 41434547 . 1 61636567 1 81838587 xyzw xyzw xyzw xyzw yzw += += += += + 2 1 9 已 知 ： 求 : x的 值 。 2222 22222222 2222222222222222222222222222 22222222 1 1357 (3 )(5 )(7 )(1)(5 )(7 )(1)(3 )(7 )(1)(3 )(5 ) 1 (1)(3 )(5 )(7 ) xyzw tttt x ttty tttz tttw ttt tttt += + = 解：构造方程: 此方程的解为: 同分得： 其中 t=2, 4, 6, 8 t 1, 3, 5, 7 2222222222222222222222222222 22222222 2222222 6 2222 (3 )(5 )(7 )(1)(5 )(7 )(1)(3 )(7 )(1)(3 )(5 ) (1)(3 )(5 )(7 ) 2 )(4 )(6 )(8 ) 1 x ttty tttz tttw ttt tttt ttt t xyzw += = + 得方程 方程的解为: 构造方程（ 比较上述两方程得系数得 2 t=2, 4, 6, 8 t 2222 9 49 1 254 16 36 64 36xyzw + + += +=计算得: 123 123 2 11111 (1)(1)(1)(1). 246221 11 1,1 221 1111 (1)(1)(1)(1) 2462 1111 (1)(1)(1)(1) 35721 1 21 (1 nnnn n n nn nn abab nn Aaaaa n Bbbbb n A BabAA B n + = + =+= =+= + = + 20.求 证 ： 解 ： 令 则, 现 令 得 又 由 得 即 有 2 11111 )(1)(1)(1) 246221 11111 (1)(1)(1)(1) 246221 nn nn + + 开 平 方 得 证 毕 。 第四节第四节 抽屉原则法抽屉原则法 21 袋子里有红、黄、黑、白珠子各 15 粒，闭上眼睛想要摸出颜色相同的五粒珠 子，至少要摸出多少粒珠子才能达到目的？ 解：可以把红、黄、黑、白作为四个抽屉，我们可以从袋中任意摸，摸出后 看颜色分别放入抽屉中。 不妨设至少要摸 X 粒珠子才能达到目的。则由抽屉原则 2 知，必有一 个抽屉中有相同颜色的 5 粒珠子。 即 X-1 +1=5 4 解得：17X21 因此，至少要摸 17 粒珠子才能达到目的。 22 .求证：n+1 个整数中必有两个数之差是 n 的倍数。 证明：设这 n+1 个整数为 a1a2，a3，,an+1 则a1=k1n+q1，a2=k2n=q2， ，an=knn+qn, an+1=kn+1n+qn+1 将 n+1 个余数放入 n 个抽屉中，由抽屉原则 1 知，必有一个抽屉中有两个数 有相同的余数，不妨记 为 qi,qj,即 qi=qj 此时，ai=kin+qi, aj=kjn+qj ai-aj=n(ai-aj) 因此，n 整除 ai-aj 故 n+1 个整数中必有两个数之差是 n 的倍数。 23.空间有 6 个点，其中五三点共线，也无四点共面，如果每两点间做一直 线段，并涂上红色或蓝色，且一条线段只涂一种颜色，求证：不论如何涂色， 总 可以找到三条线段，它们构成一个同色的三角形。 解：从 A1 列出的五条线段为 A1A2，A1B1，A1B2，A1C1，A1C2 涂色 由抽屉原则知， 至少有 5 1 13 2 + = 条 线段涂同色 不妨设 A1C2，A1B1，A1B2 都是红色， 1 B1C2B2 三边同色，即同蓝 2 B1C2B2 三边不同色，则 B1C2， B1B2，B2C2 中至少有一条边是红色， 则它们构成一个各边同色的三角形。 因此，不论如何涂色，总可以找到 三条线段，它们构成一个各边同色的三角 形。 第五节第五节特殊化法特殊化法 29.设 m,n,p,q 为非负整数，且对一切正数 x，都有 (1 )(1 ) 1 mp nq xx xx + = ，求 22 (2) q mnp+ 的值。 解： 令： x=2m=1p=0n=q=1将其带入 22 (2) q mnp+ 得： 222 (2)(1 2) q mnp+=+ 30.设将 100 个数 i a （i=1，2，3， 100）满足 1 (2)(1)10 nn nana + = （nN, 且 2n100）,且 100 199a= ，求 1001234100 .saaaaa=+ 的值 解：因为 1 (2)(1)10 nn nana + = （nN,且 2n100） 所以当 n=2 时， 1 10a+ = ，得： 1 a =1 依次取下去得： n=3 时, 32 210aa+ = n=4 时, 43 2310aa+ = n=5 时, 54 3410aa+ = n=99 时, 9998 979810aa+ = n=100 时, 10099 989910aa+ = 以上 98 个等式同时加起来得： 23499100 0222.29898aaaaa= + 所以： 23499 9800.aaaa=+ 则： 1001234100 .10000saaaaa=+= 31.