高等代数习题及答案

高等代数习题及答案 中国海洋大学 xx-xx学年 第2学期 期末试卷 共 2 页 第 2 页 五(10分)证明：设A为n级矩阵,g(x)是矩阵A的最小多项式,则多项式f(x)以A为根的充要条件是g(x)|f(x). 六(10分)设V是数域P上的n维线性空间,A,B是V上的线性变换，且AB?BA.证明:B的值域与核都是A的不变子空间. ?a ? 七(10分)设2n阶矩阵A? ?b ? ab? ba ? b? ?,a?b,求A的最小多项式. ?a? 八(10分)设f是数域P上线性空间V上的线性变换,多项式p?x?,q?x?互素,且满足p?f?q?f ?0(零变换) ?,S ?ker?q?f 求证：V?W?S,W?ker?p?f? 中国海洋大学 xx-xx学年 第2学期 期末 学院 (A卷)答案 一.判断题 1. 2. 3. 4. 5. 二.解： ?1?A=?1 ?1?1 1111 1111 1?1?1?1? 3 ，?E?A|?(?4)，所以特征值为0，4（3重）. 将特征值代入，求解线性方程组(?E?A)x?0，得4个线性无关的特征向量（答案可以不唯一），再正交单位化，得4个单位正交向量： ?1( 12,12,112,2)，?2(-0,0)， ?3(- ? 0)，?4(- 6 ? 6 ? 6 2 . ?1 ? ? ?2?6?11? 1?所以正交阵T? 2 64? ?0 ?1而TAT?0 ?20 ?6?1?2 2? 三.证：(1) ?A,B?M. 验证A?B,kA?M即可. ?01? ? 1? ? (2) 令D? ? ?0En?1? ? 1?0?，D为循环阵， ?E1? ?1 0? Dk ?0E? n?k? ?Ek 0?，(Ek为k阶单位阵) ? 则D,D2 ,?,Dn?1 ,Dn ?E在P上线性无关. ? ?. 0? 且A?a1E?a2D?an?1Dn?2?anDn?1，令f(x)?a1?a2x?anxn?1,有 A?f(D). ?B?M，必?P上n?1次多项式g(x)，使B?g(D)，反之亦真. ?AB?f(D)g(D)?g(D)f(D)?BA (3)由上可知：E,D,D2,?,Dn?1是M的一组基，且dimM?n. 四.解：A的行列式因子为D3(?)?(?2)3, D2(?)?D1(?)?1. 所以，不变因子为d3(?)?(?2)3, d2(?)?d1(?)?1，初等因子为(?2)3， ?2 ? 因而A的Jordan标准形为J?1 ? ? ? ?2? ?21 五证：?:f(x)?g(x)q(x) ?：f(A)?0,g(A)?0 ?f(A)?g(A)q(A)?0 设f(x)?g(x)q(x)?r(x), r(x)?0或?(r(x)?(g(x). 所以0f(A)?g(A)q(A)?r(A), 因而r(A)?0. 因为g(x)为最小多项式，所以r(x)?0.?g(x)|f(x). 六证：在B的核V0中任取一向量?，则 ? ? (?)?A(B B(A?)?BA?)?AB(?A)?0 所以A?在B下的像是零，即A?V0即证明了V0是A的不变子空间 在B的值域BV中任取一向量B?，则A(B?)?B(A?)?BV. 因此，BV也是A的不变子空间 综上，B的值域与核都是A的不变子空间 ?七解：?E?A?(?a)?b? 2 2 n 高等代数试卷 一、判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“”，错的打“”；每小题1分，共10分） 1、p(x)若是数域F上的不可约多项式，那么p(x)在F中必定没有根。 （） 2、若线性方程组的系数行列式为零，由克莱姆法则知，这个线性方程组一定是无解的。 （） 3、实二次型f(x1,x2,?,xn)正定的充要条件是它的符号差为n。 （） 4、（） ?x1,x2,x3xi?R,i?1,2,3;x1?x2?x3?是线性空间R3的一个子空间。W? 5、数域F上的每一个线性空间都有基和维数。 （） 6、两个n元实二次型能够用满秩线性变换互相转化的充要条件是它们有相同的正惯性指数和负惯性指数。（） 7、零变换和单位变换都是数乘变换。（） 8、线性变换?的属于特征根?0的特征向量只有有限个。 （） 9、欧氏空间V上的线性变换?是对称变换的充要条件为?关于标准正交基的矩阵为实对称矩阵。 （） 10、若?1,?2,?,?n?是欧氏空间V的标准正交基，且?xi?i，那么 i?1n ? ?x i?1 n 2 i 。