多元函数的极限与连续

第十六章多元函数的极限与连续1证明:对任何,它的导集必为闭集.2设是中两个不相交的开集,证明.3证明:对任何,它的边界必为一闭集.4证明闭域必为闭集.5讨论下列函数在时的极限不存在:(1);(2);(3).6.设在点的某邻域内有定义,且满足:(1)在中,对每个,存在;(2),关于中的一致.试证明:.7.设.证明:(1),使得在或上,有;(2).8.设.证明:(1);(2)不存在.9.证明:在上一致连续.10.设是上的实值函数.证明:在上连续的充要条件是对于中的每个开集,集合亦必为开集.11.证明:若为一有界开集,则在上一致连续的充要条件是:在上连续,且对任何点,极限都存在(即在上的连续性能延拓到).12.设为连续函数.试证:存在(),则在上一致连续.13.设,.试证在上一致连续的充要条件是:对中每一对点列,如果,便有.第十六章多元函数的极限与连续一、选择题（每小题2分）1、极限的涵义是（）A、对，总，当时，有。B、若，对，当时，有。C、对每个，总，当时，有。D、若，当时，有。2、设，则（）A、存在且等于0B、不存在C、存在可能不为0D、可能存在，也可能不存在3、函数在间断，则（）A、函数在处一定无定义B、函数在处极限一定不存在C、函数在处可能有定义，也可能有极限D、函数在处一定有定义，且有极限，但极限值不等于该点的函数值4、（）A、1B、不存在C、D、05、函数在处存在二重极限是函数在该点连续的（）A、必要条件B、充分条件C、充要条件D、既非充分又非必要条件6、函数在原点（0，0）间断，是因为（）A、在原点无定义B、在原点无极限C、在原点有极限，无定义D、在原点有极限但不等于其函数值7、下面断语正确的是（）A、点集的界点一定是其聚点B、开集一定是开域C、闭域一定是闭集D、闭集一定是闭域8、下面断语正确的是（）A、区域上的连续函数必有界B、区域上的连续函数必有最大值和最小值C、区域上的连续函数必一致连续D、在区域上连续，为D的内点，且，则对必，使二、判断题（每小题2分）1、若函数在连续，则其二重极限必存在。（）2、若函数在点处的二重极限和一个累次极限都存在，则它们必相等。（）3、当函数在其定义域的内点连续时，在和在都连续。（）4、若在和在都连续，则在点处必连续。（）5、点列收敛于的充要条件是。（）6、平面上的有界无限点列必存在收敛的子列。（）7、平面点集E的聚点必是它的内点。（）8、若函数在点处的两个累次极限都不存在，则二重极限必不存在。（）9、若函数在点处的两个累次极限都存在且相等，则二重极限必存在。（）10、若函数在点处的二重极限和一个累次极限都存在，则另一个累次极限必存在。（）三、填空题：（每小题2分）1、函数的定义域是。2、函数的定义域是。3、设，其中，则。4、设，则。5、。6、。7、函数的间断点集是。8、的聚点集是。9、设为点集，则E在中至少有一个聚点。10、的间断点集是。四、计算题1、（5分）试求极限2、（5分）试求极限3、（5分）试求极限4、（5分）试讨论5、（5分）试求极限五、证明题1、（5分）证明极限不存在。2、（5分）用极限定义证明：。3、（5分）证明极限不存在。4、（5分）设在连续，证明：对在连续。5、（5分）用极限定义证明：。6、（5分）证明：如果在连续，且，则对任意正数，对一切，有。7、（5分）证明：若平面点列收敛，则对当时，对一切，都有。答案：一、选择题（每小题2分）1、C2、D3、C4、D5、A6、B7、C8、D二、判断题（每小题2分）1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、三、填空题：（每小题2分）1、2、3、4、5、26、07、8、9、有界无限10、四、计算题1、（5分）试求极限解：（2分）（5分）2、（5分）试求极限解：（3分）（5分）3、（5分）试求极限解：（2分）因为所以，（5分）4、（5分）试讨论解：当点（x，y）沿直线y=x趋于原点时，当点（x，y）沿抛物线线趋于原点时，（3分）因为二者不等，所以极限不存在。（5分）5、（5分）试求极限解：（2分）=（5分）五、证明题1、（5分）证明极限不存在。证明：因为（2分）（4分）二者不等，所以极限不存在。（5分）2、（5分）用极限定义证明：。证明：要使（3分）取，即可。（5分）3、（5分）证明极限不存在。证明：因为（2分）（4分）二者不等，所以极限不存在。（5分）4、（5分）设在连续，证明：对在连续。证明：因为在连续，所以，当时，有（2分）故对，当时，从而所以在连续。（5分）5、（5分）用极限定义证明：。证明：要使（3分）取，则当时，有。故（5分）6、（5分）证明：如果