中山大学高数期末考试真题及答案

珠海校区2011学年度第一学期11级高等数学二期末考试题B 学院:专业:姓名:学号:评分: 阅卷老师签名: 一. （10分, 每小题5分）计算下列极限. （1） lim x+ (ex+ 5)2(e2x 7)5 (e3x+ 9)4 ;（2） lim x0+ x2 x cost2dt x . 解：(1) 原式= 1. (2) 原式= lim x0+ 2xcosx4 cosx2 1 = 1. 二.（10分）设f(x) = exsinx, x 0,2. 求单调区间, 拐点以及最大最 小值. 解：f(x) = exsinx + excosx. 单调递增区间是0,3/4, 7/4,2; 单调递减区间是3/4,7/4. f(x) = 2excosx; 拐点是x = /2,3/2. f(0) = 0, f(3/4) = 2 2 e3/4, f(7/4) = 2 2 e7/4, f(2) = 0; 所以最大值 是f(3/4) = 2 2 e3/4, 最小值是f(7/4) = 2 2 e7/4. 学策诚品 三. （10分）函数y = y(x)由yex+ lny = 1确定. 求 dy dx和 d2y dx2 . 解：两边对x求导, 有yex+ yex+ y/y = 0. 两边再对x求导, 有yex+ 2yex+ yex+ y/y y2/y2= 0, 得 y= y2/y2 2yex yex ex+ 1 y . 得y= yex ex+ 1 y .再把y代入即得y. 四.（20分, 每小题5分）计算下列不定积分. （1） x 1 + x4 dx;（2） 1 (1 + x2)3dx; 解： (1) 原式= 1 2 1 1 + x4 dx2= 1 2 arctanx2+ C. (2) 令x = tant ( 2 t 2 ) , 有 原式 = costdt = sint + C = x 1 + x2+ C. （3） x4lnxdx;（4） x (x + 1)(x + 2)(x + 3) dx. 解： (3) 原式 = 1 5 lnxdx5= 1 5x 5 lnx 1 5 x4dx = 1 5x 5 lnx 1 25x 5 + C. (4) 原式 = 1 2 1 (x + 1) dx + 2 1 (x + 2) dx 3 2 1 (x + 3) dx = 1 2 ln|x + 1| + 2ln|x + 2| 3 2 ln|x + 3| + C. 2 学策诚品 五.（20分, 每小题5分）计算下列定积分和反常积分. （1） 4 0 x x + 1dx;（2） 1 1 x4(tan3x + sin5x)dx; 解：(1)令t = x. 原式 = 2 0 2t2 t + 1 dt = 2 2 0 ( t 1 + 1 t + 1 ) dt = 2 (t2 2 t + ln(t + 1) ) |2 0 = 2ln3. (2) 由被积函数的奇偶性, 有, 原式= 0. （3） 2 0 |sin(2x + 10)|dx ;（4） + 0 xex 2 dx. 解：(3) 原式= 4 2 0 sin2xdx = 4. (4) 原式= 1 2 + 0 ex 2 dx2= 1 2e x2|+ 0 = 1 2. 六.（10分）求曲线y = x, 和直线x = 0, y = 1所围成的图形的面积以及 该图形绕x轴旋转形成的旋转体体积. 解：面积= 1 0 1 xdx = ( x 2 3x 3/2 ) |1 0 = 1 3. 体积 = 1 0 (1 x) dy = ( x 1 2x 2 ) |1 0 = 2 . 3 学策诚品 七.（5分）求曲线 = 2(1 + cos) 的长度. 解：l = 2 0 2+ 2d = 22 2 0 1 + cosd = 4 2 0 ? ? ? ?cos 2 ? ? ? ? d = 16. 八.（5分）求微分方程(2 + x2)y+ y + 1 = 0的通解. 解：分离变量得 1 y + 1dy = 1 2 + x2 dx. 积分得通解ln|y + 1| = 1 2arctan x 2+ C. 九.（10分）求解初值问题：xy+ y = x5+ x, y|x=1= 1. 解：有一阶线性微分方程: y+ 1 xy = x 4 + 1. 解相应的齐次方程有y = C x .