设 f(x) 与 g(x)是不高与三次的多项式，且对任意的 xR,都有 f(x) sinx-g(x) cosx =0 成立，求证：f(x)=0g(x)=0 证明：当 x= 0 90 时，则：f( 0 90 ) sin 0 90 -g( 0 90 ) cos 0 90 =0，则得：f( 0 90 )=0 当 x= 0 0 时，则：f（ 0 0 ）sin 0 0 -g( 0 0 ) cos 0 0 =0，则得：f( 0 0 )=0 此时我们证明采用反证法： 假设 f(x)0，g(x)0，则至少存在一个数 0 x R，使得 f( 0 x )0，g( 0 x ) 0，此时取 0 x = 0 90 此时 f(x) sinx-g(x) cosx 0，这与题设相矛盾，因此 f(x)=0g(x)=0 32.已知 f(0)=1，f( 0 90 )=0，又对任意 x，yR，恒有：f(x+y)+ f(x-y)=2 f(x)* cosy， 求 f(x) 解：分别令 x=0，y=t x= 0 90 + t ，y= 0 90 x= 0 90 ，y= 0 90 + t 依次得： f(t)+ f(-t)=2 f(0) cos t(1)式 f( 0 180 + t)+ f(t)=0(2)式 f( 0 180 + t)+ f(-t)=- 2 f( 0 90 ) sin t(3)式 由 1 2【 （1）+（2）-（3） 】得： f(t) =f(0) cos t+ f( 0 90 ) sin t= cos t 33.已知函数 f(x)的定义域为实数集 R，且对任意 x，yR，都有 ( )f x + f(y)= x+y () 2 f + x-y () 2 f , f( 0 90 )=0, f(x)不恒等于零，求证： （1） ： 0 (360 )f x+( )f x= （2） ： ()( )fxf x= （3） ： 2 (2 )2( ) 1fxfx= （4） ： 3 (3 )4( )3 ( )fxfxf x= 解： 令 0 360 ,xxyx=+= ， 则有 00 0 360360 (360 )( )2 () () 22 xxxx f xf xff + += 得： 000 (360 )( )2 (180 ) (180 )f xf xf xf+= + 1 再令： 0 180 ,xxyx=+= ，则有 00 0 180180 (180 )( )2 () ()0 22 xx f xf xff + += 得： 0 (180 )( )f xf x+= 2 再令： 0 180 ,0 xy= ，则有： 00 0 0180180 (180 )(0)2 () () 22 ffff + += 得： 0 (180 )(0)ff= 3 再令： 0,0 xy= ，则有： (0)(0)2 (0) (0)ffff+= 得： (0)1f= 4 将 4 带入 1 得 ： 0 (360 )f x+( )f x= （2） ：令 yx= ，则有： ( )()2 (0) ( )f xfxff x+= 得： ( )()f xfx= （3） ：令 2 ,0 xx y= ，则有： (2 )(0)2 ( ) ( )fxff x f x+= 得： 22 (2 )2( )(0)2( ) 1fxfxffx= （4） ：令 3yx= ，则有： ( )(3 )2 (2 ) ()f xfxfx fx+= 得： (3 )2 (2 )*()( )fxfxfxf x= 将（1） （2） （3）带入（4）得： 3 (3 )4( )3 ( )fxfxf x= 35，问是否存在常数 a，b，c。使得不等式 2222 (1) 1*22*3.(1)() 12 n n n nanbnc + +=+ 对一切的正整数 n 都成立，并 证明你的结论 解：当 1n= ， 1 4() 6 abc=+ 即： 24abc+= 当 2n= 1 22(42) 2 abc=+ 即：4 244abc+= 70(93)abc=+ 即：9 370abc+= 即： 3,11,10abc= 若 1n= 时，左边=右边=4等式成立 若n k= 时等式成立， 那么 1nk=+ 时， 2222 1*22*3.(1)(1)(2)k kkk+ = 22 (1) (31110)(1)(2) 12 k k kkkk + + 化简得证原式成立，有数学归纳法知原式成立 3n= 第六节第六节 构造法构造法 6 2 662 3222 3 66 6 .+ 5 5,5 x+y=2 6,1,22 ()3() 223 22 10582 + 5510582 0505 + 5 xy xyy xyyx yy += =+= +=+ = = += 2 22 38求比（ 6） 大的最小正整数。 解：设 66，则 从而 x xx 即 （ 6） （ 6） 又由