（） 二、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写 在题干后面的括号内。答案选错或未作选择者，该题无分。每小题1分，共10分） 1、关于多项式的最大公因式的下列命题中，错误的是（） fn?x?,gn?x?f?x?,g?x?； n ? ?f1,f2,?,fn?1?fi,fj?1,?i?j,i,j?1,2,?,n?； ?f?x?,g?x?f?x?g?x?,g?x?； 若?f?x?,g?x?1?f?x?g?x?,f?x?g?x?1。 2、设D是一个n阶行列式，那么（） 行列式与它的转置行列式相等； D中两行互换，则行列式不变符号； 若D?0，则D中必有一行全是零； 若D?0，则D中必有两行成比例。 3、设矩阵A的秩为r(r1)，那么（） A中每个s(s A中可能存在不为零的r?1阶子式； A中肯定有不为零的r阶子式。 4、设f?x1,x2,?,xn?为n元实二次型，则f?x1,x2,?,xn?负定的充要条件为（） 负惯性指数=f的秩； 正惯性指数=0； 符号差=?n； f的秩=n。 5、设?1,?2,?,?m?是线性空间V的一个向量组，它是线性无关的充要条件为（） 任一组不全为零的数k1,k2,?,km，都有?ki?i?0； i?1m 任一组数k1,k2,?,km，有?ki?i?0； i?1 m 当k1?k2?km?0时，有?ki?i?0； i?1 m 任一组不全为零的数k1,k2,?,km，都有?ki?i?0。 i?1 m 6、若W1,W2都是n维线性空间V的子空间，那么（） 维?W1?+维?W1?W2?=维?W2?+维?W1?W2?；维?W1?W2?=维?W1?+维?W2?； 维?W1?+维?W1?W2?=维?W2?+维?W1?W2?； 维?W1?-维?W1?W2? =维?W1?W2?-维?W2?。 7、设?是n维线性空间V的线性变换，那么下列错误的说法是（） ?是单射?的亏=0； ?是满射?的秩=n； ?是可逆的?核?=?0?； ?是双射?是单位变换。 8、同一个线性变换在不同基下的矩阵是（） 合同的； 相似的； 相等的；正交的。 9、设V是n维欧氏空间 ，那么V中的元素具有如下性质（） 若?,?,?； 若?； 若?,?1?1； 若?,?0?。 10、欧氏空间R3中的标准正交基是（） 1?11?1?11?11? ?,0,0,?;?;?0,1,0?；?,0?;?,?;?0,0,1?； 2?22?22?22?2 ?111?111?,?;?,?,?;?0,0,0?； ?1,?1,1?;?1,1,1?;?1,1,?1? 33?333?3 三、填空题（将正确的内容填在各题干预备的横线上，内容填错或未填者，该空 无分。每空2分，共20分） 1、多项式f(x)?x4?x2?2在实数域R上的标准分解为 0c 2、利用行列式的性质可知四阶行列式 00a000000fbd 的值为 。 eg 3、若一个非齐次线性方程组无解且它的系数矩阵的秩为3，那么该方程组的增广矩阵的秩等于 。 4、在线性空间V中，定义?0（其中?0是V中一个固定向量）， 那么当?0?时，?是V的一个线性变换。 5、实对称矩阵的属于不同特征根的特征向量是彼此 的。 6、n阶实对称矩阵的集合按合同分类，可分为 类。 7、若基到的过渡矩阵为P，而向量?关于基和的坐标分别为X和Y，那么着两个坐标的关系是 。 8、设W是线性空间V的非空子集，若W对V的加法和数乘，则称W为V的子空间。 ?ab? 9、若线性变换?关于基?1,?2?的矩阵为?，那么?关于基?3?2,?1?的矩阵cd?为。 10、两个欧氏空间同构的充要条件是它们有 。 四、改错题（请在下列命题中你认为错误的地方划线，并将正确的内容写在预备的横线上面。指出错误1分，更正错误2分。每小题3分，共15分） 1、如果p(x)是f(x)的导数f(x)的k?1重因式，那么p(x)就是f(x)的k重因式。 2、若线性方程组AX?B相应的齐次线性方程组AX?0有无穷多解，那么AX?B也有无穷多解。 3、设A是一个m?n矩阵，若用m阶初等矩阵E?3?5?,4?右乘A，则相当对A施行了一次“A的第三列乘5加到第四列”的初等变换。 4、若?1,?2都是数域F上的方阵A的属于特征根?0的特征向量，那么任取 k1,k2?F,k1?1?k2?2也是A的属于?0的特征向量。 5、设?是欧氏空间V的线性变换，那么?是正交变换的充分必要条件是?能保持任二个非零向量的夹角。 五、计算题（每小题10分，共40分） 1、计算n阶行列式 ?a111?1111?a21?11 11?a3?11,a1a2?an?0 Dn?1 ?1 ?1 ?1 ? 