多边形的内角和的探究

多边形的内角和的探究 【摘要】 本文测量和推理证明了三角形的内角和的问题，并以三角形的内角和是180这一结论为依据，得出了四边形的内角和是360，进而推出多边形内角和为（N - 2） 180的结论. 【关键词】 多边形；内角和 在和同学们一起学习了人教版初中数学第十一章后，我想和大家一起探究多边形的内角和. 1. 三角形的内角和 我们已经知道：三角形的内角和是180. 可是你能说明为什么吗？我和同学们一起动手任意的画了很多三角形. 经过我们的测量发现每个三角形的内角和都约等于180. 可是这个理由不能作为我们的结论“三角形的内角和是180”的科学依据. 于是我们思考能不能用我们已有的知识来证明这个结论？ 已知：如图，在ABC中，求证：A + B + C = 180. 证法1：延长BC到CD，在ABC的外部，以CA为一边，CE为另一边作1 = A，于是CEBA （内错角相等，两直线平行）. B = 2 （两直线平行，同位角相等）. 又1 + 2 + ACB = 180 A + B + ACB = 180 证法2：延长BC到D，过C作CEBA， A = 1（两直线平行，内错角相等） B = 2（两直线平行，同位角相等） 又1 + 2 + ACB = 180 A + B + ACB = 180 证法3：过A作EFBA， B = 2 （两直线平行，内错角相等） C = 1 （两直线平行，内错角相等） 又2 + 1 + BAC = 180 B + C + BAC = 180 证法4：过A作AEBC， B = BAE （两直线平行，内错角相等） EAB + BAC + C = 180 （两直线平行，同旁内角互补） B + C + BAC = 180 于是，我们得到三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180. 2. 四边形的内角和 既然我们已经知道三角形的内角和是一个定值180，那么四边形的内角和是多少度？也会是一个定值吗？ 我们知道正方形，长方形的四个角都是90，故正方形、长方形的内角和都是4 90 = 360，梯形的内角和也是360. 已知：梯形ABCD，ABCD 求证：A + B + C + D = 360 证明：ABCD ，A + D = 180. B + C = 180（两直线平行，同旁内角互补） A + B + C + D = 360. 于是，我们猜想四边形的内角和也是一个定值，四边形的内角和等于360. 你能证明吗？ 我们利用三角形的内角和定理来证明四边形的内角和等于360. 已知：如图，四边形ABCD. 求证：A + B + C + D = 360. 证明：连接BD. 在ABD和CBD中，A + ABD + ADB = 180 C + CBD + CDB = 180，而A + ABC + C + ADC = A + ABD + ADB + C + CBD + CDB = 180 2 = 360. 四边形的内角和是360. 3. 五边形的内角和 类比前面的过程，你能探索出五边形的内角和是多少度吗？ 五边形从一个顶点可以引出2条对角线，将五边形分割成3个三角形，而这3个三角形的内角和正好是五边形的内角和所以我们得出五边形的内角和是3 180 = 540 . 下面我们思考一个n边形从一个顶点可以引出几条对角线？我们知道对角线是连接多边形不相邻的两个顶点的线段，n边形有n个顶点，从一个顶点出发，故剩余n - 1个顶点，再减去和它相邻的2个顶点，就剩余n - 3个顶点，所以可以作出n - 3条对角线，此时正好可以将n边形分割成为（n - 2）个三角形. 4. 六边形的内角和 有以上规律，我们知道六边形从一个顶点可以引出6 - 3条对角线，将六边形分割成6 - 2个三角形，所以六边形的内角和就是（6 - 2） 180 = 640