1 ?1?an 2、用相应的齐次线性方程组的基础解系表示下列线性方程组的全部解 ?x1?3x2?x3?2x4?x5?4 ?3x?x?2x?5x?4x?1?12345 ? ?2x1?3x2?x3?x4?x5?4?4x1?16x2?x3?3x4?9x5?21 3?12?1?30? ? 3、解矩阵方程 ?32?4?X?1027? ?2?10?1078? ?10?01?00?00?4、设?1?,?,?,?00?2?00?3?10?4?01?是M2?F?的一个基，而?23?1?2?12?1?3? ?1?52?,?2?1?1?,?3?12?,?4?2?2?是另一组基，求由 ?1,?2,?3,?4?到?1,?2,?3,?4?的过渡矩阵，并求向量? 5?4? ?在? ?9?2? ?1,?2,?3,?4?下的坐标。 六、证明题 设?1,?2,?3是三维欧氏空间V的一个标准正交基，试证： 1 ?2?1?2?2?3?31 ?2?2?1?2?2?3? 31 ?3?1?2?2?2?3? 3 ?1? 也是V的一个标准正交基。 高等代数试卷参考解答 一、判断题12345678910 二、单项选择题 12345678910 三、填空题 1、?x?1?x?1?x2?2；2、acef；3、4、 5、正交；6、 ?c9、?3 ?a? ? ?n?1?n?2?；7、Y?P?1X； 8、封闭； 2 d? 3?； 10、相同的维数。 b? 四、改错题 1、那么p(x)就是f(x)的k重因式。 2、若线性方程组AX?B相应的齐次线性方程组AX?0有无穷多解，那么 AX?B也有无穷多解。 当AX=B有解时，AX=B也有无穷多解 3、设A是一个m?n矩阵，若用m阶初等矩阵E?3?5?,4?右乘A，则相当对A施行了一次“A的第三列乘5加到第四列”的初等变换。 A的第4列乘5加到第3列 4、若?1,?2都是数域F上的方阵A的属于特征根?0的特征向量，那么任取 k1,k2?F, 5、设?是欧氏空间V的线性变换，那么?是正交变换的充分必要条件是?能保持任二个非零向量的夹角。 必要条件 中国海洋大学 学年 第2学期 期末考试试卷, 共 2 页 第 2 页 五(10分)证明：设A为n级矩阵,g(x)是矩阵A的最小多项式,则多项式f(x)以A为根的充要条件是g(x)|f(x). 六(10分)设V是数域P上的n维线性空间,A,B是V上的线性变换，且AB?BA.证明:B的值域与核都是A的不变子空间. ?a ? 七(10分)设2n阶矩阵A? ?b abba b? ?,a?b,求A的最小多项式. ?a? 八(10分)设f是数域P上线性空间V上的线性变换,多项式p?x?,q?x?互素,且满足 p?f?q?f?0(零变换) 求证：V?W?S,W?kerp?f ?,S?ker?q?f? 中国海洋大学 xx-xx学年 第2学期 期末考试 学院 (A卷) 一.判断题 1. 2. 3. 4. 5. ?1111? 二.解：A=?1111?，?E?A|?3(?4)，所以特征值为0，4（3重）. ?1111?1111?将特征值代入，求解线性方程组(?E?A)x?0，得4个线性无关的特征向量（答案可以不唯一），再正交单位化，得4个单位正交向量： ?1111 1( 2,2,2,2 )，?2， ?3 ，?4. ?1 ?2?1?4所以正交阵T? 2 ?1而TAT?0?0?26?0?1? ?2 ? 三.证：(1) ?A,B?M. 验证A?B,kA?M即可. ?01 ? ? 01 ? ? (2) 令D? En?1? ?00?，?1?E?1? D为循环阵， ?1 0? Dk? 0En?k? ?Ek 0?，(? Ek为k阶单位阵) 则D,D2 , ,Dn?1,Dn?E在P上线性无关. ?. 0? ? 且A?a1E?a2D? ?an?1Dn?2?anDn?1，令f(x)?a1?a2x?anxn?1,有 A?f(D). ?B?M，必?P上n?1次多项式g(x)，使B?g(D)，反之亦真. ?AB?f(D)g(D)?g(D)f(D)?BA (3)由上可知：E,D,D2, ,Dn?1是M的一组基，且dimM?n. 四.解：A的行列式因子为D3(?)?(?2)3, D2(?)?D1(?)?1. 所以，不变因子为d3(?)?(?2)3, d2(?)?d1(?)?1，初等因子为(?2)， 3 ?2? ? 因而A的Jordan标准形为J?1?2? ?1?2? 五证：?:f(x)?g(x)q(x) ?f(A)?g(A)q(A)?0 ?：